Réels - Alain Troesch

Lycée Louis-Le-Grand, Paris
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
Pour le 15/10/2015
DM no 4 : Réels
∗ 2
Exercice 1 – Soit, pour tout couple (q, n) ∈ (N ) , uq,n =
n−1
X
k=0
n−1 1 X q+n−1
1 q+k−1
et vq,n = n−1
.
2k
2
k
k
k=0
1. Vérifier que lorsque q = 1 ou n = 1, on a uq,n = vq,n .
2. Trouver une relation simple entre uq,n , uq−1,n et uq,n−1 .
3. Trouver une relation analogue pour la suite (vq,n ).
4. Montrer que pour tout (q, n) ∈ (N∗ )2 , uq,n = vq,n .
Exercice 2 – Soit c la constante de Liouville, définie par :
c=
+∞
X
10−k! = lim
n→+∞
k=0
n
X
10−k! .
k=0
Le but est de démontrer que c est un nombre transcendant, c’est-à-dire qu’il n’est racine d’aucun polynôme à coefficients
entiers ou rationnels. On établit en fait cette propriété pour une famille plus large de réels, appelés nombres de Liouville.
Nous démontrons d’abord dans la question 1 que c est bien défini, puis dans la question 2 que c est irrationnel.
1. Convergence de la série définissant c
En étudiant la convergence de la série, montrer l’existence de la constante de Liouville c =
+∞
X
10−k! .
k=0
2. Irrationnalité de c
(a) Montrer que pour tout n ∈ N,
+∞
X
10−k! 6
k=n+1
1
.
9 · 10(n+1)!−1
(b) Supposons qu’il existe deux entiers p et q tels que c =
encadrant p10n! , trouver une contradiction. Conclure.
p
q.
En remarquant que 10n! Sn est entier, et en
3. Inégalité des accroissements finis
Soit (a, b) ∈ R2 tel que a < b. À l’aide d’une intégration, montrer que si f est une fonction dérivable sur un
intervalle [a, b], de dérivée continue sur [a, b] et telle que |f ′ | est majorée par M , alors |f (b) − f (a)| 6 M |b − a|.
Justifiez que cette expression est encore valable si b 6 a, l’inervalle considéré étant alors [b, a].
4. Théorème de Liouville (approximation diophantienne)
Le but de cette question est de démontrer le théorème de Liouville, s’énonçant ainsi :
Théorème de Liouville. Soit α un nombre algébrique non rationnel. Alors
un réel A > 0 et un entier
il existe
p
A
p
d > 2, tels que pour tout nombre rationnel , ((p, q) ∈ Z × N∗ ), on ait : α − > d .
q
q
q
Ce théorème affirme que les nombres algébriques non rationnels sont « assez mal » approchés par des rationnels.
Soit α un nombre algébrique, c’est-à-dire tel qu’il existe un polynôme P non nul à coefficients entiers vérifiant
P (α) = 0. On suppose de plus que α n’est pas rationnel.
On admettra dans cette question qu’une fonction continue sur un intervalle fermé borné est bornée.
(a) Montrer qu’il existe un polynôme P non nul à coefficients entiers tel que P (α) = 0, de degré minimal dans
l’ensemble de tous les polynômes non nuls vérifiant cette propriété. On se donne désormais un tel polynôme
P et on note d son degré.
1
(b) Justifier que d > 2.
(c) Montrer que P ne peut pas avoir de racine rationnelle.
p (d) En déduire que pour tout (p, q) ∈ Z × N∗ , q d P
> 1.
q (e) À l’aide de l’inégalité des accroissements finis,
l’existence d’un réel M > 0 tel que pour tout
en déduire
p
p
∗
nombre rationnel ((p, q) ∈ Z × N ) tel que α − 6 1, on ait :
q
q
α − p > 1 .
q M qd
1
(f) En posant A = min 1,
, montrer le théorème de Liouville.
M
5. Transcendance de c
On appelle nombre de Liouville un réel irrationnel x tel que :
pn 1
∀n ∈ N , ∃(pn , qn ) ∈ Z × (N \ {0, 1}) , x −
6
.
qn (qn )n
∗
(a) À l’aide du théorème de Liouville, montrer qu’un nombre de Liouville n’est pas algébrique (on dit qu’il est
transcendant).
(b) En déduire que c est transcendant.
Exercice 3 – (Premier pas vers la transcendance de e)
Nous montrons dans cet exercice que e est irrationnel, puis nous montrons qu’il ne peut pas être racine d’un polynôme
du second degré à coefficients rationnels. On admettra dans l’ensemble de cette exercice que pour tout x ∈ R,
ex =
+∞ n
X
x
,
n!
n=0
cette série étant convergente pour toute valeur de x dans R.
1. Irrationnalité de e.
(a) Montrer que pour tout q ∈ N∗ ,
+∞
X
n=q+1
1
e
6
.
n!
(q + 1)!
p
(b) Supposons que e = , où p et q sont entiers. Quitte à prendre une fraction non irréductible, on peut supposer
q
que q + 1 > e. Montrer que :
q
q
X
p X 1
1
1
< <
+ .
n!
q
n!
q!
n=0
n=0
(c) En multipliant par q!, trouver une contradiction et conclure.
2. Indépendance sur Q de 1, e et e2
Le but de cette question est de montrer qu’il n’existe pas de rationnels p, q et r non tous nuls tels que p+qe+re2 =
0. Pour cela, on raisonne par l’absurde, en supposant leur existence.
(a) Montrer qu’il existe alors des entiers a, b et c non tous nuls tels que c = ae + be−1 , et que nécessairement,
a et b sont non nuls.
(b) Montrer que pour tout n ∈ N, il existe un réel dn tel que :
c=a
n
n
X
X
1
(−1)k
+b
+ dn ,
k!
k!
k=0
k=0
où
|dn | 6
2
(|a| + |b|)e
.
(n + 1)!
(c) Montrer que n!dn → 0, et en déduire que pour tout n assez grand,
c=a
n
n
X
X
1
(−1)k
+b
k!
k!
k=0
k=0
(d) En déduire que pour tout n assez grand,
a·
1
(−1)n+1
=b·
.
n!
n!
(e) Conclure.
Exercice 4 –
1. Soit n ∈ N∗ . Montrer qu’il existe un unique réel A(n) de [0, 1] tel que cos(πA(n)) =
√1 .
n
Le but de l’exercice est de montrer que le réel A(n), qu’on peut aussi écrire :
1
1
,
A(n) = Arccos √
π
n
est irrationnel lorsque n est un entier impair supérieur ou égal à 3. On se fixe un entier n impair supérieur ou égal à
3, et on note, ϕn = πA(n).
2. (a) Montrer que pour tout k ∈ N∗ , et tout ϕ ∈ R,
cos((k + 1)ϕ) = 2 cos(ϕ) cos(kϕ) − cos((k − 1)ϕ).
(b) En déduire l’existence d’une suite (Ak )k∈N d’entiers tels que
Ak
∀k ∈ N, cos(kϕn ) = √ k ,
( n)
et vérifier que (Ak ) satisfait à la relation :
∀k ∈ N∗ , Ak+1 = 2Ak − nAk−1 .
(c) Montrer que n ne divise aucun des entiers Ak , k ∈ N.
Aℓ
3. Montrer que si A(n) est rationnel, il existe un entier pair ℓ tel que √ ℓ = 1. En déduire que n divise Aℓ et
( n)
conclure.
3