Les équilibres

COURS DE MÉCANIQUE POUR LE CRPE
PREMIÈRE PARTIE
Jean-Michel ROLANDO (Site de Bonneville)
Les équilibres
I. Classification des actions
On distingue les actions de contact et les actions à distance.
• Les actions de contact peuvent être ponctuelles (un fil qui tire un objet) ou réparties (une main qui pousse un
objet).
• Les actions à distance sont en général des actions réparties (la Terre qui attire un objet placé à son voisinage, un
aimant qui attire un trombone ou qui repousse un autre aimant).
II. Modélisation d’une action par une force
• On représente les actions par une grandeur vectorielle : la force.
• La force exercée par un système sur un autre système se caractérise par :
- sa direction : droite selon laquelle elle s’exerce,
- son sens qui fournit l’orientation (deux sens possibles dans une direction donnée),
- son intensité (sa mesure, exprimée en newton, de symbole N).
- Lorsque la force s’exerce sur une surface suffisamment petite pour qu’on puisse l’assimiler à un point, on
définit celui-ci comme son point d’application. Le plus souvent, les actions se répartissent sur une surface
(deux objet en contact l’un contre l’autre) ou dans un volume (l’attraction de la Terre sur un corps). On
représente alors la force en lui donnant comme origine le point tel qu’en appliquant fictivement la totalité de
l’action en ce point, le système se comporterait de la même façon.
III. Poids et masse
• La grandeur pertinente lorsqu’on s’occupe de situations d’équilibre est le poids. Il caractérise le résultat de
l’attraction terrestre sur les différentes parties d’un objet. Le poids est une force qui s’exprime en newton (N).
• La masse caractérise l’inertie (la résistance) qui s’oppose à la modification d’un mouvement. La mise en
mouvement d’une remorque est beaucoup plus facile lorsqu’elle est vide que lorsqu’elle est chargée. On peut
faire la même remarque lorsqu’il s’agit de l’arrêter. La masse caractérise ce rapport entre la force à exercer et la
modification du mouvement. La masse s’exprime en kilogramme (kg).
• Le poids se représente par un vecteur vertical, dirigé vers le bas et appliqué au centre de gravité.
• Poids et masse sont liés par la relation vectorielle suivante
P = m.g
g est l’intensité de la pesanteur. Elle s’exprime en newton par kilogramme (N.kg-1).
IV. Moment d’une force par rapport à un axe
NB. Ce paragraphe et les suivants sont très importants puisqu’ils permettent d’interpréter les
situations d’équilibre figurant au programme de l’école.
C’est une grandeur qui caractérise l’effet d’une force sur une rotation (la plus ou moins
grande facilité à provoquer la rotation d’un solide donné). Dans toute la suite, nous
considérons un solide quelconque susceptible de se mouvoir autour d’un axe fixe. Nous nous
restreignons au cas des forces situées dans un plan orthogonal à l’axe de rotation.
Le moment de la force F par rapport à l’axe O est
l’expression : M = F.d.
Le moment d’une force s’exprime en newton-mètre N.m
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Important : l’effet d’une force sur la rotation est d’autant plus important que l’intensité de la
force est importante et qu’elle s’exerce loin de l’axe de rotation.
Cas particulier : une force dont la direction coupe l’axe de rotation a un moment nul par
rapport à celui-ci ; elle n’a donc pas d’effet sur la rotation.
V. Théorème des moments
!
!
Il traduit la relation entre les moments des forces qui s’appliquent au solide lorsqu’il est en
équilibre (voir figure ci-après).
• On repère le sens dans lequel chaque force tend à faire tourner le solide ( F2 dans un sens ;
F1 et F3 dans l’autre sens).
• Le théorème des moments exprime que
- la somme des moments des forces qui tendent
!
à faire tourner le solide dans un sens
- est égale à la somme des moments des forces
qui tendent à le faire tourner dans l’autre sens.
• Dans l’exemple choisi :
Moment de F2 = Moment de F1 + Moment de F3
Soit, encore :
F2.d2 = F1.d1 + F3.d3
!
!
VI. Applications
!
1. Les leviers
• Un levier est constitué d’une tige
rigide pouvant pivoter autour d’un
point d’appui ou pivot.
• Considérons le cas de deux forces
antagonistes s'exerçant dans le plan
de la rotation perpendiculairement à
une tige homogène. En négligeant la
masse de la tige, on a la relation
suivante : FA x OA = FB x OB
Analyse simplifiée des forces qui s’exercent
sur un levier
Ainsi la force FB nécessaire pour équilibrer FA est donc d'autant plus faible que la
distance OA est petite et que OB est grande.
• Il existe plusieurs sortes de leviers dont quelques-unes sont indiquées ci-dessous.
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Quelle que soit la géométrie du dispositif et le sens dans lequel la force s'exerce, le principe
consiste toujours à placer la charge le plus près possible du pivot et à exercer la force le
plus loin possible de celui-ci.
2. La balance de Roberval
Les distances OA et OB sont égales. Les plateaux sont de même masse.
Le principe de la balance découle très
simplement du théorème des moments
Lorsque la balance est en équilibre, la
masse placée sur le plateau de gauche
est égale à la masse placée sur le
plateau de droite.
3. Autres balances
Les balances se distinguent par leur usage et par leur principe.
• L’usage conditionne la forme (présence d’un récipient pour une balance de cuisine, socle
simple pour un pèse-personnes), les dimensions, les matériaux utilisés (esthétique, solidité), la
précision (fondamentale en laboratoire, moins importante en cuisine), la charge maximale
admissible, et, en conséquence, le principe choisi.
• On distingue les balances électroniques (non étudiées ici), les balances fondées sur la
déformation élastique d’une pièce (le pèse personne, la balance de ménage...) et les balances
fondées sur la réalisation d’un équilibre. Dans cette dernière catégorie il est utile de connaître
la balance de Roberval (voir ci-dessus) et la balance romaine (voir ci-dessous).
Plus la charge est lourde, plus il faut éloigner la masse mobile de l’anneau de suspension.
L’étalonnage de la balance se fait en plaçant sur le plateau des masses connues. On déplace la
masse mobile jusqu’à équilibre et on note la valeur de la masse directement sur la tige.
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4. Les treuils
Ce sont des dispositifs qui permettent de soulever des charges importantes tout en exerçant
une force qui reste modérée.
D’après le théorème des moments :
F x L = mg x R
Pour réduire la force à exercer, on
peut donc augmenter la longueur de
la manivelle ou réduire le rayon du
tambour.
Analyse simplifiée des forces en présence
Exercices résolus
Expliquez par un schéma commenté le principe de fonctionnement de l’objet ci-dessous.
La brouette est un levier que l’on peut modéliser ainsi :
R
O
F
A
B
!
P
R représente la réaction du sol, P le poids de la brouette qui dépend essentiellement de la
charge que l’on soulève et F la force à exercer pour soulever la brouette. On suppose que
celle-ci est immobile. On applique le théorème des moments à l’axe O :
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!
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P. OA = F. OB
NB : le moment de R est nul puisque cette force passe par l’axe de
rotation (son effet sur la rotation est nul).
OA
On en déduit que F = P
OB
!
Puisque OA < OB, on déduit que F < P d’où l’intérêt de la brouette pour transporter des
charges lourdes. Plus précisément, on constate que F diminue d’autant plus que OA est petite
et que OB est grande. On comprend donc ainsi qu’on a intérêt à placer la charge le plus près
possible!de l’axe de rotation pour minimiser l’effort à fournir.
!
Un père et son fils font de la balançoire à bascule. Expliquez comment ils doivent se
positionner sur celle-ci. Justifiez.
La balançoire est en équilibre sous l’effet du poids du père ( PA ) et de celui du fils ( PB ). Le
père s’installe en A, le file en B. NB : faire un schéma.
On peut ne pas tenir compte du poids de la balançoire elle-même puisqu’il s’applique sur
l’axe de rotation.
! : P .OA = P .OB
Si le père et le fils sont en équilibre, on a, d’après !
le théorème des moments
A
B
PB
⇒ OA = OB
PA
Comme (en général) le poids du fil est inférieur à celui du père, on déduit
de cette relation que
!
OA < OB. Le père doit donc se positionner sur la balançoire plus près de l’axe que le fils. La
distance exacte OA serait donnée par la formule ci-dessus.
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