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Tout ce que vous avez toujours
voulu savoir sur
les règles de calcul…
Priorités opératoires :
Règle : Dans un calcul comportant plusieurs opérations, je dois :
1.
2.
3.
4.
m'occuper d'abord des parenthèses.
puis des puissances
puis effectuer les multiplications et les divisions.
enfin je dois faire les additions et les soustractions.
Lorsque aucune opération n'est prioritaire sur une autre (par exemple une addition suivi d'une soustraction), je
dois alors effectuer le calcul en partant de la gauche comme si je le lisais.
EXEMPLE :
2 + 3x7 = 2 + 21 = 23
3/2/5 – 6 = 1,5/5 – 6 = 0,3 – 6 = - 5,7
Pièges et parenthèses…
La distributivité : a(b + c) = ab + ac
La double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
La « fausse » distributivité ou les parenthèses inutiles ….
FAIRE : a + (b + c) = a + b + c
FAIRE : a(bxc) = axbxc = abc
NE PAS FAIRE : a + (b + c) = a + b + a + c
NE PAS FAIRE : ax(bxc) = axbxaxc
Parfois, pour imposer une étape de calcul comme prioritaire, on ajoute des parenthèses ; l’addition, comme la
multiplication, sont des opérations associatives, c'est-à-dire : on peut regrouper les calculs dans l’ordre qui nous
arrange (souvent dans un but de les simplifier). Ces deux opérations sont aussi commutatives, c'est-à-dire que
le résultat ne change pas si on permute les différents facteurs : 2 + 5 = 5 + 2 et 2 x 3 = 3 x 2.
EXEMPLE :
1 3
1
3
+ 5+ = 5+  +  = 5+ 2 = 7
2
2
2 2
Fractions
Règle 1 : additionner (ou soustraire) deux fractions ayant le même dénominateur.
Pour calculer la somme (ou la différence) de deux fractions il faut qu’elles aient le même dénominateur, puis :
o
o
on additionne (ou on soustrait) les deux numérateurs.
on conserve leur dénominateur commun.
Autrement dit :
a c ad cb ad  cb
 


b d bd db
bd
Règle 2 : Multiplier (ou diviser ) deux fractions.
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs et on multiplie les dénominateurs.
Autrement dit :
a c ac
 
b d bd
Cas particulier d’une fraction et d’un nombre :
c
a c a ac
  
b 1 b b
Diviser par un nombre c’est multiplier par son inverse :
a
b  a  d  ad
c b c bc
d
Règle 3 : simplifier des fractions.
Attention à la position du « = » :
a
c ac
 a 
b
b b
c
a
b  a1  a
c b c bc
Simplifier une fraction c’est utiliser les règles 2 et 3 « à l’envers ».
o
On ne peut simplifier une fraction que lorsqu’il y a des multiplications (quitte à faire une mise en
facteur)
FAIRE :
o
n 2
2

n² 5 5n
NE PAS FAIRE :
n 2 12

n²  5 n  5
On peut « casser » une fraction par le bas pas par le haut
FAIRE : …
n 3 n 3
3
  1
n
n n
n
NE PAS FAIRE :
n
n n
 
n 3 n 3
Ma calculatrice connait les règles opératoires, sait faire des calculs avec les fractions (sous réserve que je lui
pose la bonne question !!!)
o
Trouver une valeur approchée près de
5
1 2
FAIRE :
:
NE PAS FAIRE :
Puissances
Convention : Pour tout réel a non nul, on a : a0 = 1
« 00 » n’existe pas !!!!
a et b sont des nombres réels, m et n sont des entiers relatifs ().
Pour les règles qui suivent il faut parfois ajouter a ou b non nuls, ainsi que m ou n non nul, ou positif, pour ne pas
effectuer un calcul illicite (division par 0 …)
Définition :
Définition d’une puissance : cas d’un exposant positif : an  a  a  a  a  a......  a
n facteurs a
cas d’un exposant négatif : a n 
1
a  a  a  a  a......  a
n facteurs a
Règle 1 : Produit et quotient de puissances d’un même nombre
an x am = an + m : on ajoute les exposants
an
1
 an m  mn : on soustrait les exposants
m
a
a
Règle 2 : Puissance de puissance
a 
n
m
 anm  anm : on multiplie les exposants
Règle 3 : La distributivité de l’exposant par rapport à la multiplication et à la division
 a  b
n
 an  bn  anbn
n
a
an
   n
b
b
o
Petite astuce : on change le signe de la puissance chaque fois que l’on change « d’étage ».
Un peu de gymnastique ….
a5
1
b7
5 7

a
b


b7
a 5b7 a 5
Racines carrées
Définition :
Lorsque a est un nombre positif,
a désigne le seul nombre positif dont le
carré est égal à a.
a et b sont deux nombres réels positifs (qui pourront être non nuls si besoin est), n est un entier relatif.
Règle 1 : Racine carré et multiplication
Si on n’a pas de renseignement sur
a b  a  b
an 
Résultat pratique :
o
 a
n
en particulier :
a²b  a b ou encore :
a² 
 a
2
a6b3c7 
le signe de a, la règle générale est :
a
a²  a
 a  b  b² c  c 
3
2
3
2
 a3bc3 bc ……
Pour « sortir » de la racine carrée le nombre doit « perdre » son carré …
Règle 2 : Racine carrée et quotient
a
a

b
b
Règle 3 : Racine carrée et addition
Il n’y a pas de règle de calcul, on ne peut rien faire (de manière générale). Donc éviter d’en inventer une…
FAIRE : Rien
NE PAS FAIRE :
a²  b²  a  b
Règle 4 : La quantité conjuguée
Pour présenter un résultat final sous forme d’une fraction, on s’arrange toujours pour que celle-ci soit
irréductible, et ne présente pas de radicaux au dénominateur.
o
Racine « toute seule » :
o
Racine « accompagnée » :
a
b

b
b
c
a b


a b
b
c
a b

a b
a b

ac  c b
a²  b
a  b s’appelle la quantité conjuguée de a  b
Inéquations et opérations
Règle 1 : Inégalité et addition ou sous traction
On ne change pas le sens d’une inéquation si on ajoute ou soustrait aux deux membres de l’inéquation un même
nombre.
a<ba+c<b+c
a<ba–c<b–c
Règle 2 : Inégalité et multiplication ou division
o
On ne change pas le sens d’une inéquation en multipliant ou divisant ses
deux membres par un même nombre strictement positif.
a < b  ac < bc
a<b
o
a b

c c
où c > 0 et
On change le sens d’une inéquation en multipliant ou divisant ses deux
membres par un même nombre strictement négatif.
a < b  ac > bc
a<b
a b

c c
où c < 0 et
Règle 3 : Et avec deux inégalités…
o
On peut ajouter membre à membre deux inégalités de même sens :

a  b
a  c  b  d
c  d

FAIRE :
o

ab

a  d  b  c
c  d   c   d   d   c

NE PAS FAIRE :
a  b

a  c  b  d
c  d

On peut multiplier membre à membre deux inégalités de même sens sous réserve qu’elles aient tous leurs
membres strictement positifs.
0  a  b

a  c  bd
0  c  d
