3_cours Calcul littéral

3ème
2014/2015
Nombre & Calculs
Chapitre 0.5
ral
Calcul litte
Plan du cours
1
2
3
4
5
1
Expression littérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simple distributivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Double distribituvité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Application 1 : Suppression de parenthèses derrière un signe..
Application 2 : un calcul complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
3
4
4
rale
Expression litte
finition 1 (Expressions littérales).
De
Une expression littérale est une expression algébrique dans laquelle un (ou plusieurs) nombre(s)
est remplacé par une ou plusieurs lettre(s).
Remarque Le fait d’utiliser une lettre permet de gagner en généralité par rapport au cas particulier d’un
nombre.
Exemple
1. Le produit d’un nombre par (−4), le tout augmenté de
5
3
se traduit par l’expression littérale
5
3
où x est le nombre dont il est question mais dont on ne connait pas la valeur.
2. La valeur de cette expression pour x = 23 est alors
x × (−4) +
2
5 2 × (−4) 5 −8 + 5 −3
× (−4) + =
+ =
=
= −1
3
3
3
3
3
3
3. Le volume V d’un cube d’arète a est V = a3 .
Notation Simplification d’écritures.
Afin de ne pas surcharger les écritures avec des mutiplications, on adoptera les conventions suivantes :
● 2 × n = 2n ; a × b = ab
● (a + b) × (a′ + b′ ) = (a + b)(a′ + b′ )
● 6 × (x + 5) = 6(x + 5) ; y × (5 − x) = y(5 − x)
● 1x = x ; a × 4 = 4 × a = 4a
Remarque
BOn ne simplifie jamais la multiplication entre deux nombres :
2×3=6
mais
1
23 ≠ 6
ral
Chapitre 0.5 : Calcul litte
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2014/2015
On peut simplifier uniquement l’écriture d’une multiplication entre :
_ un nombre et une lettre,
_ deux lettres,
_ un nombre (ou une lettre) et un symbole (parenthèses, crochets,. . . )
Exercice 1
1. On veut calculer le carré d’un nombre diminué de 3. Donner une expression littérale qui traduit ce
souhait. On pourra noter x le nombre initial.
2. Calculer l’expression littérale A = 3(1 − x) + x pour x = 5 et x = 51 . Donner la réponse sous forme
fractionnaire.
2
Simple distributivite
te
1 (Simple distributivité).
Proprie
Pour a, b et k ; 3 nombres (relatifs, fractionnaires).
développement
Ð→
=
←Ð
k × (a + b)
k×a+k×b
factorisation
Illustration Il s’agit de calculer l’aire du rectangle par deux méthodes différentes : avec les 2 petits
rectangles et avec le grand rectangle.
Exemple
Développons E1 = 5(x + 3).
E1 = 5 × (x + 3)
=5×x+5×3
= 5x + 15
Factorisons E2 = 36 − 4y.
E2 = 36 − 4y
=4×9−4×y
= 4 × 9 + 4 × (−y)
= 4 × (9 + (−y))
= 4 × (9 − y)
2/4
Développons E3 = a(3 − b) + 2a.
E3 = a × (3 − b) + 2a
= a × 3 − a × b + 2a
= 3a − ab + 2a.
= 3a + 2a − ab
= 5a − ab
ral
Chapitre 0.5 : Calcul litte
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Exercice 2
1. Développer et réduire les expressions littérales ci-dessous.
A = 4(3 − x)
B = −2(2t − 7)
C = (5 − y) × (−3)
D = 8 × (2z − 4) − 3
2. Factoriser les expressions suivantes.
E = 5t − 5
3
F = −7y + 3x
G = 4x + 12
H = −7 − 42z
I = 15y + 20
Double distribituvite
te
2 (Double distributivité).
Proprie
Pour a, b, c et d ; 4 nombres (relatifs, fractionnaires).
développement
(a + b) × (c + d)
Ð→
=
←Ð
a×c+a×d+b×c+b×d
factorisation
Illustration Il s’agit de calculer l’aire du grand rectangle avec deux méthdoes différentes : avec les 4
petits rectangles et directement avec le grand rectangle.
Exemple
Développons et réduisons l’expression T = (−4 + a)(3 + a).
Développons S = (x + 3)(7 − y) − 2xy.
S = (x + 3) × (7 − y) − 2xy
T = (−4 + a)(3 + a)
= −4 × 3 + (−4) × a + a × 3 + a × a
= −12 + (−4)a + 3a + a2
= −10 − 4a + 3a + a2
= −10 − 1a + a2
= −10 − a + a2
= x × 7 − x × y + 3 × 7 − 3 × y − 2xy
= 7x − xy + 21 − 3y − 2xy
= 7x − xy − 2xy + 21 − 3y
= 7x − 3xy + 21 − 3y
Exercice 3 Développer et réduire les expressions données.
A = (3 + x)(x − 4)
B = (5 − y)(5 + y)
3/4
C = (t + 4)(u − 2)
ral
Chapitre 0.5 : Calcul litte
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2014/2015
ses derrie
re un signe.
Application 1 : Suppression de parenthe
te
3 (Suppression de parenthèses).
Proprie
On considère quatre nombres a, b, c et d.
1. Ajouter une somme algébrique revient à additionner chaque terme de cette somme.
2. Soustraire une somme algébrique revient à additionner les opposés de chaque terme de cette
somme.
Démonstration : Repose sur un développement par simple distributivité.
1. a + (b + c − d) = a + 1 × (b + c − d)
développement
2. a − (b + c − d) = a + (−1) × (b + c − d)
=
a+1×b+1×c−1×d=a+b+c−d
développement
=
a + (−1) × b + (−1) × c − (−1) × d = a − b − c + d
◻
Exemple
3x + (2 − 4, 2x2 ) = 3x + 2 − 4, 2x2
3x − (2 − 4, 2x2 ) = 3x − 2 + 4, 2x2
thode 1 (Suppression de parenthèses).
Me
Pour supprimer les parenthèses situées après un signe :
1. Si le signe + se trouve devant une parenthèse,
alors on supprime les parenthèses sans changer les signes des quantités à l’intérieur
2. Si le signe − se trouve devant une parenthèse,
alors on supprime les parenthèses en changeant les signes des quantités à l’intérieur
Exercice 4 Supprimer les prenthèses derrière les signes pour réduire les expressions suivantes :
A = 4 + (−5 + 3x)
5
B = −2x − (5x − 4)
C = −(4 + 4x − 4y) + 4y
D = 5x + (3x − 2 + 5y)
Application 2 : un calcul complexe.
On considère l’expression littérale A = x(4 − 3x) + (2 + x) × (4 − 3x) + 6x2 .
1. Développer et réduire A.
simple distributivité
double distributivité
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ µ
A = x(4 − 3x) + (2 + x) × (4 − 3x) +6x2
= x × 4 − x × 3x + 2 × 4 − 2 × 3x + x × 4 − x × 3x − 3x2 + 6x2
= 4x − 3x2 + 8 − 6x + 4x − 3x2 + 6x2
= (4x − 6x + 4x) + (−3x2 − 3x2 + 6x2 ) + 8 ; on regroupe les termes de “même nature”
= 2x + 0x2 + 8
= 2x + 8
2. Factoriser l’expression obtenue.
On fait apparaı̂tre un facteur commun aux 3 termes.
A = 2x + 8
= 2×x + 2×4
= 2 × (x + 4)
4/4