Rappels de 1ère ES 1 Fonctions usuelles Fonctions à connaître affine : x !→ ax + b carré : x !→ x cube : x !→ x 2 Application. Dans un même repère orthonormé, tracer les fonctions suivantes : a(x) = 2x − 3, √ 1 f (x) = x2 , c(x) = x3 , i(x) = , r(x) = x. x 3 1 inverse : x !→ x racine carrée : x !→ √ x 2 Équations du second degré Équation : ax2 + bx + c = 0 avec a ̸= 0 Discriminant : ∆ = b2 − 4ac √ √ −b − ∆ −b + ∆ • ∆ > 0 =⇒ x1 = et x2 = 2a 2a 2 ax + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) x f (x) −∞ signe de a x1 0| signe de −a x2 0| Application. On considère les trois équations suivantes : • (E) : −3x2 + 4x + 4 = 0 ; • (F ) : 2x2 + x + 5 = 0 ; • (G) : 4x2 − 20x + 25. +∞ Pour chacune de ces équations : 1. Résoudre l’équation. signe de a −b et ax2 + bx + c = a(x − x0 )2 2a • ∆ < 0 =⇒ pas de solution dans R 2. Factoriser l’équation. • ∆ = 0 =⇒ x0 = 3. Dresser son tableau de signes. 3 Dérivation f est dérivable en a si f ′ (a) = lim h→0 f (x) u+v k×u u×v u v f (x) u′ + v ′ k × u′ ′ u × v + u × v′ u′ × v − u × v ′ v2 ′ • f croissante ⇐⇒ f ′ (x) ! 0 • f décroissante ⇐⇒ f ′ (x) " 0 • f constante ⇐⇒ f ′ (x) = 0 f (a+h)−f (a) h f (x) k ax + b xn √ x 1 x existe f ′ (x) 0 a nxn−1 −1 √ 2 x 1 − 2 x Application. 1. Démontrer la formule de la dérivée de x2 . 2. Déterminer la dérivée de x2 ; x3 ; x4 ; x2015 , x3 + 2x2 − 5x + π ; 10(−4x + 1) x−5 (2x + 3)(1 − x) et . 2x + 7 3. Le bénéfice obtenu pour la vente de q objets est défini par B(q) = −0, 2q 2 + 58q − 1200. Combien faut-il vendre d’objets pour avoir un bénéfice maximal ? 4 Pourcentages Application. 1. Un article passe de 150 e à 180 e. Quel est son taux d’évolution ? vf inale − vdépart vdépart t Coefficient multiplicateur : 1 ± 100 "! " ! t2 t1 1+ Évolutions successives : 1 + 100 100 Taux d’évolution : N. Daval - mathematiques.daval.free.fr 2. Un loyer de 600 e augment de 1, 5 %. Quel est le montant après augmentation ? 3. Une production baisse de 10 % pour atteindre 5 tonnes. Quelle était la production avant ? 4. Un article est soldé a 20%, puis on lui applique une démarque supplémentaire de 30%. De quel pourcentage le prix a-t-il globalement baissé ? 1/2 Lycée G. Brassens Rappels de 1ère ES 5 Suites Application. Antoine place 10 000 e au 1er janvier 2015 pendant 5 ans. Son banquier lui propose deux placements : • A : taux mensuel de 0, 15 % à intérêts simples ; • B : taux annuel de 1, 75 % à intérêts composés. Soit an [bn ] le capital acquis au bout de n mois [années] avec le placement A [B]. Pour chacun des placements : 1. Déterminer une relation de récurrence. Suite explicite : un = f (n) Suite récurrente : un+1 = f (un ) un+1 >1 un un+1 <1 Suite décroissante : un+1 < un ou un Suite arithmétique : un+1 = un + r et un = u0 + n × r Suite croissante : un+1 > un ou 2. Déterminer une relation explicite. Suite géométrique : un+1 = q × un et un = u0 × q n 3. Calculer le capital au bout de 5 ans. 6 Statistique N 1 # (xi − m)2 n√ i=1 Écart type : σ = V Médiane : valeur qui partage une liste ordonnée en deux listes de même effectif Quartiles : valeurs Q1 , Q2 , Q3 qui partagent une liste ordonnée en quatre listes de même effectif Q1 Q3 Diagramme en boite : M ed = Q2 Variance : V = min Max Application. On donne dans le tableau suivant le relevé des âges des enfants d’un centre aéré : âge effectif 5 2 6 3 7 2 8 4 9 2 10 1 11 3 12 1 13 1 1. Déterminer la moyenne, la variance et l’écart-type de la série. 2. Construire le diagramme en boite de la série. 7 Probabilités nombre d’issues réalisées nombre d’issues possibles Loi de proba de X : ensemble des probabilités des issues Espérance : E(X) = x1 P (X = x1 ) + · · · + xn P (X = xn ) Loi de Bernoulli B(p) : expérience à deux issues P (succès) = p et P (échec) = 1 − p La variable X associée au nombre de succès dans la répétition de manière indépendante de n épreuves de Bernoulli B(p) suit une!loi"binomiale B(n, p) d’espérance n × p n k P (X = k) = p (1 − p)n−k k Équiprobabilité : P = Application. Un menuisier propose un escalier composé de 14 marches présentant un défaut dans 4 % des cas. Elles sont choisies indépendamment dans un stock important. Le prix varie suivant le nombre de défauts : • Aucun ou un : 2 300 e. • De deux à quatre : 1 150 e. • Cinq ou plus : 1 000 e. X est la variable aléatoire qui compte le nombre de marches ayant un défaut dans un tel escalier. 1. Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? 2. Calculer la probabilité que l’escalier soit vendu au prix de 2 300 e. 8 Échantillonnage Intervalle de fluctuation au seuil de 95$% de%la fréquence a b d’une variable aléatoire X ∼ B(n, p) : où , n n • a est le plus petit entier tel que P (X " a) > 0, 025 • b est le plus petit entier tel que P (X " b) ≥ 0, 975 N. Daval - mathematiques.daval.free.fr 2/2 Application. Le directeur d’une marque pense que 90 % des consommateurs sont satisfaits de sa marque. Il interroge 500 consommateurs au hasard. Parmi ceux-ci, 425 sont satisfaites. L’hypothèse est-elle acceptable, au seuil de 95 % ? Lycée G. Brassens