cv - un probleme de simplification de fraction

CV - UN PROBLEME DE SIMPLIFICATION
DE FRACTION
On se pose le problème suivant : quels sont les nombres rationnels de la forme
abc
tels que
bcd
a
abc
= .
bcd
d
Pour de tels nombres, tout revient à “simplifier” par bc (les notations abc, bcd, etc représentant l’écriture
décimale des nombres entiers, donc a, b et c sont des entiers entre 0 et 9 et d est non nul).
Ce problème se traduit donc par l’égalité
a
100a + 10b + c
= ,
100b + 10c + d
d
ou encore si l’on pose U = 10b + c,
100a + U
a
= ,
10U + d
d
ce qui équivaut à
100ad + U d = 10U a + ad ,
ou encore
U=
Enfin, en posant s = 10a − d,
99ad
.
10a − d
99a(10a − s)
.
s
Remarquons tout d’abord que si a = d, alors U = 11a (et s = 9a), et nous avons l’égalité triviale
U=
aaa
a
= .
aaa
a
Nous pouvons donc éliminer cette situation.
Cherchons une condition nécessaire liant a et s.
Le nombre U est compris entre 10 et 99, donc nécessairement
0<
a(10a − s)
≤ 1.
s
L’inégalité de gauche impose a > s/10. Celle de droite conduit à l’inéquation du second degré
10a2 − as − s ≤ 0 .
CV 2
Une des racines du trinôme du membre de gauche est négative, l’autre vaut
√
s + s2 + 40s
,
α=
20
ce que l’on peut majorer par
α<
s+
√
s
s2 + 40s + 400
=
+ 1.
20
10
Donc nécessairement
s
s
<a<
+ 1.
10
10
Ceci signifie que pour une valeur de s donnée, si a existe, il vaut nécessairement
s
a=E
+ 1,
10
et en particulier aussi, que si s est divisible par 10, le nombre a n’existe pas.
Inversement si a est donné, la condition
a(10a − s)
≤ 1,
s
donne
s≥
10a2
.
a+1
Si a = 1 on doit donc avoir s ≥ 5,
si a = 2, on trouve s ≥ 40/3 donc s ≥ 14,
si a = 3, on trouve s ≥ 90/4 donc s ≥ 23.
10a2
Comme la fonction a 7→
est croissante sur R+ , si a ≥ 4, on trouve s ≥ 160/5 = 32.
a+1
Maintenant, puisque U est un nombre entier, le nombre s doit diviser 99a(10a − s). Etudions les facteurs premiers p possibles pour s.
Si p divise 99, il ne peut valoir que 3 ou 11.
Si p divise 10a − s, il divise 10a. Il peut donc valoir 2 et 5. Alors, si
a = pi a′ , d = 10a − s = pj d′
et
avec a′ , d′ et s′ non divisibles par p, on a
U = pi+j−k
99a′ d′
,
s′
ce qui nécessite, pour que U soit entier, que i + j − k ≥ 0.
s = pk s ′ ,
CV 3
Si p divise a, qui est plus
petit que 9, il peut aussi valoir 7 et ceci uniquement si a = 7. Dans ce
s
+ 1, on aura 60 ≤ s ≤ 69. Mais le seul multiple de 7 dans cet intervalle est
cas puisque a = E 10
63 = 7 × 9, et dans ce cas a = d. Donc s ne peut être divisible par 7.
Les seuls facteurs premiers possibles sont donc dans l’ensemble {2, 3, 5, 11}.
Ces remarques étant faites, nous allons pour chaque valeur de a, écrire les valeurs de s comprises entre
10(a − 1) + 1 et 10a − 1 dont les facteurs premiers sont 2, 3, 5 et 11 (sachant que l’on ne peut avoir à
la fois 2 et 5). Avec les conditions obtenues ci-dessus, il restera uniquement les cas cherchés.
a=1
Le nombre s est compris entre 5 et 9 : les nombres s possibles sont 5, 6, 8, 9. Mais s = 9 = 9a est
exclu. Par ailleurs si s = 8 = 23 = 2k , on a d = 10 − s = 21 = 2j et a = 20 = 2i donc k > i + j, et
s = 8 n’est pas possible. Il reste
a s d
U
1 5 5 99
1 6 4 66
1
199
=
995
5
1
166
=
664
4
a=2
Le nombre s est compris entre 14 et 19 : les nombres s possibles sont 15, 16, 18. Mais s = 18 = 9a est
exclu. Par ailleurs, si s = 16 = 24 = 2k , on a d = 20 − s = 22 = 2j et a = 21 = 2i donc k > i + j, et
s = 16 n’est pas possible. Il reste
a
s
d
U
2 15 5 66
266
2
=
665
5
a=3
Le nombre s est compris entre 23 et 29 : les nombres s possibles sont 24, 25, 27. Mais s = 27 = 9a est
exclu. Par ailleurs, si s = 24 = 3 × 23 = 3 × 2k , on a d = 30 − s = 3 × 21 = 3 × 2j et a = 3 × 20 = 3 × 2i
donc k > i + j, et s = 24 n’est pas possible. De même si s = 25 = 52 = 5k , on a d = 30 − s = 51 = 5j et
a = 3×50 = 3×5i donc k > i+j, et s = 25 n’est pas possible. Il n’y a pas de solution dans cette tranche.
a=4
Le nombre s est compris entre 32 et 39. Les nombres s possibles sont 32, 33, 36. Mais s = 36 = 9a est
exclu. Il reste
CV 4
a
s
d
U
4 32 8 99
4 33 7 84
4
499
=
998
8
4
484
=
847
7
a=5
Le nombre s est compris entre 41 et 49 : les nombres s possibles sont 44, 45, 48. Mais s = 45 = 9a
est exclu. Par ailleurs, si s = 44 = 11 × 22 = 11 × 2k , on a d = 50 − s = 3 × 21 = 3 × 2j et
a = 5 × 20 = 5 × 2i donc k > i + j, et s = 44 n’est pas possible. De même si s = 48 = 3 × 24 = 3 × 2k ,
on a d = 50 − s = 21 = 2j et a = 5 × 20 = 5 × 2i donc k > i + j, et s = 48 n’est pas possible. Il n’y a
pas de solution dans cette tranche.
a=6
Le nombre s est compris entre 51 et 59 : les nombres possibles sont 54 et 55. Mais s = 54 = 9a est
exclu. Il reste
a
s
d
U
6 55 5 54
6
654
=
545
5
a=7
Le nombre s est compris entre 61 et 69 : les nombres s possibles sont 64 et 66. Mais si s = 64 = 26 = 2k ,
on a d = 70 − s = 3 × 21 = 3 × 2j et a = 7 × 20 = 7 × 2i donc k > i + j, et s = 64 n’est pas possible.
Il reste
a
s
d
U
7 66 4 42
742
7
=
424
4
a=8
Le nombre s est compris entre 71 et 79 : les nombres s possibles sont 72 et 75. Mais s = 72 = 9a est
exclu. Par ailleurs, si s = 75 = 3 × 52 = 3 × 5k , on a d = 80 − s = 51 = 5j et a = 8 × 50 = 8 × 5i donc
k > i + j, et s = 75 n’est pas possible. Il n’y a pas de solution dans cette tranche.
a=9
Le nombre s est compris entre 81 et 89 : les nombres s possibles sont 81 et 88. Mais s = 81 = 9a est
exclu. Par ailleurs, si s = 88 = 11 × 23 = 11 × 2k , on a d = 90 − s = 21 = 2j et a = 9 × 20 = 9 × 2i
donc k > i + j, et s = 88 n’est pas possible. Il n’y a pas de solution dans cette tranche.
CV 5
En résumé les seuls nombres possibles sont
a
s
d
U
1
5
5 99
1
6
4 66
2 15 5 66
4 32 8 99
4 33 7 84
6 55 5 54
7 66 4 42
199
995
166
664
266
665
499
998
484
847
654
545
742
424
=
=
=
=
=
=
=
1
5
1
4
2
5
4
8
4
7
6
5
7
4