CERCLE ET POLYGONE RÉGULIER Ch 8 Sommaire 0- Objectifs 1- Angle inscrit et angle au centre 2- Polygones réguliers 3- Calculs d'angles 0- Objectifs • Connaître et utiliser la relation entre un angle inscrit et l’angle au centre qui intercepte le même arc. • Construire un triangle équilatéral, un carré, un hexagone régulier, un octogone connaissant son centre et un sommet. 1- Angle inscrit et angle au centre Définition : Dans un cercle, un angle inscrit est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés coupent le cercle. Exemple : arc intercepté A, S et B sont sur un même cercle donc ̂ ASB est un angle inscrit. Définition : Dans un cercle, un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle. Exemple : arc intercepté A et B sont sur le cercle de centre O donc ̂ AOB est un angle au centre. Théorème : Dans un cercle, si un angle inscrit et un angle au centre intercepte le même arc alors l'angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre. Exemple : arc intercepté L'angle au centre ̂ AOB et l'angle inscrit ̂ ACB intercepte le 1 ̂ même arc donc ̂ ACB = AOB 2 Conséquence : Dans un cercle, deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux. Exemple : arc intercepté Les angles inscrits ̂ ACB et ̂ ADB interceptent le même arc d'un ̂ ̂ même cercle donc ACB = ADB . 2- Polygones réguliers Définition : Un polygone régulier est un polygone dont les sommets sont sur un même cercle et dont tous les angles au centre formés par deux sommets consécutifs sont égaux. Exemples : (voir le site du collège pour d'autres exemples) À l'aide de la méthode de la rosace, on obtient un triangle équilatéral et un hexagone régulier. En traçant deux diamètres perpendiculaires, on obtient un carré. Puis avec les bissectrices des angles au centre qui sont droits, on obtient un octogone régulier. Propriété : Un polygone régulier a ses côtés égaux et ses angles égaux. 3- Calculs d'angles * Avec le triangle équilatéral ci-dessus : BDF est un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de centre O 360 ° donc ^ = 120° FOB = 3 Par ailleurs, l'angle inscrit ^ FDB et l'angle au centre ^ FOB interceptent le même arc donc, d'après le théorème de l'angle ^ 120 ° FDB inscrit, ^ = =60° FDB = 2 2 * Avec l'hexagone régulier ci-dessus : ABCDEF est un hexagone régulier inscrit dans un cercle de centre O 360 ° donc ^ = 60° AOB = 6 donc ^ AOE = 4× ^ AOB = 4×60° = 240° Par ailleurs, l'angle inscrit ^ AFE et l'angle au centre ^ AOE interceptent le même arc donc, d'après le théorème de l'angle ^ 240 ° AOE inscrit, ^ = =120° AFE = 2 2 * Avec l'octogone régulier ci-dessus : AEBFCGDH est un octogone régulier inscrit dans un cercle de centre O 360 ° donc ^ = = 45° AOE 8 donc ^ AOD = 6× ^ AOE = 6×45° = 270° Par ailleurs, l'angle inscrit ^ AHD et l'angle au centre ^ AOD interceptent le même arc donc, d'après le théorème de l'angle ^ 270 ° AOD inscrit, ^ = = =135° AHD 2 2