tg5 : pyramide et cône

TG5 : PYRAMIDE ET CÔNE
I) Pyramide
a) Pyramide quelconque
Une PYRAMIDE est un solide composé :
- d’une BASE de forme polygonale,
- de FACES LATÉRALES triangulaires ayant un sommet commun : le SOMMET de la
pyramide.
Remarque : la droite (SH)
perpendiculaire au plan de base
est la HAUTEUR de la pyramide.
b) Pyramide régulière
Une pyramide de sommet S est dite RÉGULIÈRE lorsque :
- sa base est un polygone régulier (côtés et angles égaux) de centre O : triangle
équilatéral, carré…
- [SO] est la hauteur de cette pyramide.
Remarque : les faces latérales d’une pyramide
régulière
sont
des
triangles
isocèles
superposables.
c) Patron
Un patron de pyramide se compose du
polygone de base et des faces
latérales triangulaires
Exemple : pyramide régulière à base
carrée.
II)
Cône de révolution
a) Définition
Un CÔNE DE RÉVOLUTION est un solide composé :
- d’une BASE constituée d’un disque de centre O,
- d’une SURFACE LATÉRALE en forme de secteur circulaire de sommet S
(voir patron du b))
Le segment [SO] est la HAUTEUR du cône.
Remarque : ce cône est engendré par la rotation du triangle SOM
rectangle en O autour de la droite [SO]. L’hypoténuse [SM] est une
GÉNÉRATRICE de ce cône.
b) Patron
Un patron de cône se compose
de sa base (disque) et de sa
surface
latérale
(secteur
circulaire)
Remarque : la longueur de l’arc
A1A2 est égale au périmètre
du disque de base.
Exemple : construire le patron d’un cône ayant une base de 3 cm de rayon et dont la génératrice
mesure 8 cm.
- on calcule le périmètre du disque de base : P = 2 × π × r
P = 2 × π × 3 = 6π cm
-
on calcule l’angle S du secteur circulaire : il est proportionnel à la longueur de l’arc.
Angle en degrés
x
360
Longueur de l’arc en cm
6π
2 × π × 8 = 16π
L’égalité des produits en croix donne :
Périmètre du disque de rayon 8 cm
dont on ne construit qu’un secteur
x × 16π = 360 × 6π
x
=
360 × 6π
= 135°
16π
III) Volume de la pyramide et du cône
V=
1
1
× aire de base × hauteur = ×
3
3
B×h
ou
B = aire du polygone de base
(exemple : B = L × l pour une pyramide
B = aire du disque de base
à
B=π×r
2
(où r = rayon du disque de base)
base rectangulaire)
exemples de calculs de volumes
1) calculer le volume d’une pyramide de 15 cm de
hauteur ayant une base carrée de 6 cm de
côté.
B = c2 = 62 = 36 cm2
V=
1
1
36 × 15
× B × h = × 36 × 15 =
= 180 cm3
3
3
3
2) calculer le volume d’un cône de 15 cm de
hauteur et de rayon de base 3 cm (on
donnera la valeur exacte puis la valeur
arrondie au mm3 près)
B = π × r2 = π × 32 = π × 9 = 9π cm2
V=
1
9π × 15
× 9π × 15 =
= 45π cm3
3
3
V ≈ 141,372 cm3 au mm3 près par excès