2014 - Institut de Mathématiques de Bordeaux

ANNEE UNIVERSITAIRE 2013 / 2014
EXAMEN DE PRINTEMPS
Obj101
DEVUIP
Service
Scolarité
PARCOURS : L3 Mathématiques
Code UE : N1MA6M12
Epreuve : Calcul Symbolique et Scientifique Avancés
Date : 06/05/2014
Heure : 8h30
Durée : 1h30
Documents : non autorisés
Epreuve de M. Gourmelon
Les exercices sont plus ou moins classés par difficulté croissante. Dans les exercices 3 et 4, bien
que ce ne soit pas algorithmiquement optimal, les graphes seront toujours présentés sous la forme
de matrices d’adjacence.
Les algorithmes seront présentés sous forme de pseudo-code.
Exercice 1 : Questions de cours : nombres parfaits
On rappelle qu’un nombre N est parfait lorsque la somme σ(N ) de ses diviseurs est 2N .
1.
Soit p > 1 un entier. Montrer que si Mp = 2p − 1 est premier alors p l’est aussi.
Montrer qu’un nombre parfait pair N est de la forme 2p Mp où Mp = 2p − 1 et Mp
premier.
2.
Donner le pseudo-code d’un test de primalité pour les nombres de la forme 2p − 1
(Fermat, Rabin-Miller ou Lucas-Lehmer, au choix).
3.
4.
Ecrire un algorithme qui à un entier n > 0 renvoie la liste des nombres parfaits 6 n.
Exercice 2 : Nombres d’Ore
La moyenne harmonique de réels x1 , ..., xk > 0 est le réel H > 0 tel que 1/H soit la
moyenne arithmétique des 1/xi :
1
1 1
1
=
+ ... +
.
H
n x1
xk
Soit m la fonction qui à N ∈ N \ {0} associe la moyenne arithmétique des diviseurs de N .
Soit h la fonction qui à N ∈ N \ {0} associe la moyenne harmonique des diviseurs de N .
1.
Montrer que pour tout N ∈ N \ {0}, on a h(N )m(N ) = N .
Un nombre N est dit d’Ore si h(N ) est entier 1 .
2.
Soit ν(N ) le nombre de diviseurs de N ∈ N (1 et N inclus).
(a) Montrer que ν(N ) est pair si et seulement si il n’existe pas k ∈ N tel que N = k 2 .
(b) Si N est un nombre parfait pair, que peut-on donc dire de ν(N ) ?
(c) En déduire que tout nombre parfait pair est d’Ore. 2
Ecrire en pseudo-code un algorithme qui à N renvoie ’vrai’ si N est un nombre d’Ore,
et ’faux’ sinon. Ecrire un algorithme qui à n associe la liste des n premiers nombres d’Ore.
3.
Exercice 3 : Opération Graphes non orientés simples
Un graphe non-orienté simple (V, E) est la donnée d’un ensemble de sommets (on suppose
V ⊂ N pour simplifier les notation), et d’un ensemble d’arêtes E. On note l’arête joignant
deux sommets i, j par {i, j}.
1. Notion due à Øystein Ore (1948).
2. Il se trouve en fait que tout nombre parfait, pair ou impair, est d’Ore.
11/2
La matrice d’incidence d’un tel graphe est A = (aij ) où aij = 1 s’il existe une arête allant
de i à j, aij = 0 sinon.
Etant donné deux ensembles disjoints V et V 0 , La réunion disjointe de deux graphes
G = (V, E) et G0 = (V 0 , E 0 ) est le graphe G00 = (V ∪ V 0 , E ∪ E 0 ). Exprimer la matrice
d’adjacence de G00 en fonction de celles de G et G0 .
1.
Etant donné un graphe G = (V, E), l’identification de deux sommets i, j ∈ V est la
donnée du graphe G0 = (V 0 , E 0 ) obtenu à partir de G en remplaçant les deux sommet i, j
par un seul sommet i0 , de sorte que :
2.
{i0 , k} ∈ E 0 ⇔ {i, k} ∈ E ou {j, k} ∈ E.
Ecrire un algorithme identification qui à une matrice d’adjacence A et à un couple de
sommets i, j associe la matrice d’adjacence après identification des sommets i et j.
Exercice 4 : Topologie des graphes non orientés simples
Pour tout u, v ∈ V , on écrit u ∼ v si et seulement si il existe un chemin allant de u à
v dans G. Ceci définit une relation d’équivalence sur V . Chaque classe d’équivalence est
une composante connexe de G.
Etant donné un graphe G = (V, E) une contraction dans G est une identification de deux
sommets qui sont joints dans G par une arête.
1.
Montrer que le nombre de composantes connexes ne change pas par une contraction.
En déduire un algorithme calculant le nombre de composantes connexes d’un graphe
donné par sa matrice d’adjacence.
2.
2