Chapitre 1 : Arithmétique

Chapitre 1 : Arithmétique
I.
Diviseurs d’un entier positif
1. Définition
Soient m et d deux entiers naturels.
Un nombre d est un diviseur d’un nombre m s’il divise ce nombre, c’est-àdire si le reste de la division euclidienne de m par d est nul (« la division
tombe juste »).
Vocabulaire : si d est un diviseur de m, alors m est un multiple de d.
2. Exemple
98 = 7 × 14 .
Donc 7 est un diviseur de 98, 14 est aussi un diviseur de 98, et 98 est un
multiple de 7 et 14.
II.
Diviseurs communs
1. Exemple
Les diviseurs de 60 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60.
Les diviseurs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48.
Donc les nombres qui divisent 60 et 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12.
Ce sont les diviseurs communs de 60 et 48.
2. Le plus grand diviseur commun (PGCD)
a) Définition
Le PGCD de deux nombres est le plus grand diviseur commun à ces deux
nombres.
b) Exemple
Le PGCD de 60 et 48 est 12. On écrit alors : PGCD (60 ; 48) = 12
3. Recherche du PGCD
a) 𝟏è𝒓𝒆 méthode
En écrivant la liste des diviseurs (voir l’exemple précédent) .
b) 𝟐è𝒎𝒆 méthode
En faisant des soustractions.




On fait la différence du plus grand nombre par le plus petit.
On recommence avec les deux plus petits nombres.
On s’arrête lorsque le résultat est nul.
Le PGCD est le dernier résultat non nul.
Exemple : trouver le PGCD de 60 et 48 en faisant des soustractions.
60 − 48 = 12
48 − 12 = 36
24 − 12 = 𝟏𝟐
12 − 12 = 0
36 − 12 = 24
Donc PGCD(60 ;48)=12.
c) 𝟑è𝒎𝒆 méthode
En utilisant l’algorithme d’Euclide :




On fait la division euclidienne du plus grand nombre par le plus petit.
On recommence avec le diviseur et le reste de la division précédente.
On s’arrête lorsque le reste est nul.
Le PGCD est le dernier reste non nul.
Rappel : division euclidienne
La division euclidienne de 85 par 3 est :
Ce que l’on écrit aussi : 85 = 3 × 28 + 1
Exemple : trouver le PGCD de 544 et 731 en utilisant l’algorithme
d’Euclide.
4. Nombres premiers entre eux
a) Définition
Deux entiers sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
b) Exemples
PGCD (60 ; 48) = 12 donc 60 et 48 ne sont pas premiers entre eux.
PGCD (123 ; 370) = 1 donc 123 et 370 sont premiers entre eux.
III.
Applications
1. Problème de partage
Enoncé (extrait du brevet): un commerçant reçoit 90 roses rouges et 135
roses blanches. Il veut réaliser des bouquets avec les contraintes
suivantes :
 tous les bouquets sont identiques,
 toutes les roses (rouges et blanches) sont utilisées.
Quel sera le nombre maximum de bouquets et la composition de ces
bouquets ?
Résolution :
Le nombre de bouquets doit être un diviseur de 90 et 135 car les bouquets
doivent être identiques et qu’il ne doit pas lui rester de roses. Pour obtenir
le nombre maximum de bouquets, il doit diviser 90 et 135 par le plus
grand nombre possible. Il doit donc chercher le PGCD de 90 et de 135.
On utilise l'algorithme d'Euclide :
Donc PGCD (90 ; 135) = 45.
90 45
0 2
135 90
45 1
Donc il pourra réaliser au maximum
45 bouquets.
Comme 90 ÷ 45 = 2 et 135 ÷ 45 = 3, chaque bouquet comprendra 2
roses rouges et 3 roses blanches.
2. Rendre une fraction irréductible
Une fraction est irréductible lorsqu’elle est simplifiée le plus possible.
Exemple : rendre la fraction
544
731
irréductible.
 On cherche le PGCD de 544 et 731 : on trouve PGCD (544 ; 731)=17.
 On simplifie
544
731
=
544
731
544÷17
731÷17
par 17 :
=
32
43
. La fraction obtenue est irréductible.
Remarque : une fraction est déjà irréductible si son numérateur et son
dénominateur sont premiers entre eux.
IV. Ensembles de nombres
L’ensemble de tous les nombres se nomme l’ensemble des réels. On
range ces nombres dans différents sous-ensembles.
1. Entiers naturels
C’est l’ensemble de tous les entiers positifs ou nul.
Exemples : 0 ; 1 ; 1784
2. Entiers relatifs
C’est de tous les entiers (positifs et négatifs).
Exemples : 0 ; 2027 ; −3
3. Décimaux
C’est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de
décimales.
Exemples : 2 ; −0,123 ; 9,12
4. Rationnels
C’est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’une
fraction.
Exemples : 3(=
3
25
1
10
) ; −2,5(=
);
1
3
5. Irrationnels
C’est l’ensemble des nombres qui ne sont pas rationnels : on ne peut pas
les écrire sous forme de fractions.
Exemples : √2 ; 𝜋