Principaux résultats de dérivation Terminale S Dérivées des fonctions usuelles fonction f f (x) = k (k constante) f (x) = x f (x) = x2 f (x) = x3 f (x) = xn (n entier >0) 1 f (x) = x 1 f (x) = 2 x 1 f (x) = n (n entier >0) x √ f (x) = x f (x) = sin x f (x) = cos x f (x) = |x| dérivée f 0 f 0 (x) = 0 f 0 (x) = 1 f 0 (x) = 2x f 0 (x) = 3x2 f 0 (x) = nxn−1 1 f 0 (x) = − 2 x 2 f 0 (x) = − 3 x n f 0 (x) = − n+1 x 1 f 0 (x) = √ 2 x f 0 (x) = cos x f(0 (x) = − sin x f 0 (x) = 1 si x > 0 f 0 (x) = −1 si x < 0 Domaine de dérivabilité R R R R R ]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[ ]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[ ]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[ ]0 ; +∞[ R R ]−∞ ; 0[ ou ]0 ; +∞[ Opérations sur les fonctions dérivées Opération Dérivée Somme de deux fonctions Multiplication par une constante Produit de deux fonctions u+v ku uv u0 + v 0 ku0 0 u v + uv 0 Inverse d’une fonction 1 v Quotient de deux fonctions u v − v0 v2 u0 v − uv 0 v2 Conditions d’utilisation u et v dérivables sur I u dérivable sur I u et v dérivables sur I u et v dérivables sur I Pour tout x ∈ I, v (x) 6= 0 u et v dérivables sur I Pour tout x ∈ I, v (x) 6= 0 Dérivée d’une fonction composée Théorème : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et g une fonction dérivable sur un intervalle J telles que, pour tout x ∈ I, f (x) ∈ J/ Alors la fonction h définie par h (x) = g ◦ f (x) = g (f (x)) est dérivable sur I et, pour tout x ∈ I : h0 (x) = f 0 (x) × g 0 (f (x)) Quelques cas particuliers importants : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. 0 – La fonction cos u est dérivable sur I et (cos u) = −u0 sin u. 0 – La fonction sin u est dérivable sur I et (sin u) = u0 cos u. 0 – Pour tout entier naturel n non nul, la fonction un est dérivable sur I et (un ) = nu0 un−1 . 0 1 1 0 – Si pour tout x ∈ I, u (x) 6= 0, La fonction un est dérivable sur I et un = − unu n+1 . √ √ 0 0 – Si pour tout x ∈ I, u (x) > 0, La fonction u est dérivable sur I et ( u) = 2u√u .