FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2011 CAHIER 1 ET CORRIGÉ MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 TABLE DES MATIÈRES I 1.0 ENSEMBLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 1.2 1.3 2.0 1 2 3 4 NUMÉRATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1 2.2 2.3 2.4 3.0 Décrire l'ensemble des nombres naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Représenter les nombres naturels sur la demi-droite numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Interpréter les termes reliés au langage ensembliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercice 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indiquer la valeur positionnelle de chaque chiffre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Écrire le nom usuel d'un nombre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Exercice 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Écrire le symbole numérique d'un nombre exprimé en toutes lettres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Exercice 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Arrondir un nombre à une position donnée près . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Exercice 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 OPÉRATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1.1 Effectuer des additions sans retenue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Exercice 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.1.2 Effectuer des additions avec retenues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Exercice 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.1.3 Résoudre des problèmes qui font appel à l'addition . . . . . . . . . . . . . . 24 Exercice 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.1 Établir la relation qui existe entre l'opération de la soustraction et l'opération de l'addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.2.2 Effectuer des soutractions sans emprunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Exercice 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2.3 Effectuer des soustractions avec emprunts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Exercice 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 DI-DR-1991-05-07 BA-PG\98-03 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 TABLE DES MATIÈRES II 3.2.4 Évaluer des expressions mathématiques contenant à la fois les symboles de l'addition (+), de la soustraction (-) et des parenthèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Exercice 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.5 Résoudre des problèmes qui font appel à la soustraction . . . . . . . . . . 35 Exercice 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3.1 Calculer le produit de deux nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Exercice 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Exercice 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Exercice 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3.2 Calculer le produit de trois nombres ou plus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Exercice 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.3.3 Reconnaître le rôle de l'exposant entier naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3.4 Exprimer un nombre naturel en notation développée et vice versa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Exercice 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3.5 Évaluer des expressions mathématiques contenant à la fois les symboles de l'addition (+), de la soustraction (-) , de la multiplication (x) et des parenthèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Exercice 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.3.6 Multiplier un nombre par 10, 100 ou 1 000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Exercice 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.7 Résoudre des problèmes qui font appel à la multi­ plication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Exercice 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.4.1 Diviser avec des diviseurs d'un chiffre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Exercice 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.4.2 Diviser avec des diviseurs de deux chiffres ou plus . . . . . . . . . . . . . . 70 Exercice 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.4.3 Évaluer des expressions mathématiques contenant les quatre opérations arithmétiques et des parenthèses . . . . . . . . . . . . . . 73 Exercice 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 TABLE DES MATIÈRES III 3.4.4 Résoudre des problèmes qui font appel à la division . . . . . . . . . . . . . 76 Exercice 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Exercice 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.0 THÉORIE DES NOMBRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 5.0 Reconnaître des nombres pairs et des nombres impairs . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Reconnaître des nombres divisibles par 2, 3, 4, 5 ou 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Exercice 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Reconnaître qu'un nombre est un facteur d'un autre nombre . . . . . . . . . . . . 88 Distinguer entre un nombre premier et un nombre composé . . . . . . . . . . . . 89 Exercice 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Trouver le plus grand facteur commun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Exercice 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Reconnaître qu'un nombre est un multiple d'un autre nombre . . . . . . . . . . . 96 Trouver le plus petit commun multiple de deux ou plusieurs nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Exercice 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 EXERCICE DE RENFORCEMENT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 1 1.0 ENSEMBLES 1.1 DÉCRIRE L'ENSEMBLE DES NOMBRES NATURELS En mathématiques, une collection ou un groupe constitue un ensemble. Chaque objet de l'ensemble, pris séparément, s'appelle un élément de l'ensemble. Une façon de représenter un ensemble quelconque est d'enfermer la liste de ses éléments entre des accolades { }. Les trois points de suspension indiquent que l'énumération des éléments de l'ensemble se prolonge à l'infini. Il existe deux méthodes pour décrire un ensemble : 1. 2. extension : donner la liste complète des éléments; compréhension : donner la loi qui permet de distinguer les éléments qui font partie de l'ensemble et ceux qui n'en font pas partie. +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 1) A = {6, 7, 8, 9,...} Cette expression se lit l'ensemble A est égal à 6, 7, 8, 9 jusqu'à l'infini. (extension) 2) A = {x*x>5, x0N} Cette expression se lit l'ensemble A est l'ensemble des x tels que x est plus grand que 5 et que x appartient à l'ensemble des nombres naturels. (compréhension) Les nombres 1, 2, 3, 4, ... furent les premiers à être utilisés par l'homme; ils servaient à compter. Si l'on ajoute 0 (zéro) à ces nombres, on obtient l'ensemble des nombres naturels. Pour désigner cet ensemble on écrit N = {0, 1, 2, 3, 4,...} on lit 1.2 N est égal à l'ensemble zéro, un, deux, trois, quatre et ainsi de suite. REPRÉSENTER LES NOMBRES NATURELS SUR LA DEMI-DROITE MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 2 NUMÉRIQUE. Pour représenter graphiquement l'ensemble des nombres naturels, on place un point à l'extrémité gauche d'une demi-droite et on fait correspondre le nombre zéro à ce point. À un deuxième intervalle, convenablement placé par rapport au premier, on fait correspondre le nombre un, et ainsi de suite. .))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2)))> 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Les points sont placés à équidistance les uns des autres. Le nombre associé à chaque point s'appelle la coordonnée de ce point. La flèche signifie que la demi-droite se poursuit indéfiniment. +)))))))))), * Exemple * .))))))))))- Représenter l'ensemble {6, 7, 8, 9} ou {x*5<x<10, x0N} CCCC on dessine .))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2)))> 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 3 1.3 INTERPRÉTER LES TERMES RELIÉS AU LANGAGE ENSEMBLISTE Le langage ensembliste comprend plusieurs symboles pour exprimer les relations dans les ensembles. Pour désigner un ensemble, on utilise la lettre majuscule et l'élément est défini par une minuscule. Le symbole 0 signifie appartenance ou élément de. Le symbole ó signifie non appartenance ou n'est pas élément de. Le symbole d signifie un sous-ensemble. Le symbole ç signifie non sous-ensemble. +)))))))))), * Exemples * .))))))))))- Soit A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {1, 2} et C = {4, 5}. Donc 2 0 A [2 est élément de l'ensemble A] 2 ó C [2 n'est pas un élément de l'ensemble C] B d A [B est un sous-ensemble de A] B ç C [B n'est pas un sous-ensemble de C] MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 1 4 1. A B C D .))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2)))> 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Dans la figure ci-dessus, trouver : a. b. c. d. 2. la coordonnée du point D; la coordonnée du point B; la coordonnée du point A; combien d'unités y a-t-il entre B et D? entre A et C? entre A et B? Sur une demi-droite numérique, représenter graphiquement les ensembles suivants. a. b. c. d. 3. {3, 9, 6, 4, 5} {2, 4, 6, 8, 10} {12} les nombres inférieurs à 9 et supérieurs à 4 Décrire les ensembles représentés par les graphiques suivants. a. .))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2)))> 0 b. .))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2)))> 0 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 1 5 4. En utilisant les ensembles suivants, choisir le bon symbole. A = {2, 4, 6, 7, 9, 11, 13, 15} B= {2, 4, 9, 11} C = {3, 4, 9} a. b. c. d. e. 5. 3 0 ou ó B B d ou ç A 9 0 ou ó A 15 0 ou ó A 4 0 ou ó C f. g. h. i. j. 9 0 ou ó B B d ou ç C C d ou ç A 2 0 ou ó C 4 0 ou ó B Énumérer les éléments des ensembles. a. b. c. d. e. les mois de l'année ayant 30 jours les consonnes de l'alphabet les nombres pairs compris entre 10 et 19 les noms des jours de la semaine commençant par la lettre M les voyelles de ton nom MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 6 2.0 NUMÉRATION 2.1 INDIQUER LA VALEUR POSITIONNELLE DE CHAQUE CHIFFRE Un système de numération est un ensemble de nombres et de règles qui permettent d'énoncer et d'écrire les nombres. Pour exprimer tous les nombres naturels, on utilise dix symboles appelés chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Il est possible d'écrire une infinité de nombres puisque ces chiffres représentent des nombres de valeurs différentes selon la position qu'ils occupent. Notre système de numération s'appelle décimal parce que sa base est dix. Étant donné que la valeur d'une position vaut dix fois celle de la position qui se trouve à sa droite, on peut parler d'ordre de grandeur. Ce système est réparti en "classes" formées chacune de trois chiffres. Dans chaque classe; les chiffres sont à l'ordre des unités, à l'ordre des dizaines, à l'ordre des centaines, en commençant par la droite et en allant vers la gauche. Chaque chiffre prend sa valeur numérique en fonction de la position qu'il occupe dans le nombre. Dans le nombre 428 653 489 : MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 7 le chiffre 9 représente les unités et vaut 9 x 1 = 9; le chiffre 8 représente les dizaines et vaut 8 x 10 = 80; le chiffre 4 représente les centaines et vaut 4 x 100 = 400; le chiffre 3 représente les unités de mille et vaut 3 x 1 000 = 3 000; le chiffre 5 représente les dizaines de mille et vaut 5 x 10 000 = 50 000; le chiffre 6 représente les centaines de mille et vaut 6 x 100 000 = 600 000; le chiffre 8 représente les millions et vaut 8 x 1 000 000 = 8 000 000; le chiffre 2 représente les dizaines de millions et vaut 2 x 10 000 000 = 20 000 000; le chiffre 4 représente les centaines de millions et vaut 4 x 100 000 000 = 400 000 000. +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 1) 2) Dire ce que représente chaque chiffre souligné. a. b. 524 8 465 232 c. d. a. b. c. d. Le chiffre 2 représente les dizaines. Le chiffre 8 représente les millions. Le chiffre 3 représente les centaines. Le chiffre 4 représente les unités. 3 349 24 Donner la valeur de chacun des chiffres souligné de l'exemple 1. a. b. 2 x 10 = 20 8 x 1 000 000 = 8 000 000 c. d. 3 x 100 = 300 4x1=4 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 2 8 1. Dire ce que représente chacun des chiffres suivants dans 528 643. a. b. 2. c. d. le chiffre 5 le chiffre 3 Donner la valeur du chiffre souligné. a. b. c. 3. le chiffre 8 le chiffre 4 37 218 625 75 d. e. f. Dans 9 843 265, indiquer le chiffre qui représente. a. b. c. d. e. f. les unités de mille les dizaines de mille les millions les centaines les unités les centaines de mille 8 948 325 6 524 850 940 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 9 2.2 ÉCRIRE LE NOM USUEL D'UN NOMBRE Dans les nombres, les chiffres sont groupés par trois (en commençant par la droite) et chaque groupe s'appelle une tranche. Voici le nom des premières +))))))))))))0))))))))))0))))))))))), * Millions * Mille * Unités * .))))))))))))2))))))))))2)))))))))))­ Pour écrire un nombre, on doit : 1. lire chaque tranche comme si elle était seule en commençant par celle de gauche; 2. ajouter le nom de la tranche. Lire d'abord : 421 382 504 )))))))))))))))> millions Puis : 421 382 504 ))))))))))))))))))))))> mille Et enfin : 421 382 504 )))))))))))))))))))))))))))> unités +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 1) 2 deux cent ))))- 4 8 * * * * quarante )))))))))- * * (mille) huit ))))))))))))))- 6 2 5 .))))3))))3))) six cent * * .))))3))) vingt * .))) cinq Le nombre 248 625 s'écrit : deux cent quarante-huit mille six cent vingt-cinq. 2) Le nombre 265 332 108 s'écrit : deux cent soixante-cinq millions trois cent trente-deux mille un cent huit. tranches. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 10 Règles d'orthographe 1. Trait d'union Les nombres composés inférieurs à CENT prennent le trait d'union. Exemple : quatre-vingt-six Les nombres composés terminés par UN et ONZE prennent ET au lieu du t r a i t d'union . Exemples : Exceptions : 2. Vingt et cent Prennent un "s" quand ils sont multipliés et qu'ils terminent le nombre. Exemples : 3. soixante et un soixante et onze quatre-vingt-un quatre-vingt-onze quatre-vingts deux cents trois cent quatre-vingt-deux Mille Il est invariable. Exemple : deux mille 4. Million Il s'accorde au pluriel et n'empêche pas l'accord de vingt et cent. Exemple : trois cents millions MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 3 11 1. Écrire en mots les nombres suivants. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. 43 61 77 80 28 421 324 9 000 9 800 3 004 k. l. m. n. o. p. q. r. s. t. 71 121 1 347 624 3 832 9 037 80 617 2 000 000 85 200 305 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 12 2.3 ÉCRIRE LE SYMBOLE NUMÉRIQUE D'UN NOMBRE EXPRIMÉ EN TOUTES LETTRES Pour écrire un nombre en chiffre, on doit : 1. 2. 3. 4. écrire de gauche à droite; remplacer par un ou des zéros le ou les chiffres manquant dans une partager le nombre en tranches de trois chiffres en allant de la droite vers gauche; laisser un espace pour séparer les tranches. +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 1) 2) 3) 4) Cinq cent vingt et un s'écrit 521 Quatre mille trois cents s'écrit 4 300 Trois cent cinquante-deux mille s'écrit 352 000 Vingt-cinq mille six cent sept s'écrit 25 607 tranche; la MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 4 13 1. Représenter les nombres à l'aide de symboles numériques. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. quarante trente-deux soixante et un quatre-vingt-deux deux cent quinze trois cent cinq six cent quatre-vingt-cinq trois mille deux cent trente neuf mille six cent trente-neuf vingt mille quatre cent cinq huit millions cinquante-six mille neuf cent quatre-vingt-quinze six millions sept cent huit mille soixante-deux MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 14 2.4 ARRONDIR UN NOMBRE À UNE POSITION DONNÉE PRÈS Pour arrondir à la dizaine près 1. 2. Si le chiffre des unités est inférieur à 5, on le remplace par un zéro. S'il est égal ou supérieur à 5, on le remplace par un zéro et on ajoute 1 au chiffre des dizaines. +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 1) Arrondir 836 à la dizaine près. 836 840 2) Arrondir 2 763 à la dizaine près. 2 763 2 760 3) ))))), * )))))­ ))))), * )))))­ Arrondir 965 à la dizaine près. 965 970 ))))), * )))))­ MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 15 Pour arrondir à la centaine près 1. 2. Si le chiffre des dizaines est inférieur à 5, on remplace le chiffre des dizaines et des unités par des zéros. S'il est égal ou supérieur à 5, on remplace les chiffres des dizaines et des unités par des zéros et on ajoute 1 au chiffre des centaines. +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 1) Arrondir 647 à la centaine près. +))))), 6 4 7 * * 600 ))­ 2) Arrondir 1 653 à la centaine près. +))))), 1 6 5 3 * * 1 700 ))- Remarque On procède de la même façon pour arrondir au 1 000 près, au 10 000 près et ainsi de suite. Ainsi 3 449 devient 3 000 au 1 000 près et 376 421 devient 380 000 au 10 000 près. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 5 16 1. Arrondir à la dizaine près. a. b. c. d. e. 2. 548 852 880 752 1 341 221 450 1 895 466 1 854 f. g. h. i. j. 36 524 4 312 6 555 9 345 3 878 c. d. 5 399 15 430 c. d. 675 243 432 140 Arrondir au mille près. a. b. 4. f. g. h. i. j. Arrondir à la centaine près. a. b. c. d. e. 3. 76 72 75 669 824 76 501 9 641 Arrondir à la dizaine de mille près. a. b. 272 946 1 456 002 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 17 3.0 OPÉRATIONS OPÉRATION On appelle opération, les modifications que l'on fait subir aux nombres. Il y a quatre opérations fondamentales : l'addition, la soustraction, la multiplication et la division. 3.1 ADDITION 3.1.1 Effectuer des additions sans retenue L'opération addition consiste à remplacer deux nombres de même nature par un seul nombre appelé somme des deux premiers ou le résultat de l'addition. Le symbole opération représentant l'addition se note (+) et se lit "plus". +)))))))))))))))))))))))))))))))))))))), * Addition * * terme plus terme égale somme * * 4 + 2 = 6 * .))))))))))))))))))))))))))))))))))))))- Remarque Souvent, il est facile d'estimer le résultat d'une opération. L'estimation permet une première évaluation ou vérification du résultat de toute opération. On encourage l'apprenant ou l'apprenante à utiliser cette première étape dans la résolution de problème. Pour additionnner, il suffit : 1. d'aligner les unités avec les unités, les dizaines avec les dizaines, les centaines avec les centaines, etc; 2. d'additionner les unités aux unités, les dizaines aux dizaines, les centaines aux centaines, etc. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 18 +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 1) Additionner 26 et 33. 26 +33 59 6+3 =9 2+3 =5 Somme : 59 2) Effectuer l'addition suivante : 28 + 560. 28 +560 588 8+0=8 2+6=8 Somme : 588 Remarque Pour vérifier une addition, il suffit d'inverser l'ordre des nombres. Ainsi 28 + 560 = 560 + 28 560 + 28 588 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 19 3) 8+5+6+4+3+2+1=? 8 13 5 19 6 23 4 26 3 28 2 29 +1 29 Somme : 29 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 6 20 1. Effectuer les additions suivantes. a. b. c. d. 2. 3. 41 + 12 23 + 46 237 + 342 543 + 212 + 24 e. f. g. h. 16 + 41 + 32 24 + 1 + 3 9+7+6+6+9+7+5 8+4+7+8+2 Effectuer les additions suivantes. a. 26 +72 b. 35 +44 c. 88 +11 d. 56 +43 e. 19 +60 f. 41 +36 g. 39 +60 h. 23 +65 i. 31 +56 j. 13 +56 k. 15 +44 l. 27 +52 m. 34 +55 n. 23 +6 o. 42 +7 Effectuer les additions suivantes. a. 236 +343 b. 541 +356 c. 721 +276 d. 807 +171 e. 846 +153 f. 100 +365 g. 219 + 60 h. 45 +252 i. 366 +213 j. 945 + 23 k. 372 +417 l. 265 +432 m. 172 +815 n. 253 +745 o. 304 + 65 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 21 3.1.2 Effectuer des additions avec retenues En additionnant, il arrive souvent que la somme soit plus grande que 9. Alors, il faut ajouter une retenue. Soit à additionner 2 456, 59 et 914. 1 1. 2 456 59 + 914 9 2. 2 456 59 + 914 29 6 + 9 + 4 = 19 = 10 + 9 = 1 dizaine + 9 unités Poser 9 sous la colonne des unités et reporter (1) à la colonne des dizaines. 11 (1) + 5 + 5 + 1 = 12 = 10 dizaines + 2 dizaines = 1 centaine + 2 dizaines Poser 2 sous la colonne des dizaines et reporter (1) à la colonne des centaines. 1 1 3. 2 456 59 + 914 429 (1) + 4 + 9 = 14 = 10 centaines + 4 centaines = 1 mille + 4 centaines Poser 4 sous la colonne des centaines et reporter (1) à la colonne des mille. 1 4. 2 456 59 + 914 3 429 (1) + 2 = 3 Poser 3 sous la colonne des mille. Somme : 3 429 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 22 +)))))))))), * Exemple * .))))))))))- Calculer la somme. 1 1 3 2 3 478 296 96 582 + 45 100 401 Somme : 100 401 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 7 23 1. Effectuer les additions suivantes. a. 25 +37 b. 39 +48 c. 65 +29 d. 86 +47 e. 467 +326 f. 126 +295 g. 1 236 +4 548 h. 6 457 + 852 i. 965 +39 864 j. 426 7 983 + 26 k. 9 734 859 25 +45 842 l. m. 2. 593 864 + 30 786 n. +52 376 3 582 165 2 959 + 4 600 64 389 o. + 27 387 794 386 Dans un carré magique, si on additionne les nombres horizontalement, verticalement et diagonalement, on obtient toujours la même somme. a. Est-ce un carré magique? +)))0)))0))), * 16* 2 *12 * /)))3)))3)))1 * 6 *10 *14 * /)))3)))3)))1 * 8 *18 * 4 * .)))2)))2)))­ b. Quelle est la somme magique? MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 24 3.1.3 Résoudre des problèmes qui font appel à l'addition L'opération d'addition peut servir pour résoudre des problèmes de la vie courante. Méthode de résolution d'un problème 1. 2. 3. 4. 5. 6. Lire, une première fois, le problème au complet. Relire et définir le problème en se demandant : - Que dois-je trouver? - Quelle information m'est donnée? Choisir un plan en se demandant : - Quelle opération dois-je faire? Résoudre le problème : - Effectuer les calculs demandés. Vérifier le travail. Écrire une phrase qui résume la réponse. +)))))))))), * Exemple * .))))))))))- Il y a 20 étudiants dans une classe et 36 étudiants dans une autre classe. Combien y a-t-il d'étudiants en tout? Étudiants dans la 1re classe Étudiants dans la 2e classe Total Il y a 56 étudiants en tout. 20 36 56 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 8 25 1. a. b. c. d. e. f. Dans 63, il y a dizaines et unités ou unités en tout. Dans 82, il y a dizaines et unités ou unités en tout. Pour trouver un total, il faut . Pour trouver combien en tout, il faut . Écrire le signe opératoire de l'addition. Comment appelle-t-on le résultat d'une addition? 2. Un boulanger a reçu 245 sacs de farine, puis 189. Combien a-t-il reçu de sacs? 3. Quelle était la longueur d'une pièce de toile dont il reste 42 mètres après en avoir vendu 216 mètres? 4. Jean a 34 ans; quel âge aura-t-il dans 27 ans? 5. Un marcheur a parcouru 5 840 mètres, puis 8 590 mètres et il lui reste encore 7 653 mètres à faire. Quelle distance devait-il parcourir? 6. Gaston a 16 ans et Louise 13. Quelle sera la somme de leurs âges dans 17 ans? 7. Jules et son frère se sont partagé une boîte de billes; Jules a 58 billes et son frère 35 de plus. Combien y avait-il de billes dans la boîte? 8. On a mangé 263 oranges et il en reste 213 de plus que le nombre d'oranges mangées. Combien y avait-il d'oranges? 9. Un épicier reçoit quatre caisses d'oranges; il y a 505 oranges dans la première, 28 de plus dans la deuxième, 14 de plus dans la troisième que dans la deuxième et dans la quatrième, autant que dans la première et la troisième. Trouver le nombre total d'oranges dans les quatre caisses. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 26 3.2 SOUSTRACTION 3.2.1 Établir la relation qui existe entre l'opération de la soustraction et l'opération de l'addition L'action inverse d'ajouter, c'est-à-dire ôter, conduit à l'opération de soustraction. L'opération soustraction consiste à retrancher un nombre d'un autre nombre de même nature. Le résultat de la soustraction se nomme différence ou reste. Le symbole opératoire de la soustraction se note (-) et se lit "moins". Mathématiquement, la soustraction est considérée comme l'inverse de l'addition. Ainsi 8 - 2 = 6 peut s'interpréter : "Que faut-il ajouter à 2 pour obtenir 8?" Addition +))))), *+6* .)))))­ 2 )))))))))))) > 8 < )))))))))))) +))))), *-6* .)))))- Soustraction +))))))))))))))))))))))))))))))))))))))), * Soustraction * * terme moins terme égale différence * * 8 - 2 = 6 * .)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))­ MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 27 3.2.2 Effectuer des soustractions sans emprunt Pour soustraire, il suffit : 1. 2. de disposer le petit nombre au-dessous du grand nombre de manière que les unités de même ordre se correspondent; soustraire les unités entre elles, les dizaines entre elles, les centaines entre e l l e s , etc. +)))))))))), * Exemple * .))))))))))- Soustraire 24 de 639. On écrit 639 - 24 615 9 - 4 = 5 3 - 2 = 1 6 - (0) = 6 Différence : 615 Remarque On peut faire la vérification d'une soustraction en s'assurant que la somme du nombre à soustraire et la différence est égale au nombre duquel on a soustrait. Si On a 639 <)))) - 24 <)))) 615 <)))) 24 + 615 639 nombre duquel on a soustrait nombre à soustraire différence MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 9 28 1. Effectuer les soustractions suivantes. a. b. - 27 14 f. - 47 24 j. - 346 133 879 543 n. - e. c. - 83 52 g. - 79 50 k. - 487 152 834 503 o. - d. - 25 15 h. - 67 67 l. - 919 514 794 694 p. - - 54 43 140 ­ 30 i. m. 2. Soustraire 2 305 de 6 439. 3. Faire la différence entre 9 989 et 7 654. - 907 205 - 487 352 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 29 3.2.3 Effectuer des soustractions avec emprunts Lorsque le chiffre des unités, des dizaines, etc. du nombre inférieur est plus grand que le chiffre des unités, des dizaines, etc. du nombre supérieur, il faut emprunter. Soit à soustraire 69 de 942. 1. Pour les unités La dizaine empruntée est retranchée. La dizaine empruntée est transformée en unités. 3 12 94/2 - 69 3 12 - 9 = 3 2. Pour les centaines La centaine empruntée est retranchée. La centaine empruntée est transformée en dizaines. 8 13 /94/2 - 69 73 13 - 6 = 7 On continue la soustraction. 8 /942 - 69 873 Différence : 873 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 30 +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 1) Effectuer la soustraction suivante : 505 - 67. 4 9 15 /5/05 - 67 438 2) Différence : 438 Soustraire 154 de 346. 2 14 3/46 -154 192 3) Différence : 192 De 5 000 soustraire 498. 4 9 9 10 5/ 0/0/0 - 498 4 502 Différence : 4 502 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 10 31 1. Effectuer les soustractions suivantes. a. b. ­ 17 9 f. ­ 46 29 46 39 j. ­ n. ­ 500 444 428 428 r. ­ v. ­ 3 840 2 761 e. i. m. q. u. 2. 3. c. ­ 15 6 g. ­ 97 34 84 38 k. ­ o. ­ 537 68 456 49 s. ­ w. ­ 9 000 6 077 13 ­ 9 d. 58 - 29 h. 45 28 l. ­ p. ­ 869 784 787 782 t. 6 000 ­ 5 678 x. ­ À partir des deux nombres compris dans l'addition, construire deux soustractions différentes. a. b. c. 9 + 4 = 13 6 + 5 = 11 8 + 6 = 14 d. e. 2+0=2 6 + 9 = 15 a. b. c. Pour trouver un reste, il faut . Pour trouver combien il y a moins, il faut Écrire le signe opératoire de la soustraction. . ­ 14 8 ­ 64 25 ­ 81 57 ­ 710 707 ­ 902 496 ­ 2 000 1 234 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 10 32 4. Compléter afin d'obtenir un carré magique. a. +)))0)))0))), * 25* 4 *19 * /)))3)))3)))1 * *16 *22 * /)))3)))3)))1 * 13* * * .)))2)))2)))­ b. +)))0)))0))), * * * * /)))3)))3)))1 * *15 * * /)))3)))3)))1 * 18*21 * * .)))2)))2)))­ La somme magique est de 45. 5. De combien 92 est-il plus grand que 25? MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 33 3.2.4 Évaluer des expressions mathématiques contenant à la fois les symboles de l'addition (+), de la soustraction (-) et des parenthèses 1. S'il n'y a pas de parenthèses Les additions et les soustractions se font dans "l'ordre" où elles apparaissent en allant de gauche à droite. +)))))))))), * Exemple * .))))))))))­ 24 - 5 + 6 + 2 - 9 - 3 + 8 = 19 + 6 + 2 - 9 - 3 + 8 = 25 + 2 - 9 - 3 + 8 = 27 - 9 - 3 + 8 = 18 - 3 + 8 = 15 + 8 = 23 2. S'il y a des parenthèses Le rôle des parenthèses est de grouper les nombres et les opérations. Les opérations entre parenthèses se font d'abord tout en respectant l'ordre de gauche à droite. +)))))))))), * Exemple * .))))))))))­ 21 - (15 - 6 + 5 - 2) = 21 - (9 + 5 - 2) = 21 - (14 - 2) = 21 - 12 =9 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 11 34 1. Effectuer les opérations suivantes. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. 2. 35 - 4 + 10 25 - 8 + 7 - 5 12 + 15 - 4 + 36 25 - 9 - 6 + 11 - 12 + 23 - 11 54 - 35 + 16 - 14 38 + 25 - 43 - 20 607 - 487 + 215 99 + 22 - (67 + 22) (45 + 65) - (8 + 7) (25 + 13 + 12) - (10 + 9 + 12) 80 - (38 - 17 - 14) - 2 + 8 80 - (38 - 17 + 14 - 2 + 8) 45 - (16 - 13 - 2) - (18 - 7) (12 - 4 - 5 - 1) - (15 - 12 + 3 - 5) (25 + 18 - 39) + (43 + 18 - 55) (46 - 17 + 36) + (25 + 24 - 30) Placer les parenthèses au bon endroit. a. b. 196 - 75 + 54 = 67 642 - 56 + 169 + 27 = 444 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 35 3.2.5 Résoudre des problèmes qui font appel à la soustraction L'opération soustraction des nombres naturels peut servir à résoudre des problèmes pratiques. +)))))))))), * Exemple * .))))))))))- Un épicier a reçu quatre caisses de bananes totalisant 826 kilogrammes. Si trois de ces caisses totalisent 529 kilogrammes, trouver la masse de la 4e caisse. masse totale masse de 3 caisses La 4e caisse a une masse de 297 kilogrammes. 826 - 529 297 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 12 36 1. Il y a 357 pommes sur un pommier. On en cueille 289. Combien en reste-t-il? 2. Un jardinier avait 456 melons. Combien en a-t-il vendu s'il en reste 89? 3. Un tonneau plein de sirop pèse 453 kilogrammes; le sirop seul pèse 304 kilogrammes. Calculer la pesanteur du tonneau. 4. Un fermier a 986 kilogrammes de blé et 705 kilogrammes d'avoine. Il vend 498 kilogrammes de blé et 386 kilogrammes d'avoine. Que lui reste-t-il de chaque sorte de grain? 5. En 1999, Jean aura 48 ans. En quelle année est-il né? 6. Champlain naquit en 1570 et mourut en 1635. À quel âge est-il mort? 7. Un avion parcourt une distance de 1 075 kilomètres en 3 heures. Si pendant les deux premières heures de son envolée l'avion a parcouru une distance de 828 kilomètres, quelle distance fut couverte pendant la troisième heure? 8. Louise a 48 pommes dans un sac et 18 oranges dans un autre sac. Combien de fruits a-t-elle en tout? 9. Un marchand de matériaux de construction a 8 254 briques. Il en vend 85 puis 1 248. Combien lui en reste-t-il? 10. Sur une distance de 625 kilomètres, un train a déjà parcouru 85 kilomètres, puis 133 kilomètres, puis 178 kilomètres. Quelle distance lui reste-t-il à parcourir? MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 37 3.3 MULTIPLICATION 3.3.1 Calculer le produit de deux nombres La multiplication peut être considérée comme une addition répétée. Ainsi 4 + 4 + 4 = 12 peut s'écrire 3 x 4 = 12 L'opération multiplication consiste à remplacer deux nombres, appelés facteurs, par u n s e u l n o m b r e c o r r e s p o n d a n t à l e MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 38 u r p r o d u i t . Le symbole opératoire de la multiplication se note (x) et se lit "multiplié par". Des termes précis qualifient les quantités multipliées. Ainsi dans 3 x 4 = 12 3 est le multiplicateur ou facteur 4 est le multiplicateur ou facteur 12 est le produit +)))))))))))))))))))))))))))))))))))), * multiplication * * facteur fois facteur égale produit * * 3 x 4 = 12 * .))))))))))))))))))))))))))))))))))))­ MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 39 1er cas : Le multiplicateur contient un chiffre Lorsqu'on multiplie, le multiplicateur multiplie chaque chiffre du multiplicande. Soit à multiplier 265 par 5. 2 1. 5 x 5 unités 25 unités 2. 5 x 6 dizaines = 30 dizaines 3 2 (30 + 2) dizaines = 32 dizaines 265 = 3 centaines x 5 et 2 dizaines 25 3. 5 x 2 centaines (10 + 3) centaines = 25 unités = 2 dizaines et 5 unités Reporter les dizaines (2) et poser les unités (5). Reporter les centaines (3) et poser les dizaines (2). = 10 centaines 3 = 13 centaines 265 Poser l'unité de mille(1) 1 unité de mille x5 et les centaines (3). et 3 centaines 1 325 Produit : 1 325 Remarque Lorsqu'un des facteurs est zéro, le produit est 0. Ainsi 0 x 2 = 0 et 2x0=0 0x0=0 265 x5 5 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 40 +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 1) Multiplier 62 par 3. 62 x3 186 3 x 2 = 6 3 x 6 = 18 Produit : 186 2) Multiplier 56 par 8. 4 56 x8 448 8 x 6 = 48 8 x 5 = 40 Retenir 4 40 + 4 = 44 Produit : 448 3) Multiplier 5 038 par 9. 37 5 038 x 9 45 342 9 x 8 = 72 Retenir 7 9 x 3 = 27 27 + 7 = 34 Retenir 3 9x0=0 0+3=3 9 x 5 = 45 Produit : 45 342 4) Multiplier 29 512 par 7. 7 x 29 512 (Écrire le problème verticalement) 29 512 x 7 206 584 Produit : 206 584 Remarque Il n'est pas nécessaire de poser des retenues (exemple 4). MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 13 41 1. Quelle opération est remplacée par la multiplication? 2. Quelle opération faut-il choisir pour trouver la différence entre deux nombres? 3. Remplacer l'addition par une multiplication et donner le produit. a. b. c. d. e. 4. 1+1+1+1=? 9+9+9=? 2+2+2+2+2=? 5+5+5+5+5+5=? 7+7+7+7=? Trouver les deux nombres qui correspondent aux données suivantes. a. somme : produit : 9 14 b. somme : produit : 13 42 c. somme : produit : 15 56 d. somme : produit : 12 35 e. différence : produit : 0 64 f. différence : produit : 5 24 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 13 42 5. 6. Trouver le nombre qui manque. a. 8 x? 24 b. ? x1 1 c. 5 x? 0 d. ? x3 12 e. 6 x? 42 f. ? x8 40 g. 8 x? 48 h. 9 x? 54 i. ? x8 72 j. 4 x? 4 k. ? x5 25 l. ? x3 15 m. ? x5 35 n. 4 x? 28 o. 8 x7 ? Effectuer les multiplications suivantes. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. 56 x 3 72 x 6 59 x 5 62 x 8 62 x 3 17 x 3 11 x 5 16 x 5 40 x 4 20 x 4 159 x 3 328 x 6 m. n. o. p. q. r. s. t. u. v. w. x. 527 x 2 806 x 7 342 x 7 530 x 9 1 326 x 3 5 804 x 7 6 001 x 6 6 024 x 5 9 006 x 5 4 367 x 6 37 892 x 7 487 984 x 2 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 43 2e cas : Le multiplicateur contient au moins deux chiffres Pour multiplier un nombre par un autre nombre, il suffit de multiplier chaque chiffre de l'un par chaque chiffre de l'autre, en respectant la position de chacun des chiffres. Soit à déterminer le produit de 384 par 264. 1. Le chiffre des unités multiplie chaque chiffre du premier nombre. 384 x 264 1 536 2. Le chiffre des dizaines multiplie chaque chiffre du premier nombre. 384 x 264 1 536 23 04 3. 384 x 6 = 2 304 < )))))))))On commence à la position des dizaines. Le chiffre des centaines multiplie chaque chiffre du premier nombre. 384 x 264 1 536 23 04 76 8 4. 384 x 4 = 1 536 384 x 2 = 768 < )))))))))On commence à la position des centaines. Additionner les sous-produits. 384 x 264 1 536 23 04 76 8 101 376 Produit : 101 376 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 43 Remarque Quand on multiplie, on peut changer l'ordre des facteurs et obtenir le même produit. Donc et 8 x 9 = 72 9 x 8 = 72 Alors pour vérifier une multiplication, il suffit d'inverser l'ordre des facteurs. 384 x 264 1 536 23 04 76 8 101 376 <)))))))))))> 264 x 384 1 056 21 12 79 2 101 376 +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 1) Multiplier 4 323 par 1 200. Si on opère au long, on a : 4 323 x 1 200 0 000 00 00 864 6 4 323 5 187 600 Méthode courte : transférer les zéros du multiplicateur. 4 323 x 1 200 864 600 4 323 [0 x 4 323] [0 x 4 323] [2 x 4 323] [1 x 4 323] Produit : 5 187 600 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 44 5 187 600 2) Multiplier 128 par 306. 128 x 306 768 38 40 39 168 Produit : 39 168 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 14 45 1. Effectuer les multiplications suivantes. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. 84 x 28 49 x 22 54 x 36 95 x 37 25 x 48 77 x 42 65 x 70 67 x 50 95 x 80 51 x 80 30 x 65 49 x 20 826 x 48 n. o. p. q. r. s. t. u. v. w. x. y. z. 392 x 64 822 x 145 570 x 642 928 x 407 6 125 x 256 7 009 x 52 590 x 335 6 294 x 1 300 6 243 x 5 050 843 x 1 200 827 x 500 7 003 x 731 10 201 x 340 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 46 3e cas : Chaque nombre contient au moins un zéro Lorsque chaque nombre contient au moins un zéro : 1. 2. multiplier les chiffres différents du zéro; ensuite compléter le produit en écrivant autant de zéros qu'il y en a dans tous les facteurs. Soit à multiplier 30 x 40. 30 < ))))))) 1 zéro x 40 < ))))))) 1 zéro 1 200 <))))))) 2 zéros ^ 4 x 3 ))))- Produit : 1 200 Soit à multiplier 5 000 par 300. 5 000 < )))))))) 3 zéros x 300 < )))))))) 2 zéros 1 500 000 < )))))))) 5 zéros ^ 3 x 5 ))))- Produit : 1 500 000 +))))))))))), * Exemple * .)))))))))))­ Multiplier 5 000 x 60. 5 000 x 60 = 300 000 Produit : 300 000 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 15 47 1. Calculer le produit. a. b. c. d. e. 30 x 30 700 x 40 9 000 x 9 000 63 000 x 30 000 5 600 x 50 h. f. 530 x 60 g. 3 000 x 2 000 9 000 x 70 i. 50 x 50 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 48 3.3.2 Calculer le produit de trois nombres ou plus Lorsqu'on présente plus de deux facteurs dans une multiplication, il suffit d'effectuer les multiplications les unes à la suite des autres en allant de la gauche à la droite. Soit à multiplier 2 par 6 par 8. On écrit On a 2x6x8 = 12 x 8 = 96 [2 x 6 = 12] [12 x 8 = 96] +))))))))))), * Exemples * .)))))))))))- Effectuer les multiplications suivantes. 1) 2) 2x3x4x6 =6x4x6 = 24 x 6 = 144 Produit : 144 7x9x0x5x8 =0 Lorsque l'un des facteurs est 0, le produit est 0. Produit : 0 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 16 49 1. Effectuer les multiplications suivantes. a. b. c. d. e. 8x7x4 8x6x9 3x4x5x8 9x9x9x0 8x5x0x2 f. g. h. i. j. 20 x 15 x 12 32 x 12 x 14 26 x 5 x 14 20 x 30 x 50 40 x 16 x 20 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 50 3.3.3 Reconnaître le rôle de l'exposant entier naturel Dans un produit de plusieurs facteurs, il arrive souvent que le même facteur soit répété. Ainsi, on a 3 x 3 x 3 x 3 On peut simplifier l'écriture de ces produits particuliers en écrivant 3 x 3 x 3 x 3 sous l a f o r m e 34 . C e t t e o p é r a t i o n s e n o m m MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 51 e o p é r a t i o n e x p o n e n t i a t i o n . Dans la notation exponentielle, chaque nombre a un nom particulier. 3 x 3 x 3 x 3 = 34< ))))) exposant * * v .)))))))))­ * 4 fois base 34 se lit "trois exposant quatre". 42 se lit "quatre au carré". 53 se lit "cinq au cube". 75 se lit "sept exposant cinq". MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 52 À retenir 12 = 1 72 = 49 132 = 169 192 = 361 2 2 2 2 = 4 8 = 64 14 = 196 202 = 400 32 = 9 92 = 81 152 = 225 252 = 625 2 2 2 4 = 16 10 = 100 16 = 256 302 = 900 52 = 25 112 = 121 172 = 289 62 = 36 122 = 144 182 = 324 +))))))))), * Exemples* .)))))))))- Effectuer les calculs suivants. 1) 132 2) 32 x 6 = 3 x 3 x 6 = 9x6 = 54 = 13 x 13 = 169 [Élever au carré avant de multiplier] MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 53 3.3.4 Exprimer un nombre naturel en notation développée et vice versa La notation développée est une représentation d'un nombre sous une forme développée soit la somme des puissances de dix. +))))))))), * Exemple * .)))))))))­ 6 584 = 6 000 + 500 + 80 + 4 = 6 x 1 000 + 5 x 100 + 8 x 10 + 4 x 1 = 6 x 103 + 5 x 102 + 8 x 10 + 4 x 1 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 17 54 1. Dire quel nombre est la base et quel nombre est l'exposant. a. b. 2. d. e. f. 153 26 43 6x6x6 8x8 5x5x5x5 d. e. f. 4x4x4x4x4 100 x 100 x 100 15 x 15 83 72 52 d. e. f. 64 25 43 Quelle expression représente la plus grande valeur? a. b. 6. 25 63 102 Effectuer les calculs suivants. a. b. c. 5. 108 225 Écrire en utilisant les exposants. a. b. c. 4. c. d. Écrire les facteurs de chaque nombre. a. b. c. 3. 35 86 52 ou 5 x 2 105 ou 10 x 5 d. c. 16 ou 1 x 6 32 ou 23 Déterminer la valeur de la base. a. b. ?3 ?2 = = 27 64 c. d. ?2 ?5 = 100 = 32 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 17 55 7. Déterminer la valeur de l'exposant. a. b. 8. = = 81 64 c. d. 6? 5? Écrire sous forme symbolique. a. b. c. 9. 9? 2? 2 au carré égale 4 7 exposant 3 égale 343 3 exposant 4 égale 81 Exprimer en forme développée les nombres suivants. a. b. 837 5 264 c. d. 1 632 1 053 = 216 = 625 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 56 3.3.5 Évaluer des expressions mathématiques contenant à la fois les symboles de l'addition (+), de la soustraction (-), de la multiplication (x) et des parenthèses Dans une suite d'opérations contenant des parenthèses, on doit effectuer : 1. 2. 3. d'abord les opérations entre parenthèses, tout en respectant la priorité de la multiplication; ensuite les multiplications; enfin les additions et&ou les soustractions dans l'ordre où elles apparaissent. +)))))))))), * Exemple * .))))))))))­ 7 + (3 + 4 x 2) - (8 x 0) = 7 + (3 + 8) - 0 = 7 + 11 - 0 = 18 - 0 = 18 [Priorité de la (x) à l'intérieur des ( )] Remarque Dans certain cas, il est possible d'éviter l'utilisation du symbole (x) en utilisant les parenthèses. 1. Au lieu d'écrire on écrit (2 x 3 x 2) x (3 x 5) = (2 x 3 x 2) (3 x 5) = (12) (15) = 180 2. Au lieu d'écrire on écrit 5 x (10 - 2) = 5 (10 - 2) = 5 (8) = 40 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 18 57 1. Effectuer les calculs suivants. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q. r. s. t. u. v. w. (4 x 2 + 3) + (12 - 4 x 3) (19 x 8) + (17 x 5) (30 x 30) + (50 x 50) (5 x 0) + (8 x 1) + (9 x 6) (4 + 8 - 2) (7 + 8 + 5) (70 - 5 + 2) (7 + 4 x 2) (15 x 12 x 0) (6 x 2 x 3) 2 (15 + 8 + 2) 3 (15 - 8 + 5) 5 (15 + 2 - 3) 4 (15 + 2 x 3) (32 x 2) + 5 + (19 + 6) 20 (5 + 6) (30 x 2) + 5 (10 + 2) 5 (10 + 3 x 4) 20 (10 + 3 x 5 + 7 x 2) (1 + 3 x 0 + 8 x 2 + 0 + 7 x 5) 10 (45 + 2 x 3) (3 x 15) + 24 3 (15 + 24) (7 + 3) (4 x 1) + (8 x 2) (2 + 6 x 0) + (16 + 9) 16 + (2 x 6 + 0) + 9 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 57 3.3.6 Multiplier un nombre par 10, 100 ou 1 000 Certaines multiplications s'effectuent en peu de temps. C'est le cas des multiplications par 10, 100, 1 000, ... En observant les multiplications suivantes. 625 x 10 6 250 625 x 100 62 500 [1 zéro] [2 zéros] On peut déduire que pour multiplier par : 10, il suffit d'ajouter un zéro; 100, il suffit d'ajouter deux zéros; 1 000, il suffit d'ajouter trois zéros. +)))))))))), * Exemple * .))))))))))- Effectuer les multiplications suivantes. a) b) c) 4 x 10 = 40 65 x 100 = 6 500 42 x 1 000 = 42 000 625 x 1 000 625 000 [3 zéros] MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 19 58 1. Effectuer les multiplications suivantes. a. b. c. d. e. f. 55 x 10 4 x 10 475 x 10 50 x 100 625 x 100 4 252 x 100 g. h. i. j. k. l. 4 x 1 000 29 x 1 000 245 x 1 000 240 x 1 000 5 695 x 1 000 2 x 100 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 59 3.3.7 Résoudre des problèmes qui font appel à la multiplication Dans les problèmes qui font appel à la multiplication, il est bon de développer une bonne méthode de travail. +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 1) Un livre renferme 352 pages de 62 lignes chacune. lignes? Combien contient-il de Choix de l'opération : Multiplication (le nombre de lignes augmente) Sens de la multiplication : 1 page contient 352 pages contiennent 1re page 2e page ...e page = 352e page = = 62 lignes = 62 lignes ADDITION 62 lignes RÉPÉTÉE 62 lignes 62 lignes ? 352 x 62 704 21 12 21 824 Le livre contient 21 824 lignes. Remarques 1. 2. Ce qu'on veut trouver, c.-à.-d. le nombre de lignes, doit être écrit du côté droit. Dans la première ligne, tout doit être connu. Ici, on sait que 1 page contient 62 lignes. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 60 2) Quelle est la distance parcourue par un cycliste qui fait 125 fois le tour d'une p i s t e d e 6 7 9 m è t r e s ? À trouver )))> la distance ))))> côté droit 1 tour 125 tours = = 679 mètres ? 679 x 125 3 395 13 58 67 9 84 875 Il parcourt une distance de 84 875 mètres. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 20 61 1. Si un sac de pois secs pèse 175 kilogrammes, combien pèseront 25 sacs? 2. Une boîte contient 144 enveloppes. Combien y en a-t-il dans 26 boîtes identiques? 3. Dans une école, on compte 5 classes de 30 étudiants, 13 classes de 36 étudiants et 12 classes de 28 étudiants. Trouver le nombre d'étudiants dans l'école. 4. Une boîte contient 48 biscuits. Combien y a-t-il de biscuits dans 25 boîtes? 5. Vous parcourez 32 kilomètres par jour pour votre travail. Quelle distance parcourez­ vous en 30 jours? 6. Un avion peut transporter 250 passagers. Combien de passagers transporte-t-il en 100 envolées? 7. Vous fumez 25 cigarettes par jour. Combien de cigarettes fumez-vous en 365 jours? 8. Vous faites un voyage en roulant à une vitesse moyenne de 80 kilomètres par heure. Si vous voyagez pendant 20 heures, quelle distance parcourez-vous? 9. Tu as 28 billes; tu en donnes 3 à Claude et Louis t'en donne 5. Combien de billes as-tu maintenant? 10. Tu achètes 16 sacs contenant 20 billes chacun et 5 sacs contenant 10 billes chacun. Combien de billes as-tu achetées? 11. Un jardinier a planté des marguerites et des rosiers. Ses 25 rosiers lui ont fourni en moyenne 12 roses chacun. De plus, il a cueilli 625 marguerites. Combien de fleurs MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 20 62 a-t-il récoltées? 12. Louise lit 3 mots à la seconde. Combien de mots lit-elle en 3 heures? (1 heure = 3 600 secondes). 13. Un amphithéâtre contient 80 rangées de 40 sièges. Pour un spectacle, on avait vendu 820 billets d'avance et le soir du spectacle, 210 spectateurs ont acheté le leur à l'entrée. Combien restait-il de places libres? 14. Lyse s'entraîne à la course. Elle court 500 mètres la première journée; chaque jour, elle augmente cette distance de 65 mètres. Quelle distance parcourt-elle la 3e journée? 15. Papa avait fait 55 petits gâteaux. Il en reste 6. Combien de gâteaux ont été mangés? 16. Grand-mère a fait 61 pots de confiture; maman en a fait 18 de plus que grand-mère et ma tante 25 de plus que maman. Combien de pots de confiture ont-elles faits ensemble? MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 63 3.4 DIVISION 3.4.1 Diviser avec des diviseurs d'un chiffre L'opération division consiste à chercher combien de fois un nombre est contenu dans u n a u t r e n o m b r e . Le signe opératoire de la division est (÷) et se lit "divisé par". Ainsi 45 divisé par 5 s'écrit "45 ÷ 5" signifiant : combien de fois le nombre 45 contient-il le nombre 5? Chaque nombre de la division a un nom particulier : Dividende : Diviseur : Quotient : Reste : le nombre à diviser; le nombre qui divise (doit être écrit à droite du symbole ÷); le résultat (qui signifie combien de fois); le surplus qu'il y a lorsque le dividende ne contient pas un nombre exact de fois le diviseur. +))))))))))), * Exemple * .)))))))))))­ 45 ÷ 5 = 9 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 64 45 est le dividende 5 est le diviseur 9 est le quotient On lit "45 divisé par 5 égale 9" +))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))), * Division * * dividende par diviseur égale quotient * * 45 ÷ 5 = 9 * .)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))- Mathématiquement, la division est considérée comme l'inverse de la multiplica-tion : lorsqu'on connaît le produit de deux nombres ainsi qu'un des facteurs, le facteur inconnu s'obtient par division. Le produit est le dividende. Le facteur connu est le diviseur. Le facteur inconnu est le quotient. x5 +))))))))))))))))))))))))), * * v w 9 45 v w * * .)))))))))))))))))))))))))­ ÷5 45 ÷ 5 = 9 9 x 5 = 45 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 65 En effet 45 ÷ 5 = 9 car 5 x 9 = 45 Particularités du zéro dans la division 1. 0 peut être utilisé comme dividende. Le quotient est toujours 0. Ainsi 0 ÷ 5 = 0 car 0 x 5 = 0 2. 0 ne peut être utilisé comme diviseur. Ainsi 5 ÷ 0 = impossible car il existe aucun nombre qui multiplié par 0 donne 5 au produit. +))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))), * LA DIVISION PAR ZÉRO EST IMPOSSIBLE * .)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))- Soit à diviser 57 par 3. 1. Évaluer combien de fois le diviseur (3) est contenu dans le premier chiffre d dividende (5). u 1 3 est contenu 3 1 fois dans 5 2. 57 3 2 Poser 1 au-dessus de 5. Multiplier : 1 x 5 = 5 Soustraire : 5 - 3 = 2 (reste) Après avoir abaissé le 7, évaluer combien de fois le diviseur (3) est contenu dans 27. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 66 19 3 est contenu 9 fois dans 27 3 39 57 27 27 0 Poser 9 au-dessus du 7. Multiplier : 9 x 3 = 27 Soustraire : 27 - 27 = 0 (reste) Quotient : 19 Preuve : Quotient x diviseur = dividende 19 x 3 = 57 Soit à diviser 235 par 8. 1. Si le diviseur est plus grand que le premier chiffre, alors on considère les deux premiers chiffres du dividende. 2 8 est contenu 2 fois dans 23 8 16 235 7 2. Poser 2 au-dessus du 3. Multiplier : 2 x 8 = 16 Soustraire : 23 - 16 = 7 (reste) Après avoir abaissé le 5, évaluer combien de fois le diviseur (8) est contenu dans 75. 29 8 est contenu 9 fois dans 75 8 169 235 75 72 3 Poser 9 au-dessus du 5. Multiplier : 9 x 8 = 72 Soustraire : 75 - 72 = 3 (reste) Quotient : 29 reste 3 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 67 Preuve : Quotient x diviseur + reste = dividende 29 x 8 + 3 = 235 232 + 3 = 235 235 = 235 On peut répéter ce procédé aussi longtemps qu'il y a des chiffres à abaisser. +)))))))))), * Exemple * .))))))))))- Diviser 6 547 par 7. 935 7 Preuve : 935 x 7 6 545 + 2 6 547 6 547 6 39 24 219 37 35 2 (Quotient) (diviseur) (reste) (dividende) Quotient : 935 reste 2 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 21 68 1. Remplacer chacune des expressions suivantes par une expression mathématique contenant les symboles (÷) et (=). a. b. 2. Dans 20 ÷ 4 = 5. a. b. c. 3. quel est le produit? quels sont les facteurs? À partir des multiplications suivantes, construire deux divisions. a. b. 5. quel est le quotient? quel est le diviseur? quel est le dividende? Dans 6 x 3 = 18. a. b. 4. Combien de fois le nombre 10 contient-il le nombre 2? Combien de fois le nombre 15 contient-il le nombre 3? 6 x 8 = 48 5 x 7 = 35 Effectuer (mentalement) les divisions suivantes. Indiquer le quotient et le reste, s'il y a lieu. a. b. c. d. e. f. 23 ÷ 7 78 ÷ 8 37 ÷ 8 44 ÷ 6 55 ÷ 6 47 ÷ 7 g. h. i. j. k. l. 0÷5 9÷0 0 ÷ 25 33 ÷ 6 25 ÷ 4 29 ÷ 3 o. p. q. r. m. 27 ÷ 8 n. 65 ÷ 9 38 ÷ 7 47 ÷ 8 25 ÷ 8 71 ÷ 9 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 21 69 6. Effectuer les divisions suivantes. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. 57 ÷ 3 90 ÷ 6 73 ÷ 4 97 ÷ 8 484 ÷ 4 125 ÷ 5 238 ÷ 9 369 ÷ 3 406 ÷ 9 370 ÷ 4 k. l. m. n. 1 371 ÷ 3 1 520 ÷ 3 2 055 ÷ 4 4 623 ÷ 9 o. 1 323 ÷ 5 p. 8 356 ÷ 6 q. 4 771 ÷ 8 r. 728 ÷ 8 s. 1 856 ÷ 8 t. 957 ÷ 7 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 70 3.4.2 Diviser avec des diviseurs de deux chiffres ou plus Le procédé de division est toujours le même peu importe le nombre de chiffres au diviseur. Soit à diviser 817 par 28. 1. Le diviseur (28) est plus grand que le premier chiffre (8), alors on considère les deux premiers chiffres (81) du dividende. 2 28 est contenu 2 fois dans 81 28 56 817 25 2. Poser 2 au-dessus du 1. Multiplier : 2 x 28 = 56 Soustraire : 81 - 56 = 25 (reste) Après avoir abaissé le 7, évaluer combien de fois le diviseur (28) est contenu dans (257)? 29 28 est contenu 9 fois dans 257 Preuve : 28 Poser 9 au-dessus du 7. Multiplier : 9 x 28 = 252 Soustraire : 257 - 252 = 5 (reste) 817 569 257 252 5 Quotient x diviseur + reste 29 x 28 + 5 812 + 5 817 = Quotient : 29 reste 5 = = = 817 dividende 817 817 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 71 Il arrive parfois qu'il y ait un ou des zéros au quotient. Soit à diviser 7 395 par 24. 1. 3 24 2. 7 395 72 1 308 24 7 395 72 195 192 3 Puisque 24 est plus grand que 19, on pose 0 au­ dessus du 9. On abaisse le 5 et on continue la division. Quotient : 308 reste 3 +)))))))))), * Exemple * .))))))))))- Diviser 108 432 par 54. 2 008 54 108 432 108 432 432 0 Quotient : 2 008 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 22 72 1. Effectuer les divisions suivantes. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. 608 ÷ 16 251 ÷ 21 463 ÷ 21 314 ÷ 65 3 147 ÷ 42 2 956 ÷ 17 2 653 ÷ 35 4 329 ÷ 60 5 820 ÷ 38 9 820 ÷ 50 k. l. m. n. o. p. q. r. s. t. 10 086 ÷ 123 31 418 ÷ 102 754 ÷ 54 6 400 ÷ 200 15 724 ÷ 402 6 000 ÷ 56 637 ÷ 21 7 418 ÷ 36 9 307 ÷ 45 927 ÷ 315 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 73 3.4.3 Évaluer des expressions mathématiques contenant les quatre opérations arithmétiques et des parenthèses 1er cas : S'il n'y a pas de parenthèses S'il n'y a pas de parenthèses, il est convenu que la multiplication et la division ont priorité sur l'addition et la soustraction, c'est-à-dire que les multiplications et les divisions se font avant les additions et les soustractions, toujours en procédant de gauche à droite. +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 1) Évaluer : 24 + 6 x 3 - 12 ÷ 6 = 24 + 18 - 12 ÷ 6 [Priorité de la x] = 24 + 18 - 2 [Priorité de la ÷] = 42 - 2 = 40 2) Évaluer : 32 - 18 ÷ 3 + 4 x 5 = 32 - 6 + 4 x 5 = 32 - 6 + 20 = 26 + 20 = 46 Remarque Si la division se présente avant la multiplication dans l'ordre de gauche à droite, il faut faire la division avant. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 74 2e cas : S'il y a des parenthèses S'il y a des parenthèses, on doit effectuer : 1. 2. 3. les opérations à l'intérieur des parenthèses; les multiplications et'ou les divisions dans l'ordre où elles apparaissent; les additions et'ou les soustractions dans l'ordre où elles apparaissent. +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 1) Évaluer : 10 x 2 ÷ 10 + 2 (5 + 4) ÷ 9 = 10 x 2 ÷ 10 + 2 (9) ÷ 9 = 20 ÷ 10 + 2 (9) ÷ 9 = 2 + 2 (9) ÷ 9 = 2 + 18 ÷ 9 = 2 + 2 = 4 2) Évaluer : 96 ÷ (16 - 4 x 2) - 12 ÷ 2 + 3 - 8 = 96 ÷ (16 - 8) - 12 ÷ 2 + 3 - 8 = 96 ÷ 8 - 12 ÷ 2 + 3 - 8 = 12 - 12 ÷ 2 + 3 - 8 = 12 - 6 + 3 - 8 = 6 + 3 - 8 = 9 - 8 = 1 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 23 75 1. Trouver la valeur de chaque expression. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q. r. s. t. u. v. 6 x 16 + 4 + 8 20 x 4 x 3 ÷ 12 x 10 + 3 3 (6 + 4 x 5) (25 x 3 - 20) - (7 + 5) ÷ 6 19 + 6 ÷ 6 + 19 200 ÷ 4 - 25 12 ÷ 2 x 2 + 4 7x4-3x3+1 8+6x1-8÷4 (16 - 1) ÷ (29 - 19 - 5) 42 x 2 ÷ 7 x 5 x 0 x 3 28 ÷ 7 x (4 x 5) ÷ 8 7 + 9 ÷ (12 ÷ 4) x 5 28 + 21 + 14 ÷ (6 + 1) 2 x 8 + 4 - 16 ÷ 8 + 3 x 4 7 x 8 ÷ 4 x 2 + 5 + 60 ÷ 4 x 5 - 8 (3 x 4 + 4) ÷ (2 x 8 - 3 x 4) 56 ÷ 8 + 5 x 7 - 24 ÷ 8 + 4 x 9 42 ÷ 6 x 2 - (8 - 4) 7 + 48 ÷ 2 ÷ 4 + 28 ÷ 4 64 - 72 ÷ (8 x 3) + 3 x 13 96 ÷ 4 - 48 ÷ 3 - 8 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 76 3.4.4 Résoudre des problèmes qui font appel à la division Dans les problèmes qui font appel à la division, il faut encore poser les données de sorte que ce qu'on veut trouver soit du côté droit. +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 1) Un professeur partage ses 36 étudiants en 3 équipes égales. Combien y a-t-il d'étudiants par équipe? Choix de l'opération : division (sens de partage) Sens de la division : on peut partager 36 en 3 groupes de 12. À trouver ))))))> nombre d'étudiants ))))))> côté droit 3 équipes 1 équipe = = 36 étudiants ? 36 ÷ 3 = 12 Chaque équipe a 12 étudiants. 2) Un étudiant a 420 pages à étudier pour un examen; il peut en revoir 30 pages par jour. Combien de jours devra-t-il consacrer à la préparation de son examen? Il s'agit de trouver le nombre de fois que 30 est compris dans 420. À trouver ))))))> nombre de jours ))))))> côté droit 30 pages 420 pages = = 420 30 14 = 1 jour ? 14 30 Il devra consacrer l4 jours. 3) La division peut aussi servir à calculer des moyennes. 420 30 120 120 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 77 Pour calculer une moyenne, il faut : 1. 2. additionner les valeurs; diviser cette somme par le nombre de valeurs. Lyse achète des cadeaux coûtant : 82 $, 36 $, 42 $, 57 $ et 68 $. Calculer le prix moyen de chaque cadeau. Somme = = 82 + 36 + 42 + 57 + 68 285 Moyenne = 285 5 = 57 Le prix moyen de chaque cadeau est 57 $. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 24 78 1. Vous parcourez 800 kilomètres à une vitesse de 80 kilomètres par heure. Calculer la durée du voyage? 2. Quelle vitesse doit-on maintenir pour parcourir 1 125 kilomètres en 15 heures? 3. À l'école, Jean obtient les résultats suivants : 72, 85, 71, 92, 90. Calculer sa moyenne. 4. On partage 840 billets entre 70 enfants; combien chacun en aura-t-il? 5. Dans un verger, il y a 1 920 arbres répartis en 30 rangées égales. Combien y a-t-il d'arbres par rangée? 6. Un avion fait 420 kilomètres en 3 heures. Quelle distance parcourt-il en moyenne en 1 heure? 7. Gilles a promis de tricoter 48 paires de bas. S'il peut en tricoter 4 paires dans une semaine, en combien de semaines aura-t-il accompli sa promesse? 8. Henri est un commis voyageur. Cette semaine; il a parcouru 642 kilomètres; la semaine dernière, il avait parcouru 119 kilomètres de moins. Combien de kilomètres a-t-il parcourus durant ces deux semaines? 9. Il y a 63 beignets dans une boîte. Je dois les séparer également dans 3 boîtes. Combien y en aura-t-il par boîte? 10. L'épaisseur totale de plusieurs livres est 168 centimètres. Si l'épaisseur d'un livre est 3 centimètres, combien y a-t-il de livres? MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 79 RÈGLE DE TROIS On appelle RÈGLE DE TROIS un genre de raisonnement par lequel on cherche une quatrième quantitié lorsque les trois autres sont connues. +))))))))))), * Exemples * .)))))))))))­ 1) Des briqueteurs ont posé 9 600 briques en 4 jours. Dans les mêmes conditions, combien en poseront-ils en 10 jours? Raisonnement En 4 jours, ils posent 9 600 briques. En 1 journée, ils posent 9 600 4 = 2 400 briques (4 fois moins). En 10 jours, ils posent 2 400 x 10 = 24 000 briques (10 fois plus). On voit que le nombre de jours augmentait, donc le nombre de briques augmenter. devait Disposition des données Étape 1 Identifier l'inconnu (ce que l'on cherche). jours briques ))))))> inconnu Étape 2 Poser les deux quantités connues et différentes qui s'associent. 4 jours ))))))> 9 600 briques MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 80 Étape 3 Identifier la 3e quantité connue, la placer en dessous de sa pareille et inscrire ? dans l'espace libre. 4 jours <)))))> 9 600 briques 10 jours <)))))> ? briques Solution Multiplier les deux quantités qui sont en diagonale et diviser par l'autre quantité. 4 jours 10 jours = = nombre de briques 9 600 briques ? briques = = = Dans 10 jours, ils vont poser 24 000 briques. Remarque On peut écrire 9 600 briques <)))))> 4 jours ? <)))))> 10 jours ? = 10 x 9 600 4 ? = 24 000 10 x 9 600 4 96 000 4 24 000 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 81 2) Les Lanteigne ont mis 6 heures pour parcourir 261 kilomètres. À cette vitesse, quelle distance peuvent-ils parcourir en 4 heures? 6 heures <)))))> 4 heures <)))))> 261 kilomètres ? distance 4 x 261 6 1 044 6 174 = = = La distance parcourue est 174 kilomètres. 3) Un ouvrier prend 15 minutes pour fabriquer une pièce. Combien d'heures prendra-t-il pour fabriquer 1 080 pièces? 15 minutes <))))))>1 pièce ? <))))))> 1 080 pièces nombres de pièces = = 1 080 x 15 1 16 200 minutes 60 minutes <))))))>1 heure 16 200 minutes <))))))>? Temps Il prendra 270 heures. = 16 200 x 1 60 = 270 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 25 82 1. Sachant qu'un ouvrier produit 120 pièces en une journée de 8 heures, calculer sa production au cours d'une semaine de 40 heures. 2. Pierre a un livre de 405 pages. S'il lit 45 pages par jour, en combien de jours aura-t-il terminé le livre? 3. Trois chemises coûtent 105 $. Quel est le coût de 5 chemises semblables? 4. Un automobiliste fait 424 kilomètres en 4 heures. Dans 8 heures, il fera combien de kilomètres? 5. Dans une école, 648 élèves sont répartis en 36 classes. Combien y a-t-il d'élèves en moyenne par classe? 6. Un libraire achète 15 livres à 8 $ l'unité. S'il veut réaliser un profit de 90 $, quel sera le prix de vente d'un livre? 7. Six paniers contiennent 126 oranges. Combien retrouves-tu d'oranges dans 15 paniers? 8. Louise marche 12 kilomètres en 2 heures; quelle distance parcourra-t-elle en 3 heures? 9. M. Savoie a pris 4 litres de peinture pour couvrir 26 mètres carrés. Il lui reste encore 6 litres de peinture. Combien de mètres carrés peut-il couvrir avec le reste? 10. Un libraire achète 10 romans pour chaque 6 volumes d'histoire. S'il commande 155 romans, combien de volumes d'histoire devra-t-il commander? 11. Louis a rapporté 108 oeufs du poulailler. Il doit les ranger en boîtes d'une douzaine. Combien de boîtes aura-t-il besoin? MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 25 83 12. Combien y a-t-il de paquets de 13 cartes dans un lot de 65 cartes? 13. Avec 2 paniers de pêches, Suzanne a rempli 8 pots de confiture. Combien lui faudra­ t-il de paniers pour remplir 24 pots semblables? 14. Une dactylo a tapé 5 pages en 15 minutes. Dans les mêmes conditions, combien de pages fera-t-elle en 2 heures? 15. Une bibliothèque contient 7 rayons et sur chaque rayon il y a 168 volumes. Combien y a-t-il de volumes sur 5 rayons? MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 84 4.0 THÉORIE DES NOMBRES 4.1 RECONNAÎTRE DES NOMBRES PAIRS ET DES NOMBRES IMPAIRS NOMBRE PAIR Un nombre pair est un nombre qui est divisible par deux, c'est-à-dire que sa division par deux s'effectue sans reste. L'ensemble des nombres pairs est représenté par {0, 2, 4, 6, 8, ...}. +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 1) 2) 0 est un nombre pair car 0 ÷ 2 = 0 reste 0 8 est un nombre pair car 8 ÷ 2 = 4 reste 0 NOMBRE IMPAIR Un nombre impair est un nombre qui, divisé par deux, donne 1 comme reste. L'ensemble des nombres impairs est représenté par {1, 3, 5, 7, 9, ...}. +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 1) 2) 3) 3 est un nombre impair car 3 ÷ 2 = 1 reste 1 7 est un nombre impair car 7 ÷ 2 = 3 reste 1 1 est un nombre impair car 1 ÷ 2 = 0 reste 1 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 85 4.2 RECONNAÎTRE DES NOMBRES DIVISIBLES PAR 2, 3, 4, 5 OU 10 Un nombre est divisible par un autre quand la division s'effectue sans reste. Il existe des moyens rapides de vérifier, sans effectuer l'opération, si un nombre est divisible par un autre; il suffit de connaître les critères de divisibilité des nombres. DIVISIBILITÉ PAR 2 Un nombre est divisible par 2 s'il se termine par l'un des chiffres 0, 2, 4, 6, 8, c'est-à-dire s'il se termine par un nombre pair. +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 1) 2) 74 se termine par le chiffre pair 4; donc il est divisible par 2. 65 se termine par le chiffre impair 5; donc il n'est pas divisible par 2. DIVISIBILITÉ PAR 3 Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3. +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 1) 2) 78 est divisible par 3 puisque (7 + 8) ou 15 divise par 3. 85 n'est pas divisible par 3 puisque (8 + 5) ou 13 ne se divise pas par 3. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 86 DIVISIBILITÉ PAR 4 Un nombre est divisible par 4 lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4 ou lorsqu'il est formé de deux zéros. +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 1) 2) 3) 524 est divisible par 4 parce que 24 est divisible par 4. 5 200 est divisible par 4 parce qu'il se termine par deux zéros. 234 n'est pas divisible par 4 parce que 34 n'est pas divisible par 4. DIVISIBILITÉ PAR 5 Un nombre est divisible par 5 lorsqu'il se termine par 0 ou 5. +)))))))))), * Exemples * .))))))))))­ 1) 2) 3) 85 est divisible par 5 puisqu'il se termine par un 5. 60 est divisible par 5 puisqu'il se termine par un 0. 46 n'est pas divisible par 5 puisqu'il se termine par un 6. DIVISIBILITÉ PAR 10 Un nombre est divisible par 10 lorsqu'il se termine par 0. +)))))))))), * Exemples * MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 26 87 .))))))))))- 1. 1) 2) Lesquels de cespar nombres sontqu'il desse nombres 30 est divisible 10 parce terminepairs? par un 0. 43 n'est pas divisible par 10 parce qu'il se termine par 3. 1, 0, 25, 32, 9, 6, 135, 234, 108, 625, 4 252. 2. Lesquels de ces nombres sont des nombres impairs? 3, 24, 633, 65, 100, 19, 27. 3. Lesquels de ces nombres sont divisibles par 2? 59 76 121 726 870 132 897 1 119 21 52 61 422 804 990 996 46 372 4. Lesquels de ces nombres sont divisibles par 3? 121 53 78 102 93 313 1 221 663 514 711 43 63 501 91 1 920 1 881 5. Lesquels de ces nombres sont divisibles par 4? 316 220 3 218 3 360 5 828 7 624 5 210 18 318 254 4 432 2 014 3 756 657 6. Lesquels de ces nombres sont divisibles par 5? 640 625 72 2 443 10 000 205 8 030 25 75 1 635 499 551 6 560 2 115 7. Lesquels de ces nombres sont divisibles par 10? 1 650 1 230 14 060 1 655 4 243 10 000 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 88 4.3 RECONNAÎTRE QU'UN NOMBRE EST UN FACTEUR D'UN AUTRE NOMBRE Dans la multiplication, les nombres à multiplier sont appelés facteurs. Ainsi puisque 6 x 2 = 12, les nombres 6 et 2 sont les facteurs de 12. Certains nombres ont plusieurs facteurs. Soit à trouver les facteurs de 20. On a 20 = 1 x 20 = 2 x 10 = 4x5 Donc les facteurs de 20 sont : 1, 2, 4, 5, 10 et 20. On peut utiliser la division pour déterminer si un nombre est un facteur d'un autre. Soit à déterminer si 7 est un facteur de 105. Puisque 105 ÷ 7 = 15 On a 7 x 15 = 105 (Quotient x diviseur = dividende) Donc 7 est un facteur de 105. Dans le cas d'une division, le nombre par lequel on doit diviser s'appelle le diviseur. Étant donné que la division est l'inverse de la multiplication, les diviseurs et les facteurs d'un nombre sont les mêmes. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 89 4.4 DISTINGUER ENTRE UN NOMBRE PREMIER ET UN NOMBRE COMP OSÉ On appelle NOMBRE PREMIER un nombre qui a exactement deux facteurs différents : lui-même et 1. Ainsi 7 est un nombre premier puisque les facteurs de 7 sont 7 et 1. Quand un facteur est un nombre premier, on dit que c'est un facteur premier. +))))))))))), * Exemple * .)))))))))))­ Les facteurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Parmi ces facteurs, 2 et 3 sont des facteurs premiers. On appelle NOMBRE COMPOSÉ un nombre qui est plus grand que 0 et qui a plus de deux facteurs. +))))))))))), * Exemple * .)))))))))))­ 18 est un nombre composé; ses facteurs sont 2 x 3 x 3. Particularités de 0 et 1 Le nombre 0 n'est ni premier ni composé puisque tout nombre est un facteur de 0. 0x0 = 0 0x1 = 0 0 x 3 = 0 ainsi de suite Le nombre 1 n'est ni premier ni composé puisque 1 est le seul facteur de 1. 1x1 = 1 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 90 Décomposition d'un nombre en ses facteurs premiers Décomposer un nombre en ses facteurs premiers, c'est trouver tous les facteurs premiers dont le produit est égal au nombre donné. Il existe deux méthodes pour trouver les facteurs premiers d'un nombre. Soit à trouver les facteurs premiers de 90. 1) On a 90 +)) * 2 x 45 * 2 x 3 x 15 *2x3x3x5 .)) Donc les facteurs premiers de 90 sont 2 x 3 x 3 x 5. +)))))))))), * Exemple * .))))))))))- Décomposer 60 en facteurs premiers. 60 +)) * 2 x 30 * 2 x 2 x 15 *2x2x3x5 .)) Les facteurs premiers de 60 sont 2 x 2 x 3 x 5. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 91 2) On a 2 *90 /))) 3 *45 /))) 3 *15 .))) 5 Donc les facteurs premiers de 90 sont 2 x 3 x 3 x 5. +)))))))))), * Exemple * .))))))))))- Décomposer 40 en facteurs premiers. 2 *40 *20 /))) 2 *10 .))) /))) 2 5 Les facteurs premiers de 40 sont 2 x 2 x 2 x 5. Le choix de méthode est laissé à la discrétion de l'apprenant ou l'apprenante. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 27 92 1. Déterminer les facteurs. a. b. c. d. 2. e. f. g. h. 25 96 42 35 Utiliser la division pour déterminer si chaque premier nombre est un facteur du deuxième. a. b. c. d. 3. 17 64 15 30 3; 4; 2; 5; 315 512 332 935 D'après le tableau ci-dessous, dresser : a. b. la liste des nombres premiers; la liste des nombres composés. +))))0))))0))))0))))0))))0))))0))))0))))0))))0)))), * 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 * /))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))1 * 11 * 12 * 13 * 14 * 15 * 16 * 17 * 18 * 19 * 20 * /))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))1 * 21 * 22 * 23 * 24 * 25 * 26 * 27 * 28 * 29 * 30 * /))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))1 * 31 * 32 * 33 * 34 * 35 * 36 * 37 * 38 * 39 * 40 * /))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))1 * 41 * 42 * 43 * 44 * 45 * 46 * 47 * 48 * 49 * 50 * /))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))1 * 51 * 52 * 53 * 54 * 55 * 56 * 57 * 58 * 59 * 60 * /))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))1 * 61 * 62 * 63 * 64 * 65 * 66 * 67 * 68 * 69 * 70 * /))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))1 * 71 * 72 * 73 * 74 * 75 * 76 * 77 * 78 * 79 * 80 * /))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))1 * 81 * 82 * 83 * 84 * 85 * 86 * 87 * 88 * 89 * 90 * MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 27 93 /))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))3))))1 * 91 * 92 * 93 * 94 * 95 * 96 * 97 * 98 * 99 *100 * .))))2))))2))))2))))2))))2))))2))))2))))2))))2))))­ 4. Décomposer les nombres suivants en leurs facteurs premiers. a. b. c. d. e. 5. 40 56 16 49 62 f. g. h. i. j. 27 45 68 46 54 Reproduire ce tableau et le compléter en mettant (x) aux bons endroits. +)))))))))0)))))))))0)))))))))0)))))))))0))))))))), *Nombre * Pair * Impair * Premier * Composé * /)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))1 * 11 * * * * * /)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))1 * 31 * * * * * /)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))1 * 10 * * * * * /)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))1 * 8 * * * * * /)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))1 * 28 * * * * * /)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))1 * 9 * * * * * /)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))1 * 49 * * * * * /)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))1 * 776 * * * * * /)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))1 * 3 000 * * * * * /)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))1 * 189 * * * * * /)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))1 * 13 * * * * * MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 27 94 /)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))1 * 17 * * * * * /)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))1 * 140 * * * * * /)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))3)))))))))* * 145 * * * * * .)))))))))2)))))))))2)))))))))2)))))))))2)))))))))­ MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 95 4.5 TROUVER LE PLUS GRAND FACTEUR COMMUN Le plus grand facteur commun (PGFC) de deux ou plusieurs nombres est le plus grand nombre qui est facteur de ce nombre. Méthode pour trouver le PGFC 1. 2. 3. Décomposer chaque nombre en facteurs premiers. Choisir tous les facteurs qu'il y a en commun. Faire le produit de ces facteurs communs. Soit à trouver le PGFC de 30 et 45. 1. 30 = 3 x 5 x 2 45 = 3 x 3 x 5 [décomposition en facteurs premiers] 2. 30 = 3 x 2 x 5 45 = 3 x 3 x 5 [choisir les facteurs communs] 3. PGFC = 3 x 5 = 15 [faire le produit des facteurs communs] PGFC : 15 Remarque Un facteur d'un nombre divise nécessairement ce nombre sans reste. Alors 15 est le plus grand diviseur de 30 et 45. On a 30 ÷ 15 = 2 et 45 ÷ 15 = 3 +))))))))), * Exemple * .)))))))))Trouver le PGFC de 72, 60 et 84. 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 60 = 2 x 2 x3x5 84 = 2 x 2 x3x7 PGFC = 2 x 2 x 3 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 96 = 12 PGFC : 12 THÉORIE MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 28 97 1. Trouver le PGFC des nombres suivants. a. b. c. d. e. f. g. h. 18 et 45 18 et 16 20 et 30 18 et 15 18 et 24 63 et 56 32 et 48 30 et 36 i. j. k. l. m. n. o. p. 63 et 81 90 et 108 42 et 105 12, 15 et 18 36 et 60 15, 30 et 45 16, 24 et 40 36, 48 et 64 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 98 4.6 RECONNAÎTRE QU'UN NOMBRE EST UN MULTIPLE D'UN AUTRE NOMBRE Le multiple d'un nombre est le produit de ce nombre par un des nombres naturels. Ainsi 15 est multiple de 5 car 5 x 3 = 15. On peut aussi dire que 15 (le multiple) est divisible par 5. Soit à trouver les multiples de 2. 2x0 2x1 2x2 2x3 2x4 2x5 2x6 .... = = = = = = = = 0 2 4 6 8 10 12 . . . {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,...} est l'ensemble des multiples de 2. Chacun de ces nombres est un multiple de 2 car il est divisible sans reste par 2. Zéro est un multiple de tous les nombres. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 THÉORIE 99 4.7 TROUVER LE PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE DE DEUX OU PLUSIEURS NOMBRES Le plus petit commun multiple (PPCM) est le plus petit nombre, différent de zéro, qui est multiple de ces nombres. Soit à trouver PPCM de 36 et 48. Multiples de : 36 = 36, 72, 108, 144, 180, 216, 252, 288, ... 48 = 48, 96, 144, 192, 240, 288, ... Le plus petit commun multiple est le premier nombre commun soit 144. Remarques 1. 2. 288 est un multiple commun, mais il n'est pas le plus petit. Le plus petit commun multiple à plusieurs nombres est toujours divisible par chacun de ces nombres. Ainsi 144 est divisible par 36 et 144 est divisible par 48. Méthode pour trouver le PPCM 1. 2. 3. Décomposer les nombres en leurs facteurs premiers. Écrire les facteurs sous la forme exponentielle (si possible). Faire le produit de tous les facteurs, chacun d'eux étant pris une seule fois avec son exposant le plus élevé. Soit à trouver le PPCM de 36 et 48. 1. 36 = 2 x 2 x 3 x 3 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 [Décomposer en facteurs premiers] 2. 36 = 22 x 32 48 = 24 x 3 [Écrire les facteurs sous la forme exponentielle] 3. PPCM = 24 x 32 = 16 x 9 = 144 [24 = 2 x 2 x 2 x 2] [32 = 3 x 3] PPCM : 144 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS 100 +)))))))))), * Exemple * .))))))))))- Trouver le PPCM de 24, 40 et 72. 24 = 2 x 2 x 2 x 3 40 = 2 x 2 x 2 x 5 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 23 x 3 23 x 5 23 x 32 = 23 x 32 x 5 = 8x9x5 PPCM = 360 PPCM : 360 CAHIER 1 THÉORIE MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE 29 101 1. 2. Trouver le PPCM des nombres suivants. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. 12 et 15 15 et 18 10 et 12 14 et 35 18 et 30 24 et 42 20 et 24 8 et 10 9 et 4 32, 48 et 80 a. En dressant la liste d'un certain nombre de multiples de chacun des nombres suivants, trouver le PPCM. 1. b. 3. 2 et 3 k. l. m. n. o. p. q. r. s. t. 2. 7, 12 et 24 32 et 48 40 et 60 9 et 15 2 et 4 5 et 4 27, 63 et 90 4 et 16 24 et 36 36 et 48 5 et 7 3. 2 et 5 Énoncer une règle pour trouver le PPCM des nombres premiers. Faire la liste des 5 premiers multiples de chacun des nombres suivants. a. b. 5 6 c. d. 7 11 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE DE RENFORCEMENT 100 5.0 EXERCICE DE RENFORCEMENT 1. Trouver les coordonnées des points E, F, G et H. E F G H .))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2)))> 0 2. Représenter graphiquement sur la demi-droite numérique les ensembles suivants. a. b. 3. {7, 6, 5, 4} l'ensemble des nombres pairs inférieurs à 13 Décrire les ensembles représentés par les graphiques suivants. a..))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2)))> 0 b..))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2)))> 0 4. Étant donné les ensembles suivants : A = {2, 4, 6, 8, 10, 14, 15}; B = {2, 10, 19}; C = {4, 6, 14}; placer le bon symbole soit 0, ó, d ou ç. a. b. c. 3 4 C B C A d. e. f. B 10 15 A B C MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE DE RENFORCEMENT 101 5. Représenter les nombres à l'aide de symboles numériques. a. b. c. d. e. f. 6. Écrire en mots les nombres suivants. a. b. c. 7. 931 4 854 53 664 d. e. f. 427 99 8 000 Dans le nombre 594 326 180, que représente. a. b. c. d. e. 8. Deux cent trente-six Huit cent soixante et onze Vingt-cinq mille six cent sept Neuf mille trente-sept Huit cent quinze mille trois cent dix-neuf Deux cents le chiffre 3? le chiffre 9? le chiffre 4? le chiffre 6? le chiffre 5? Calculer les facteurs premiers de ces nombres. a. b. 48 45 9. Faire la liste des facteurs de 60. 10. Soit 5 x 8 = 40. a. b. c. d. Nommer les facteurs. Nommer le produit. 40 est-il un multiple de 5 et de 8? 5 est-il un nombre premier ou composé? Justifier. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE DE RENFORCEMENT 102 e. f. g. 11. Arrondir chaque nombre à la centaine près. a. 12. 8 est-il un nombre premier ou composé? Justifier. 5 est-il un nombre pair ou impair? Justifier. 8 est-il un nombre pair ou impair? Justifier. 763 b. 309 Arrondir chaque nombre à l'unité de mille près. a. 4 549 b. 24 199 13. Arrondir 49 384 à la dizaine près. 14. Dire si les nombres suivants sont premiers ou composés. a. b. c. 15. d. e. f. 77 108 23 Utiliser les critères de divisibilité pour dire si le premier est un facteur du deuxième. Justifier votre réponse. a. b. c. 16. 63 41 73 3; 351 4; 8 064 10; 4 280 d. e. f. 2; 3 752 5; 775 3; 350 Trouver le PGFC des nombres suivants. a. b. c. 50 et 15 12 et 15 24 et 36 d. e. f. 52 et 24 9, 15 et 42 8, 16 et 18 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE DE RENFORCEMENT 103 17. Trouver le PPCM des nombres suivants. a. b. c. 18. d. e. f. 3 et 5 6, 8 et 12 24, 36 et 56 Inscrire le nombre qui manque. a. b. c. 19. 25 et 10 4 et 15 8 et 14 x 100 = 4 700 655 x = 6 550 4 295 x 10 = Effectuer les opérations suivantes. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q. r. s. t. u. v. 50 - 4 x 9 + 63 ÷ 9 24 ÷ 6 + 8 x 9 8 (12 - 7) 18 ÷ 6 x 3 ÷ 9 35 - 4 x 7 + 1 (15 + 6) ÷ 3 6 (27 ÷ 3) (4 x 12 + 5) + (7 x 0 x 3) - (3 x 2 - 3) (7 + 6) (14 - 5) (57 - 36 + 12) - (14 - 7 x 2) 4 x 5 + 4 (3 + 9) 4 x 5 + 4 (12 ÷ 4) 2 (36 + 20) + 4 (5 + 4) 4 x 10 - 6 + 3 8 x 3 x 10 ÷ 12 x 10 + 3 58 - 38 ÷ 2 - 17 5 (6 + 4 x 5) 5 (10 - 2) + 8 (12 - 0) (12 - 4) (12 - 2) 42 ÷ 6 x 2 - (8 - 4) 64 - 72 ÷ (8 x 3) + 3 x 3 42 ÷ 6 + 36 ÷ 9 - 24 ÷ 8 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE DE RENFORCEMENT 104 20. Multiplier 59 par les nombres suivants. a. 21. c. 1 000 10 b. 100 c. 1 000 34 + 52 8 743 + 152 37 + 29 2 073 + 159 147 + 2 497 + 38 403 - 86 4 700 - 89 8 007 - 79 6 000 - 215 700 x 50 900 x 4 60 x 70 m. n. o. p. q. r. s. t. u. v. w. x. 67 x 9 53 x 5 804 x 6 65 x 70 77 x 42 603 x 87 527 x 37 578 x 300 408 x 170 20 x 50 x 9 8 x 10 x 4 4 x 7 x 32 Effectuer les divisions suivantes. a. b. c. d. e. f. g. 24. 100 Effectuer les calculs suivants. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. 23. b. Multiplier 40 par les nombres suivants. a. 22. 10 84 ÷ 3 436 ÷ 5 452 ÷ 6 6 234 ÷ 5 75 ÷ 34 704 ÷ 21 3 147 ÷ 42 h. 4 329 ÷ 60 i. 2 138 ÷ 7 j. 432 ÷ 7 k. 7 205 ÷ 24 l. 5 005 ÷ 903 m. 24 713 ÷ 611 Dans un mois, j'ai acheté 1 350 feuilles de papier, 674 crayons, 382 enveloppes et 336 timbres-poste. Combien d'articles ai-je achetés en tout? MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE DE RENFORCEMENT 105 25. M. Lemieux a 152 poules, il en garde 25 et vend les autres. Combien en vend-il? 26. Si j'ai besoin de 750 points pour réussir et j'en ai 682 d'accumulés, combien m'en manque-t-il? 27. En 90 jours, vous avez bu 630 verres de lait. Combien de verres avez-vous bu par jour? 28. S'il y a 24 boîtes de pois dans une caisse, combien y en a-t-il dans 5 caisses? 29. Dans une école secondaire, on compte 5 classes de 30 étudiants, 13 classes de 38 étudiants et 12 classes de 37 étudiants. Combien y a-t-il d'étudiants en tout? 30. Au stade de l'école, il y a 28 sections pouvant contenir 76 personnes chacune. Combien de personnes peuvent prendre place au stade? 31. Si une rangée de l'auditorium du collège peut contenir 245 personnes et qu'il y a 36 rangées, combien de personnes l'auditorium peut-il contenir? 32. Calculer le nombre de calories dans le repas suivant: une soupe, 86; du rôti d'agneau, 175; des pois, 66; une pomme de terre, 117; du pain, 134; une pomme, 81 et un verre de lait, 170. 33. Quel est mon total de notes accumulées si j'ai 79 en mathématiques, 82 en français, 84 en géographie et 74 en science? 34. Trouver le nombre d'étudiants dans une école secondaire 1er cycle, s'il y a 225 étudiants en 7e année, 193 étudiants en 8e année et 368 étudiants en 9e année. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE DE RENFORCEMENT 106 35. Combien de personnes ont assisté aux matches de hockey cette semaine, s'il y en avait 4 889 le lundi, 2 338 le mardi, 5 432 le mercredi, 6 333 le jeudi, 7 574 le vendredi, 6 387 le samedi et 9 814 le dimanche? 36. Si une salle peut accueillir 816 personnes et qu'il y a 24 personnes par rangée, combien y a-t-il de rangées? 37. Il y a eu 402 424 personnes qui sont venues à l'aréna durant les 4 dernières semaines. Combien y en avait-il en moyenne par semaine? 38. Quatre rouleaux de tapisserie couvrent 24 mètres carrés. Combien de mètres carrés couvrent 5 rouleaux? 39. Une cuisinière a besoin de trois gâteaux pour servir 35 personnes. Combien de gâteaux devra-t-elle faire pour servir 175 personnes? 40. M. Levesque fait en moyenne 90 kilomètres avec 15 litres d'essence. Combien de litres seraient nécessaires pour un voyage de 600 kilomètres? 41. Une manufacture produit 80 pièces en 5 jours. Combien produit-elle en 60 jours? 42. Martine a parcouru 600 kilomètres en 8 heures. À la même vitesse, combien de kilomètres peut-elle parcourir en 20 heures? 43. M. Savoie a utilisé 63 litres d'essence pour parcourir une distance de 700 kilomètres. Combien de litres lui seraient nécessaires pour parcourir 300 kilomètres? 44. Avec 250 centimètres de tissu je peux faire 2 paires de pantalon. Combien de centimètres de tissu seraient nécessaires pour faire 5 paires de pantalon? 45. Une voiture a parcouru 510 kilomètres en 6 heures. Quelle a été sa vitesse moyenne? MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 EXERCICE DE RENFORCEMENT 107 46. Voici les notes de Mireille durant les 3 premiers mois de classe : septembre, 78; octobre, 76 et novembre, 80. Calculer sa moyenne mensuelle. 47. J'ai fait 9 exercices de calcul en 45 minutes. Combien de temps ai-je mis en moyenne pour faire un exercice? 48. J'ai 336 oranges à mettre dans des sacs qui contiennent 1 douzaine. Combien me faut­ il de sacs? 49. Effectuer les calculs suivants. a. b. (25 x 3 - 60 + 15) ÷ 2 25 - 4 (21 - 16) FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2011 CORRIGÉ (Cahier 1) DI-AM-1991-05-27 BA-PG\98-03 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ TABLE DES MATIÈRES I EXERCICE 1, PAGE 4 1. a. b. 11 5 2. a..))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))), 0 1 2 c. d. 3 C CCCC 4 5 C 6 7 C 8 9 C 1 6, 6, 4 C 10 11 12 13 C b..))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))), 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C c..))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))), 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 C C C C 10 11 12 13 d..))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))), 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. a. {1, 2, 6, 13} b. {2, 4, 6} 4. a. b. c. d. e. ó d 0 0 0 5. a. b. c. d. e. {avril, juin, septembre, novembre} {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, z} {12, 14, 16, 18} {mardi, mercredi} réponse de l'apprenant ou l'apprenante f. g. h. i. j. 0 ç ç ó 0 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 1 2 EXERCICE 2, PAGE 8 1. a. b. unités de mille dizaines c. centaines de mille d. unités 2. a. b. c. 200 20 5 d. e. f. 8 000 000 6 000 50 000 3. a. b. c. 3 4 9 d. e. f. 2 5 8 EXERCICE 3, PAGE 11 1. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q. r. s. t. quarante-trois soixante et un soixante-dix-sept quatre-vingts vingt-huit quatre cent vingt et un trois cent vingt-quatre neuf mille neuf mille huit cents trois mille quatre soixante et onze mille un cent vingt et un un mille trois cent quarante-sept six cent vingt-quatre trois mille huit cent trente-deux neuf mille trente-sept quatre-vingt mille six cent dix-sept deux millions quatre-vingt-cinq deux cents trois cent cinq MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 1 3 EXERCICE 4, PAGE 13 1. a. b. c. d. e. f. g. 40 32 61 82 215 305 685 h. i. j. k. l. m. 3 230 9 639 20 405 8 000 000 56 995 6 708 062 EXERCICE 5, PAGE 16 1. a. b. c. d. e. 80 70 80 670 820 f. g. h. i. j. 550 850 880 750 1 340 2. a. b. c. d. e. 200 500 1 900 500 1 900 f. g. h. i. j. 36 500 4 300 6 600 9 300 3 900 3. a. b. 77 000 10 000 c. d. 5 000 15 000 4. a. b. 270 000 1 460 000 c. d. 680 000 430 000 e. f. g. h. 89 28 49 29 EXERCICE 6, PAGE 20 1. a. b. c. d. 53 69 579 779 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 1 4 2. a. b. c. d. e. 98 79 99 99 79 f. g. h. i. j. 77 99 88 87 69 k. l. m. n. o. 59 79 89 29 49 3. a. b. c. d. e. 579 897 997 978 999 f. g. h. i. j. 465 279 297 579 968 k. l. m. n. o. 789 697 987 998 369 f. g. h. i. j. 421 5 784 7 309 40 829 1 442 k. l. m. n. o. 56 460 11 306 624 650 116 765 821 773 EXERCICE 7, PAGE 23 1. a. b. c. d. e. 62 87 94 133 793 2. a. b. Oui 30 EXERCICE 8, PAGE 25 1. a. b. c. d. e. f. 6 dizaines et 3 unités ou 63 unités 8 dizaines et 2 unités ou 82 unités additionner additionner + la somme MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 1 5 2. 434 5. 22 083 3. 258 6. 63 4. 61 7. 151 g. 0 h. 213 335 405 8. 739 9. 2 637 l. 702 m. 331 100 135 EXERCICE 9, PAGE 28 1. a. c. d. e. f. 2. 4 134 3. 2 335 13 b. 10 11 23 29 31 i. j. k. 110 n. o. p. 336 EXERCICE 10, PAGE 31 1. a. b. c. d. e. f. 8 9 4 6 17 63 2. a. b. c. d. e. 13 - 9 = 4 11 - 6 = 5 14 - 8 = 6 2-2=0 15 - 6 = 9 g. h. i. j. k. l. 29 39 7 46 17 24 m. n. o. p. q. r. 56 469 85 3 0 407 13 - 4 = 9 11 - 5 = 6 14 - 6 = 8 2-0=2 15 - 9 = 6 s. t. u. v. w. x. 5 406 1 079 2 923 322 766 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 1 6 3. a. b. c. 4. a. 5. soustraire soustraire ­ +))))0))))0)))),b. +))))0))))0)))), * 25 * 4 * 19 * * 24 * 9 * 12 * /))))3))))3))))1 /))))3))))3))))1 * 10 * 16 * 22 * * 3 * 15 * 27 * /))))3))))3))))1 /))))3))))3))))1 * 13 * 28 * 7 * * 18 * 21 * 6 * .))))2))))2)))).))))2))))2))))­ 67 EXERCICE 11, PAGE 34 1. a. b. c. d. 41 19 59 21 e. f. g. h. 21 0 335 32 2. a. b. 196 - (75 + 54) = 67 642 - (56 + 169) + 27 = 444 i. j. k. l. EXERCICE 12, PAGE 36 1. 68 6. 65 2. 367 7. 247 3. 149 8. 66 4. blé : 488 avoine : 319 9. 6 921 5. 1 951 10. 229 95 19 79 39 m. n. o. p. 33 1 10 84 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 1 7 EXERCICE 13, PAGE 40 1. l'addition répétée 2. la soustraction 3. a. b. c. 4x1=4 3 x 9 = 27 5 x 2 = 10 4. a. b. 7 et 2 6 et 7 c. d. 7 et 8 7 et 5 e. f. 8 et 8 8 et 3 5. a. b. c. d. e. 3 1 0 4 7 f. g. h. i. j. 5 6 6 9 1 k. l. m. n. o. 5 5 7 7 56 6. a. b. c. d. e. f. 168 432 295 496 186 51 d. e. g. h. i. j. k. l. 55 80 160 80 477 1 968 6 x 5 = 30 4 x 7 = 28 m. n. o. p. q. r. 1 054 5 642 2 394 4 770 3 978 40 628 o. p. q. r. s. t. u. 119 190 v. 365 940 w. 377 696 x. 1 568 000 364 468 197 650 8 182 200 s. t. u. v. w. x. 36 006 30 120 45 030 26 202 265 244 975 968 EXERCICE 14, PAGE 45 1. a. b. c. d. e. f. g. 2 352 1 078 1 944 3 515 1 200 3 234 4 550 h. 3 350 i. 7 600 j. 4 080 k. 1 950 l. 980 m. 39 648 n. 25 088 31 527 150 1 011 600 413 500 y. 5 119 193 z. 3 468 340 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 1 8 EXERCICE 15, PAGE 47 1. a. b. c. d. e. 900 28 000 81 000 000 1 890 000 000 280 000 f. g. h. i. 31 800 6 000 000 630 000 2 500 f. g. h. i. j. 3 600 5 376 1 820 30 000 12 800 EXERCICE 16, PAGE 49 1. a. b. c. d. e. 224 432 480 0 0 EXERCICE 17, PAGE 53 1. a. b. c. d. 2. +)))))))))0))))))))))))), * base * exposant * /)))))))))3)))))))))))))1 * 3 * 5 * /)))))))))3)))))))))))))1 * 8 * 6 * /)))))))))3)))))))))))))1 * 10 * 8 * /)))))))))3)))))))))))))1 * 22 * 5 * .)))))))))2)))))))))))))­ a. b. c. d. e. f. 2x2x2x2x2 6x6x6 10 x 10 15 x 15 x 15 2x2x2x2x2x2 4x4x4 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 1 9 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 1 9 3. a. b. c. 63 82 54 d. e. f. 45 1003 152 4. a. b. c. 512 49 25 d. e. f. 1 296 32 64 5. a. b. 52 105 c. d. 1x6 32 6. a. b. 3 8 c. d. 10 2 7. a. b. 2 6 c. d. 3 4 8. a. b. c. 22 = 4 73 = 343 34 = 81 9. a. 800 + 30 + 7 8 x 100 + 3 x 10 + 7 x 1 8 x 102 + 3 x 10 + 7 x 1 b. 5 000 + 200 + 60 + 4 5 x 1 000 + 2 x 100 + 6 x 10 + 4 x 1 5 x 103 + 2 x 102 + 6 x 10 + 4 x 1 c. 1 000 + 600 + 30 + 2 1 x 1 000 + 6 x 100 + 3 x 10 + 2 x 1 1 x 103 + 6 x 102 + 3 x 10 + 2 x 1 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 1 10 d. 1 000 + 50 + 3 1 x 1 000 + 5 x 10 + 3 x 1 1 x 103 + 5 x 10 + 3 x 1 EXERCICE 18, PAGE 56 1. a. b. c. d. e. f. 11 237 3 400 62 200 1 005 g. h. i. j. k. l. 0 50 36 70 84 94 m. n. o. p. q. r. 220 120 110 780 52 510 EXERCICE 19, PAGE 58 1. a. b. c. d. e. f. 550 40 4 750 5 000 62 500 425 200 g. h. i. j. k. l. 4 000 29 000 245 000 240 000 5 695 000 200 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 30 370 925 32 400 2 170 630 49 244 EXERCICE 20, PAGE 61 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 4 375 3 744 954 1 200 960 25 000 9 125 1 600 s. t. u. v. w. 69 117 56 27 37 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 1 11 EXERCICE 21, PAGE 68 1. a. b. 10 ÷ 2 = 5 15 ÷ 3 = 5 2. a. 5 b. 4 3. a. 18 b. 6 et 3 4. a. b. 48 ÷ 6 = 8 35 ÷ 5 = 7 5. a. b. c. d. e. 3 R2 9 R6 4 R5 7 R2 9 R1 a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. 19 15 18 R1 12 R1 121 25 26 R4 123 45 R1 92 R2 6. c. 20 r. o. p. q. 7 R8 48 ÷ 8 = 6 35 ÷ 7 = 5 f. g. h. i. j. 6 R5 0 impossible 0 5 R3 k. l. m. n. o. p. q. r. s. t. k. l. m. n. 6 R1 9 R2 3 R3 7 R2 457 506 R2 513 R3 513 R6 264 R3 1 392 R4 596 R3 91 232 136 R5 5 R3 5 R7 3 R1 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 1 12 EXERCICE 22, PAGE 72 1. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. 38 11 R20 22 R1 4 R54 74 R39 173 R15 75 R28 72 R9 153 R6 196 R20 k. l. m. n. o. p. q. r. s. t. 82 308 R2 13 R52 32 39 R46 107 R8 30 R7 206 R2 206 R37 2 R297 EXERCICE 23, PAGE 75 1. a. b. c. d. e. f. g. h. 108 203 78 53 39 25 16 20 i. j. k. l. m. n. o. p. 12 3 0 10 22 51 30 100 q. r. s. t. u. v. EXERCICE 24, PAGE 78 1. 10 6. 140 2. 75 7. 12 3. 82 8. 1 165 4. 12 9. 21 5. 64 10. 56 4 75 10 20 100 0 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 1 13 EXERCICE 25, PAGE 82 1. 600 9. 39 2. 9 10. 93 3. 175 $ 11. 9 4. 848 12. 5 5. 18 13. 6 6. 14 $ 14. 40 7. 315 15. 840 8. 18 EXERCICE 26, PAGE 87 1. 0, 32, 6, 234, 108, 4 252 2. 3, 633, 65, 19, 27 3. 76, 726, 870, 132, 52, 422, 804, 990, 996, 46 372 4. 78, 102, 93, 1 221, 663, 711, 63, 501, 1 920, 1 881 5. 316, 220, 3 360, 5 828, 7 624, 4 432, 3 756 6. 640, 625, 10 000, 205, 8 030, 25, 75, 1 635, 6 560, 2 115 7. 1 650, 1 230, 14 060, 10 000 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 1 14 EXERCICE 27, PAGE 92 1. a. b. c. d. 1, 17 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 1, 3, 5, 15 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 2. a. b. c. d. 315 ÷ 3 = 105 512 ÷ 4 = 128 332 ÷ 2 = 166 935 ÷ 5 = 187 donc 3 est un facteur de 315. donc 4 est un facteur de 512. donc 2 est un facteur de 332. donc 5 est un facteur de 935. 3. a. 2 7 17 29 41 53 67 79 97 3 11 19 31 43 59 71 83 5 13 23 37 47 61 73 89 b. 4 12 21 28 36 45 52 60 68 76 84 91 98 6 14 22 30 38 46 54 62 69 77 85 92 99 8 15 24 32 39 48 55 63 70 78 86 93 100 9 16 25 33 40 49 56 64 72 80 87 94 e. f. g. h. 10 18 26 34 42 50 57 65 74 81 88 95 1, 5, 25 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 1, 5, 7, 35 20 27 35 44 51 58 66 75 82 90 96 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 1 15 4. a. b. c. d. e. 2x2x2x5 2x2x2x7 2x2x2x2 7x7 2 x 31 f. g. h. i. j. 3x3x3 3x3x5 2 x 2 x 17 2 x 23 2x3x3x3 5. +)))))))))0)))))))0)))))))))0))))))))))0)))))))))), * Nombre * Pair * Impair * Premier * Composé * /)))))))))3)))))))3)))))))))3))))))))))3))))))))))1 * 11 * * X * X * * /)))))))))3)))))))3)))))))))3))))))))))3))))))))))1 * 31 * * X * X * * /)))))))))3)))))))3)))))))))3))))))))))3))))))))))1 * 10 * X * * * X * /)))))))))3)))))))3)))))))))3))))))))))3))))))))))1 * 8 * X * * * X * /)))))))))3)))))))3)))))))))3))))))))))3))))))))))1 * 28 * X * * * X * /)))))))))3)))))))3)))))))))3))))))))))3))))))))))1 * 9 * * X * * X * /)))))))))3)))))))3)))))))))3))))))))))3))))))))))1 * 49 * * X * * X * /)))))))))3)))))))3)))))))))3))))))))))3))))))))))1 * 776 * X * * * X * /)))))))))3)))))))3)))))))))3))))))))))3))))))))))1 * 3 000 * X * * * X * /)))))))))3)))))))3)))))))))3))))))))))3))))))))))1 * 189 * * X * * X * /)))))))))3)))))))3)))))))))3))))))))))3))))))))))1 * 13 * * X * X * * /)))))))))3)))))))3)))))))))3))))))))))3))))))))))1 * 17 * * X * X * * /)))))))))3)))))))3)))))))))3))))))))))3))))))))))1 * 140 * X * * * X * /)))))))))3)))))))3)))))))))3))))))))))3))))))))))1 * 145 * * X * * X * .)))))))))2)))))))2)))))))))2))))))))))2))))))))))­ MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 1 16 EXERCICE 28, PAGE 95 1. a. b. c. d. e. f. g. h. 9 2 10 3 6 7 16 6 i. j. k. l. m. n. o. p. 9 18 21 3 12 15 8 4 k. l. m. n. o. p. q. r. s. t. 168 96 120 45 4 20 1 890 16 72 144 EXERCICE 29, PAGE 99 1. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. 60 90 60 70 90 168 120 40 36 480 2. a. b. 1) 6 2) 35 3) 10 Le PPCM des nombres premiers est égal au produit de ces nombres. 3. a. b. 0, 5, 10, 15, 20 0, 6, 12, 18, 24 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 1 17 c. d. 0, 7, 14, 21, 28 0, 11, 22, 33, 44 EXERCICE DE RENFORCEMENT, PAGE 100 1. 3, 6, 10, 11 2. a. .))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))), 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 b. .))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))), 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. a. {1, 3, 5, 7, 11, 12} b. {1, 2, 3, 4, 9, 10} 4. a. b. c. ó 0 d d. e. f. ç 0 ó 5. a. b. c. 236 871 25 607 d. e. f. 9 037 815 319 200 6. a. b. c. d. e. f. neuf cent trente et un quatre mille huit cent cinquante-quatre cinquante-trois mille six cent soixante-quatre quatre cent vingt-sept quatre-vingt-dix-neuf huit mille MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 1 18 7. a. b. c. d. e. 3 centaines de mille 9 dizaines de millions 4 unités de millions 6 unités de mille 5 centaines de millions 8. a. b. 48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 45 = 3 x 3 x 5 9. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 10. a. b. c. 5 et 8 40 40 peut être considéré comme le produit de 8 ou de 5 par 11. a. 800 b. 300 12. a. 5 000 b. 24 000 13. 49 380 14. a. b. c. composé premier premier d. e. f. composé composé premier 15. a. Oui, car (3 + 5 + 1) est divisible par 3. un nombre naturel. d. Premier, car il peut être exprimé comme le produit de deux facteurs différents, lui-même et 1. e. Composé, car il peut être exprimé comme le produit de plusieurs facteurs. f. 5 est impair, car il y a un reste lorsqu'on le divise par 2. g. 8 est pair, car il est divisible, sans reste, par 2. MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 1 19 b. c. d. e. f. Oui, car 64 est divisible par 4. Oui, car le nombre se termine par 0. Oui, car le nombre se termine par 2 (nombre pair). Oui, car le nombre se termine par 5. Non, car (3 + 5 + 0) n'est pas divisible par 3. 16. a. b. c. 5 3 12 d. e. f. 4 3 2 17. a. b. c. 50 60 56 d. e. f. 15 24 504 18. a. b. c. 47 10 42 950 19. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. 21 76 40 1 8 7 54 50 117 33 68 l. m. n. o. p. q. r. s. t. u. v. 32 148 37 203 22 130 48 960 10 70 8 20. a. 590 b. 5 900 c 59 21. a. 400 b. 4 000 c. 40 000 000 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 1 20 22. a. b. c. d. e. f. g. h. 86 8 895 66 2 232 2 682 317 4 611 7 928 i. j. k. l. m. n. o. p. 5 785 35 000 3 600 4 200 603 265 4 824 4 550 23. a. b. c. d. e. f. g. 28 87 R1 75 R2 1 246 R4 2 R7 33 R11 74 R39 24. 2 742 33. 319 42. 1 500 25. 127 34. 786 43. 27 26. 68 35. 42 767 44. 625 27. 7 36. 34 45. 85 kilomètres& heure 28. 120 37. 100 606 46. 78 29. 1 088 38. 30 47. 5 30. 2 128 39. 15 48. 28 h. i. j. k. l. m. t. x. q. 3 234 r. 52 461 s. 19 499 173 400 u. 69 360 v. 9 000 w. 320 896 72 R9 305 R3 61 R5 300 R5 5 R490 40 R273 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ CAHIER 1 21 31. 8 820 40. 100 32. 829 41. 960 49. a. b. 15 5 FORMATION INTERMÉDIAIRE MAT 2011 DEVOIR 1 ET CORRIGÉ MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 DEVOIR 1 1 1. (24 pts) 2. (26 pts) Effectuer les opérations indiquées. a. b. c. d. 3 651 + 7 + 92 + 458 e. 35 162 - 27 707 6 507 x 83 3 265 ÷ 59 623 ÷ 32 f. 24 x 32 g. 815 - 15 + 12 h. 963 - 354 a. Écrire en chiffres : six mille huit cent quatre. b. Écrire en mots : 1 024. c. (15 - 12 ÷ 4) + (15 + 4 ÷ 2 x 3) d. (23 + 3) + (14 ÷ 7 - 2) e. Dire si 599 est un nombre pair ou impair. Justifier votre réponse. f. Trouver les facteurs premiers de 36. g. Trouver le PPCM de 14, 21 et 3. h. Trouver le PGFC de 35 et 45. i. Arrondir 85 405 à la centaine près. j. Dire si 420 est divisible par 3. Justifier votre réponse. k. Dire si 346 est divisible par 4. Justifier votre réponse. DI-AM-91-06-03 BA-PG\98-04 MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 DEVOIR 1 2 3. (8 pts) a. l. 7 000 x 40 m. Dans 2 951 que représente le chiffre 9? Représenter graphiquement sur la demi-droite numérique les ensembles suivants. l'ensemble des nombres pairs qui sont supérieurs à 5 mais inférieurs à 16. b. 4. {2, 3, 4, 5, 10} Étant donné les ensembles suivants: X = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}; Y = {4, 6, 10, 14}; Z = {2, 6, 10, 11, 15}; (12 pts) placer le bon symbole, soit 0, ó, d, ç. a. Y X d. b. X Z e. c. 10 X f. 5. (30 pts) 11 Z 8 Y Y Z a. Un ouvrier prend 10 minutes pour fabriquer 2 pièces. Combien de minutes prendra-t-il pour fabriquer 48 pièces? b. En mathématiques, Sylvie obtient les résultats suivants : 74, 82, 68, 87, 79. Calculer sa moyenne. c. Vous avez lu 234 pages d'un livre de 840 pages. Combien de pages vous reste-il à lire? d. Si un livre a 14 millimètres d'épaisseur, quelle est l'épaisseur de 36 livres? MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 NOMBRES NATURELS CAHIER 1 DEVOIR 1 3 e. Vous achetez 125 centimètres d'une sorte de tissu et 65 centimètres d'une autre sorte. Quelle est la longueur totale achetée? f. Pendant un voyage, Michel a parcouru 375 kilomètres, 659 kilomètres et 583. S'il doit parcourir 2 500 kilomètres, combien lui reste-t-il à faire? g. Nicolas est allé magasiner, il a dépensé 375 $. Il a acheté trois choses de valeur équivalente. Quel est le prix de chaque objet? h. Un mécanicien prend 30 minutes pour faire un certain travail. Combien de temps aura-t-il besoin pour en exécuter 15? i. Il y a 105 biscuits dans un contenant. Si on les sépare également dans 5 boîtes, combien y en aura-t-il par boîte? j. La compagnie LeBlanc prend 5 mois pour construire 3 maisons. Combien de temps sera nécessaire pour en construire 21? MAT 2011 MATHÉMATIQUES 4 CORRIGÉ DEVOIR 1 1 1. a. b. c. d. 4 208 7 455 540 081 55 R20 2. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j. k. l. m. 6 804 un mille vingt-quatre 33 11 impair, car il n'est pas divisible par 2 2x2x3x3 42 5 85 400 oui, car (4 + 2 + 0) = 6 (nombre divisible par 3) non, car 46 n'est pas divisible par 4 280 000 les centaines 3. a. .))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))))> 0 e. f. g. h. 6 8 19 R15 768 812 609 10 12 14 b. .))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))2))))> 0 2 4. a. b. c. d ç 0 d. e. f. ó ç ó 5. a. b. c. d. e. 240 78 606 504 190 f. g. h. i. j. 883 125 450 21 35 3 4 5 10