d`où 0

Mathématiques classe de Tale ES/L
ES/L – Devoir du 28 mars 2014 - Eléments de correction
Exercice 1.
x
ln x
Dans cet exercice on utilise les deux propriétés : pour tout réel x , ln e = x et pour tout réel x > 0 , e = x .
32
ln 3
e 2ln 3
9
 49 
A = 3ln 2 = e 2ln 3−3ln 2 = e 2 = ; B = 2 ln 7 − ln  3  = 2 ln 7 − 2 ln 7 + ln e3 = 3 ;
e
8
e 
C = ln e − ln
1
= ln
e
(
)
e × e = 1 ; D = e− ln 2+ln 3 = e
ln
3
2
=
3
2
Exercice 2.
1. f ( x ) existe lorsque . x > 0 et 1 − x > 0 , d’où D f = ]0;1[ .
(
)
(
2. Pour tout x ∈ ]0;1[ , f ( x ) = ln x 2 + ln (1 − x ) + ln 2 = ln 2 x 2 (1 − x ) = ln 2 x 2 − 2 x 3
)
Exercice 3.
1. Pour tout X ∈ » , ( X − 3 )( X + 5 ) = X 2 − 3 X + 5 X − 15 = X 2 + 2 X − 15 = P ( X ) , d’où :
−∞
X
P( X )
−5
0
+
−
+∞
3
0
+
2. On en déduit donc :
A ( x ) = P ( ln x ) = ( ln x − 3 )( ln x + 5 )
;
B ( x ) = P ( e x ) = ( e x − 3)( e x + 5 ) .
3.
a.
( ln x )
2
+ 2 ln x − 15 ≤ 0 ⇔ −5 ≤ ln x ≤ 3 d’après le tableau de signes. De plus la fonction exp est strictement
croissante sur » donc −5 ≤ ln x ≤ 3 ⇔ e −5 ≤ x ≤ e3 . L’ensemble des solutions de cette inéquation est donc
 e −5 ; e3 
b. e2 x + 2e x > 15 ⇔ e2 x + 2e x − 15 > 0 ⇔ e x < −5 ou e x > 3 d’après le tableau de signes. Or pour tout réel x ,
e x > 0 donc e x < −5 n’a pas de solution, et la fonction ln est strictement croissante sur » +* donc
e x > 3 ⇔ x > ln 3 . L’ensemble des solutions de cette inéquation est donc ]ln 3; + ∞[ .
Exercice 4.
VRAI / FAUX
1. VRAI. x ln x = 2ln x ⇔ ( x − 2 ) ln x = 0 ⇔ x = 2 ou x = 1
(
)(
)
2. VRAI. e x + 2 e x − 3 = 0 ⇔ e x = −2 ou e x = 3 (équation produit nul). Or pour tout réel x , e x > 0 donc
e x = −2 n’a pas de solution et ( e x + 2 )( e x − 3 ) = 0 ⇔ x = ln 3 .
5
3. FAUX. Cette inéquation est définie pour x > 0 et 10 − 2ln x > 0 ⇔ ln x < 5 ⇔ 0 < x < e car la fonction exp est
strictement croissante sur »
x
4. FAUX. 0,3 < e ≤ 1 ⇔ ln ( 0,3) < x ≤ 0 car la fonction ln est strictement croissante sur ]0; + ∞[ .