Devoir facultatif Term S Exponentielle

Devoir facultatif Terminale S Exponentielle
Partie A
« Rappel » : L’ensemble des nombres rationnels , noté Q (comme quotient), est
l’ensemble de tous les nombres pouvant s’écrire sous la forme a/b où a et b sont des entiers relatifs.
Les Grecs anciens étaient persuadés que tous les nombres sont rationnels…jusqu’à Pythagore, en
effet 2  Q alors que 2 existe puisque c’est la diagonale d’un carré de côté 1. On va le prouver. On
rappelle une propriété vue ou entrevue au collège : tout nombre entier s’écrit de façon unique sous forme de
produit de nombres premiers.
1 ) Montrer que si n est un entier alors : n pair  n 2 pair .
2 ) Prouver que 2  Q par l’absurde. Méthode : supposer donc que 2 peut s’écrire sous la forme a / b où
a et b sont des entiers sans facteur commun (c'est-à-dire qu’on suppose que a / b est la forme irréductible de
2 ) et en déduire une contradiction.
la fraction
Partie B
On peut sauter les questions 1 à 4 si on fait ensuite correctement la partie C.

x
1 ) On considère f définie sur I = [0 ; 1] par f x   e 1 

x x2
xn 
 ...   .
1! 2!
n! 
Montrer que pour tout x de i, 0  f ' x  1. En déduire que f 0  f 1 .
2 ) En utilisant g définie par g  x   f  x  
x
1
, montrer que f 1  f 0   .
n!
n!
1 1
1
3
 1
3 ) On pose un  1   ...  . Montrer que e1    un  e puis que 0  e  un  .
1! 2!
n!
n!
 n! 
1
4 ) On pose vn  un 
pour tout entier n . Montrer que les suites un  et vn  convergent vers e , mais
n.n!
avec des sens de variations opposés. En déduire que pour tout n , un  e  vn .
5 ) On va montrer par l’absurde que e  Q. On suppose donc que e peut s’écrire sous la forme p / q où p et
q sont des entiers. Montrer qu’on a alors N  pq ! qq !uq est un entier…compris dans 0 ; 1 .
Partie C
On va montrer que la convergence de un  vers e est un cas particulier d’un résultat plus général : pour tout
x x2
xn
x de [0 ; 1], si on pose wn  1   ...  , alors la suite wn  converge vers e x . Soit n  IN n  0 .
1! 2!
n!
2
n
x x
x
x
1 ) On pose g ( x)  1   ... 
pour 0  x . Prouver que g ( x)  e .
1! 2!
n!
n
x
x
2 ) On pose h( x)  zn  g ( x) 
pour 0  x  1. Prouver que e  hx  .
n.n!
3 ) Soit x un réel fixé de [0 ; 1]. Montrer que la suite wn  est convergente vers un réel qu’on note L.
4 ) On s’autorise la notation (naturelle) : si la suite an  définie par an 
alors l 

n
b
k 0
k
converge vers un réel l ,
 bk . Montrer qu’on a prouvé dans ce qui précède que pour tout x de [0 ; 1],
k 0
C’est vrai en fait pour tout réel
 xk  x
   e .

k 0  k! 

x mais pas prouvé ici (si x  0 , la suite wn  n’est plus croissante…, si x  1, 2) est fausse…etc)
Partie D Quelques repères historiques. Aucune question n’est posée ! Au dix huitième siècle, on a distingué, parmi
les nombres irrationnels, ceux qui sont algébriques = solution d’une équation à coefficients dans Q et ceux qui ne le sont
pas (on les a qualifiés de transcendants). Bien sûr, 2 est algébrique puisqu’il est solution de l’équation 1.x  2  0.
Dates de quelques preuves : e est irrationnel (Euler, 1737),  est irrationnel (Legendre, 1795), e est transcendant
(Hermite, 1873),  est transcendant (Lindemann, 1882). Plus proche de nous : en posant pour s entier, s  2 ,
2

1
 ( s)    s  , lire « zéta »,  (3) est irrationnel (Apéry, 1979) et même il existe une infinité d’entiers s impairs tels
n 0  n 
 (s)
 ( 2) , dont la valeur surprenante (  2 / 6 ) avait été
obtenue par Euler dès 1745, est transcendant ; mais personne ne sait si  (3) est transcendant.
que
est irrationnel (Rivoal, 2000). En 2014, on sait que