Avec ou sans remise ? d`après Math`x, TS, Didier, 2006 OBJECTIF

Avec ou sans remise ?
d'après Math'x, TS, Didier, 2006
OBJECTIF : Comprendre que les tirages sans remise ne sont pas les plus simples.
Partie A. Une urne U contient deux boules rouges et trois boules noires
1) On tire au hasard trois boules simultanément
Soit X la variable aléatoire indiquant le nombre de boules rouges obtenues.
a) Montrer que cette expérience peut être modélisée par la loi équirépartie.
b) Déterminer la loi de probabilité de X.
2) On tire au hasard trois boules successivement et avec remise
Soit Y la variable aléatoire indiquant le nombre de boules rouges obtenues.
a) Justifier que cette expérience est un schéma de Bernoulli.
b) Quelle est la loi de probabilité de Y ?
3) Comparaison des caractéristiques de X et de Y
a) Déterminer l'espérance, la variance et l'écart type de chaque variable.
b) Comparer et interpréter les résultats obtenus.
Partie B. Une urne V contient 2n boules rouges et 3n boules noires (n ≥ 2)
1) On tire au hasard trois boules simultanément
Soit Xn, la variable aléatoire indiquant le nombre de boules rouges obtenues.
18n(2n - 1)
a) Montrer que l'on a P(Xn = 2) =
5(5n - 1)(5n - 2)
b) Calculer de même les autres probabilités intervenant dans la loi de Xn.
2) On tire au hasard trois boules successivement et avec remise
Soit Yn la variable aléatoire indiquant le nombre de boules rouges obtenues.
Justifier que Yn suit la même loi que la variable Y définie dans la question 2 de la partie A.
3) Comparaison des deux modèles
a) Recopier et compléter le tableau suivant à l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur.
k
P(X = k)
P(X10 = k)
P(X100 = k)
P(X200 = k)
P(X300 = k)
P(Y = k)
0
1
2
3
b) Comparer, pour chaque valeur de k, lim P(Xn = k) et P(Y = k).
n → +∞
c) Quel intérêt y a-t-il à adopter le modèle avec remise lorsque n est grand ?