FA11.2 Équations Mathématiques 11H - 11B THÉORIE : Équations du 2ème degré Lorsqu’on ne peut pas factoriser simplement, on effectue la complétion du carré. Voici ce que cela donne avec l’équation 2x2 + x – 3 = 0. Exemple : 2x2 + x – 3 = 0 x2 + 1 3 x- =0 2 2 x2 + 1 1 1 3 x+ - =0 2 16 16 2 1 4 2 1 x+ 4 2 1 4 2 x+ 1 4 2 x+ x+ 1 5 1 5 + - x+ =0 4 4 4 4 x+ 6 4 - x+ 3 2 - (x - 1) = 0 x+ - 1 3 + =0 16 2 - 1 24 + =0 16 16 - - 25 =0 16 5 4 2 x- =0 4 =0 4 S= - 3 2 ;1 1 FA11.2 Équations Mathématiques 11H - 11B Si on applique la méthode ci-dessus à l’équation générale ax2 + bx + c = 0, on trouve ax2 + b + c = 0 x2 + b c x=0 a a x2 + b b b c x+ + =0 2 2 a a 4a 4a 2 b x+ 2a 2 b 2a 2 b x+ 2a 2 b x+ 2a 2 x+ - - 2 b 2 4a b 2 4a 4ac 4a =0 2 2 - b - 4ac 4a =0 2 2 2 b - 4ac 2a - 2 - 2 √∆ 2a b √∆ + 2a 2a x+ b + √∆ 2a - b - √∆ 2a =0 b - 4ac (appelé le discriminant de ax2 + bx + c = 0), on a : x+ x+ + 2 Si on pose ∆ = b x+ 2a c =0 a - 2 2 x+ =0 x+ b √∆ 2a 2a b - √∆ 2a x+ =0 =0 - b + √∆ 2a =0 L’équation ax2 + bx + c = 0 a donc deux solutions : - x1 = - b - √∆ 2a - x2 = - b + √∆ 2a 2 FA11.2 Équations Mathématiques 11H - 11B On doit alors distinguer 3 cas : a. si ∆ < 0 : l’équation n’a pas de solution x1 = x2 = ∅ S=∅ b. si ∆ = 0 : l’équation possède une solution unique : x1 = x2 = -b 2a S= -b 2a c. si ∆ > 0 : l’équation possède deux solutions : x1 = - b - √∆ 2a S= - b - √∆ - b + √∆ ; 2a 2a x2 = - b + √∆ 2a S= - b + √∆ - b - √∆ ; 2a 2a 3