Nombres complexes

Mathématiques – Enseignement obligatoire
Cours
Chapitre 1 : Nombres complexes
Nombres complexes
I/ Divers ensembles de nombres utilisés
A) Ensemble des entiers naturels
Cet ensemble est noté N.
N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... ; 15 ; n ; ...}.
B) Ensemble des entiers relatifs
Cet ensemble est noté Z.
Z = {... ; −n ; ... ; −24 ; ... ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... ; 10 ; ... ; n ; ...} avec n ∈ N.
C) Ensemble des décimaux
Cet ensemble est noté D.
On dit qu’un nombre x est décimal pour exprimer qu’il existe deux entiers relatifs a et p tels que x = a × 10p .
D) Ensemble des rationnels
Cet ensemble est noté Q.
On dit qu’un nombre x est rationnel pour exprimer qu’il existe un entier relatif a et un entier relatif non nul b tels que
a
x= .
b
E) Ensemble des réels
Cet ensemble est noté R.
√ √ √
Cet ensemble contient tous les nombres précédents mais aussi d’autre appelés irrationnels (par exemple 3, 12, 13)
ou transcendants (par exemple π).
F) Relation entre ces ensembles
6
n 1 10
N
Z
D
Q
−108 −n −5
−
3
125
25 × 10−2
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R
Remarque
R
Le signe ⊂ se lit « est inclus dans » ou « est un sousensemble de » ou « est une partie de ».
0, 5
3
7
2, 147147
√
−3 5
−
1
3
√
2
π
II/ Présentation de l’ensemble des nombres complexes
A) Introduction
Considérons dans l’ensemble C des couples de réels, les deux opérations suivantes :
– addition définie par : (a ; b) + (a0 ; b0 ) = (a + a0 ; b + b0 )
– multiplication définie par : (a ; b) × (a0 ; b0 ) = (aa0 − bb0 ; ab0 + ba0 ).
Les éléments de C son appelés nombres complexes.
– Soit R0 l’ensemble des nombres complexes de la forme (a ; 0).
R0 contient la somme et le produit de deux quelconques de ses éléments.
– L’ensemble R0 des nombres complexes de la forme (a ; 0), où a est un réel, est identifié à R.
C’est-à-dire que désormais, on notera l’élément (a ; 0) de R.
L’ensemble C apparaı̂t comme un sur-ensemble de R muni d’une addition et d’une multiplication qui prolongent celles
de R et qui suit les mêmes règles de calcul.
B) Notation algébrique d’un nombre complexe
Le nombre complexe (0 ; 1) est noté i et vérifie i2 = −1.
Pour tout nombre complexe (a ; b), on peut écrire (a ; b) = a + bi.
Démonstration
(a ; b) = (a ; 0) + (0 ; b) = (a ; 0) + (0 ; 1) × (b ; 0) = a + bi.
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Chapitre 1 : Nombres complexes
Notation algébrique
Tout nombre complexe z peut s’écrire, de façon unique : z = a + bi, où a et b sont des nombres réels.
Le réel a est appelé partie réelle de z. Elle est notée Re(z) = a.
Le réel b est appelé partie imaginaire de z. Elle est notée Im(z) = b mais b appartient bel et bien à R.
Deux nombres complexes z et z 0 sont égaux si et seulement si z et z 0 ont la même partie réelle et la même partie
imaginaire.
C) Remarques
– Le nombre complexe a + bi, avec a et b réels, est nul si et seulement si a = b = 0.
– Les nombres complexes de la forme bi, où b est un réel, sont appelés imaginaires purs.
– 0 est le seul complexe à la fois réel et imaginaire pur.
– Le carré d’un nombre complexe imaginaire pur est un entier négatif.
Démonstration
z = bi
z 2 = (bi)2
z 2 = −b2
D) Calculs dans C
Les calculs dans C suivent les mêmes règles que les calculs dans R ; il convient, en plus de tenir compte de la propriété
i2 = −1.
Addition
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Multiplication
(a + bi) × (c + di) = ac + adi + bci + bdi2
(a + bi) × (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Inverse d’un complexe non nul
À tout nombre complexe z = a + bi, on associe le complexe z = a − bi.
z se lit « z barre » et est appelé le conjugué de z.
On a z × z = a2 + b2 .
z
D’où, si z 6= 0, z
= 1.
zz
1
z
Tout nombre complexe non nul z admet un inverse noté =
.
z
zz
L’inverse du nombre complexe, non nul, a + bi est le nombre complexe :
E) Nombres complexes conjugués
Propriétés
– Pour tout complexe z, le conjugué de z est z.
– Pour tout complexe z, z est réel si et seulement si z = z.
– Pour tout complexe z, z est imaginaire pur si et seulement si z = −z.
Démonstration
Pour tout complexe z, z = a + bi.
z = a − bi
z = a + bi
Donc z = z.
Démonstration
Pour tout complexe z, z = a + 0i avec a ∈ R.
D’où z = a − 0i.
C’est-à-dire z = z.
Soit z un complexe tel que z = z.
z = a + bi d’où z = a − bi.
Si z = z alors a + bi = a − bi.
D’où b = −b, c’est-à-dire b = 0.
Alors z est un réel.
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a2
a
b
−i 2
.
2
+b
a + b2
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Chapitre 1 : Nombres complexes
Démonstration
Pour tout complexe z, z = bi avec b ∈ R.
D’où z = −bi.
C’est-à-dire z = −z.
Soit z un complexe tel que z = −z.
z = a + bi d’où z = a − bi.
Si z = −z alors a + bi = −a + bi.
D’où a = −a, c’est-à-dire a = 0.
Alors z est un imaginaire pur.
Conjugué et opérations
Pour tous complexes z et z 0 : z + z 0 = z + z 0 et z × z 0 = z × z 0 et z n = z n avec n ∈ N.
1
1
Pour tout complexe non nul z : = .
z
z
z
z
Pour tout complexe z et tout complexe non nul z 0 : 0 = 0 .
z
z
Démonstration
On montre que z × z0 = z × z0 .
On pose z = a + bi et z 0 = a0 + b0 i.
z × z 0 = (aa0 − bb0 ) + i(ab0 + a0 b)
D’où z × z 0 = (aa0 − bb0 ) − i(ab0 + a0 b).
z = a − bi et z 0 = a0 − b0 i
Alors z × z 0 = (aa0 − bb0 ) − i(ab0 + a0 b).
Donc z × z 0 = z × z 0 .
Démonstration
On montre que zn = zn .
– Pour n = 2 : z 2 = z × z
– Pour n = 2 : z 2 = z × z
– Pour n = 2 : z 2 = z n
– Supposons que, pour k ≥ 2, z k = z k .
– On montre alors que, z k+1 = z k+1 .
– z k+1 = z k × z
– z k+1 = z k × z
– z k+1 = z k × z
– z k+1 = z k+1
– Pour tout entier n ≥ 2, z n = z n .
Démonstration
On montre que
 ‹
1
z
=
1
.
z
On pose z = x + iy.
1
1
=
z
x + iy
1
x − iy
=
z
(x + iy)(x − iy)
1
x − iy
= 2
z
x + y2
1
x
y
= 2
− 2
i
z
x + y2
x + y2
 ‹
1
x
y
= 2
D’où
+ 2
i.
2
z
x +y
x + y2
Démonstration
1
z
1
z
1
z
1
z
1
x − iy
x + iy
=
(x − iy)(x + iy)
x + iy
= 2
x + y2
x
x
= 2
+ 2
i
x + y2
x + y2
 ‹
1
1
= .
Donc
z
z
z
z
= 0.
0
z
z
z
z
1
1
=
z
×
d’où
= z × 0.
0
0
0
z
z
z z z z
Donc
= 0.
z0
z
On montre que
3/4
=
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Chapitre 1 : Nombres complexes
III/ Représentation géométrique des nombres complexes
−
−
Considérons un plan muni d’un repère orthonormal (O ; →
u ; →
v ).
A) Image d’un nombre complexe
À tout nombre complexe z associons le point M du coordonnées (Re(z) ; Im(z)) ; ce point M est appelé point-image
du nombre complexe z.
Tout point P du plan de coordonnées (a ; b) est le point-image d’un nombre complexe unique a + bi appelé affixe du
point P .
Les nombres réels ont pour image les points de l’axe des abscisse appelé axe réel.
Les nombres imaginaires purs ont pour image les points de l’axe des ordonnées appelé axe imaginaire.
Les images d’un nombre complexe z = a + bi et de son conjugué z = a − bi sont symétriques par rapport à la droite des
abscisses du repère.
B) Affixe d’un vecteur
→
−
→
−
À tout nombre complexe z on peut aussi associer le vecteur V de coordonnées(Re(z) ; Im(z)) ; ce vecteur V est
appelé vecteur-image du nombre complexe z.
→
−
Tout vecteur V de coordonnées (a ; b) est le vecteur-image d’un nombre complexe unique a + bi appelé affixe du
→
−
vecteur V .
−−→
L’affixe de AB est b − a où a et b sont les affixes respectives des points A et B.
C) Représentation géométrique de la somme de deux complexes
Considérons deux nombres complexes z1 et z2 d’images respectives M1 et M2 .
Le point image S de z1 + z2 est le quatrième sommet du parallélogramme OM1 SM2 .
S(z1 + z2 )
M2 (z2 )
M1 (z1 )
→
−
v
O
→
−
u
D) Utilisation des nombres complexes en géométrie
Soient A, B et C trois points d’affixes respectives a, b et c.
−−→ −→
A, B et C sont alignés ⇔ AB et AC sont colinéaires
−−→
−→
A, B et C sont alignés ⇔ ∃k ∈ Z tel que AB = k AC
−
→ = kz−→
A, B et C sont alignés ⇔ z−
AB
AC
A, B et C sont alignés ⇔ b − a = k(c − a)
IV/ Équation du second degré à coefficient réels
A) Équation x2 = a
√
√
Si a est un réel strictement positif, l’équation a deux solutions réelles : a et − a. È
È
Si a est un réel strictement négatif, l’équation a deux solutions imaginaires pures : i |a| et −i |a|.
B) Équation du second degré à coefficient réels
Soit l’équation az 2 + bz + c = 0 où a ∈ R∗ , b ∈ R et c ∈ R et ∆ son
√ discriminant.
√
−b − ∆
−b + ∆
Si ∆ > 0, cette équation a deux solutions réelles distinctes
et
.
2a
2a
−b
Si ∆ = 0, cette équation a une solution réelle double
.
2a
È
È
−b + i |∆|
−b − i |∆|
Si ∆ < 0, cette équation a deux solutions complexe conjuguées
et
.
2a
2a
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