Dérivation : point de vue global

'
I
I.1
Dérivation : point de vue global
'
Fonction dérivée
Fonction dérivée
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
f (a + h) − f (a)
existe et on l’a appelé « nombre dérivé de f en a »et noté f 0 (a).
On a vu que pour a ∈ I, lim
h
h→∞
Définition 1
Soit f une fonction dérivable en tout point x d’un intervalle I, alors la fonction qui à x associe f 0 (x) est appelée fonction
dérivée de f sur I. On la note f 0 .
I.2
Dérivées des fonctions usuelles
Ensemble de
Définition
II
Ensemble de
dérivabilité de f
Fonction f
Dérivée f 0
R
x 7→ k
x 7→ 0
R
R
x 7→ x
x 7→ 1
R
R
x 7→ x 2
x 7→ 2x
R
R
x 7→ x 3
x 7→ 3x2
R
R+
√
x 7→ x
1
x 7→ √
2 x
R∗+
R∗
x 7→
x 7→ −
1
x2
R∗
x 7→
1
x
R∗+
1
x
R∗+
x 7→ ln x
R
x 7→ ex
x 7→ ex
Opérations sur les fonctions dérivables
Fonction f
Dérivée f 0
k.u(x)
k.u 0 (x)
u(x) + v(x)
u 0 (x) + v 0 (x)
u(x).v(x)
u 0 (x).v(x) + u(x).v 0 (x)
u(x)
v(x)
u 0 (x).v(x) − u(x).v 0 (x)
(v(x))2
eu(x)
u 0 (x)eu(x)
Si u(x) > 0 ln(u(x))
u 0 (x)
u(x)
1
R
III
Dérivée et sens de variation
III.1
Variations d’une fonction affine
La tangente à une courbe en un point est une droite qui représente une fonction affine.
Si le coefficient directeur de la droite est positif, alors la fonction affine associée est croissante.
Si le coefficient directeur de la droite est négatif, alors la fonction affine associée est décroissante.
Interprétation graphique :
Sur la figure ci-dessous, toutes les tangentes à C ont
un coefficient directeur positif ; les nombres dérivés de
f sont positifs. Les tangentes « montent », et donc la
courbe C aussi : la fonction f est croissante.
Sur la figure ci-dessous, toutes les tangentes à C ont un
coefficient directeur négatif ; les nombres dérivés de f
sont négatifs. Les tangentes « descendent », et donc la
courbe C aussi : la fonction f est décroissante.
0
0
Attention, ces résultats ne sont que des conjectures et non pas des démonstrations.
Théorème 1 (admis)
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
– Si f 0 est strictement positive sur I, alors f est strictement croissante sur I.
– Si f 0 est strictement négative sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
– Si f 0 est nulle sur I, alors f est constante sur I.
III.2
Tableau de variation
Pour bien visualiser ce résultat essentiel, nous adopterons un tableau de variation qui intégrera à la fois le signe de la
dérivée f 0 et le sens de variation de la fonction f .
Exemple 1
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x2 − 6x + 1.
1. f est dérivable sur R et pour x ∈ R, on a : f 0 (x) = 2x − 6.
2. 2x − 6 > 0 si et seulement si x > 3. On obtient donc le tableau suivant :
3. D’autre part f (3) = 32 − 6 × 3 + 1 = 9 − 18 + 1 = −8.
On obtient donc le tableau suivant :
x −∞
f 0
+∞
f
−
3
0
@
@
R
@
−8
2
+∞
+
+∞