02-Triangle_rectangle-Pythagore_trigonometrie

Chap 02 - Triangles Rectangles
(Théorèmes de Pythagore et Trigonométrie)
I) −
Théorème
de
−−−−−−−−−−
−−Pythagore
−−−−−−−−−−(rappel)
−−−−−−−
1) −
Théorème
−−−−−−−−
a- −
Énoncé
−−−−−−
2
2
2
Théorème
−
−−−−−−−−−: Soit ABC un triangle. Si ABC est rectangle en A alors AB + AC = BC .
b- −
Calculer
de
l’hypoténuse
d’un
−−−−−−−−la
−−longueur
−−−−−−−−−
−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−triangle
−−−−−−−−rectangle
−−−−−−−−
Énoncé
−−−−−−−
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB=4cm et AC=3cm.
Calculer la longueur BC.
?
3cm
Le triangle ABC est rectangle en A
D’après le théorème de Pythagore :
AB 2 + AC 2 = BC 2
42 + 32 = BC 2
16 + 9 = BC 2
25 = BC 2
p
25 = BC
BC = 5
C
A
c- −
Calculer
la−−
longueur
d’un
triangle
rectangle
−−−−−−−−
−−−−−−−−−
−−−−petit
−−−−−coté
−−−−d’un
−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−
Énoncé
−−−−−−−
Soit ABC un triangle rectangle en A tel que BC=10cm et AC=6cm.
Calculer la longueur BC.
A
10cm
?
Exercices
−
−−−−−−−−: n°1, 2 et 3 sur la feuille d’exercice
Réciproque
du
2) −
−−−−−−−−−−−
−−théorème
−−−−−−−−
a- −
Énoncé
−−−−−−
2
2
2
Théorème
−
−−−−−−−−−: (Réciproque) Soit ABC un triangle. Si AB + AC = BC alors ABC est rectangle en A.
b- −
Montrer
qu’un
triangle
−−−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−−est
−−−rectangle
−−−−−−−−
Énoncé
−−−−−−−
Soit ABC un triangle tel que AB=1,5cm, AC=2cm et BC=2,5cm.
1
B
C
6cm
Le triangle ABC est rectangle en A
D’après le théorème de Pythagore :
AB 2 + AC 2 = BC 2
AB 2 + 62 = 102
AB 2 + 36 = 100
AB 2 = 100 − 36
AB 2 =p64
AB = 64
AB = 8
4cm
B
Le triangle ABC est-il rectangle ? Si oui, en quel point ?.
On remarque que BC est le plus grand coté. Si ABC est rectangle, ce sera forcément en A.
Calculons séparément :
AB 2 + AC 2 = 1, 52 + 22
= 2, 25 + 4
6,−−
25
−=−−
−
BC 2 = 2, 52
=
−−6,
−−25
−
On remarque que AB 2 + AC 2 = BC 2 .
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
c- −
Montrer
qu’un
rectangle
−−−−−−−−
−−−−−triangle
−−−−−−−−n’est
−−−−−
−−−−−−−−
Énoncé
−−−−−−−
Soit ABC un triangle tel que AB=1,5cm, AC=2cm et BC=3cm.
Le triangle ABC est-il rectangle ? Si oui, en quel point ?.
On remarque que BC est le plus grand coté. Si ABC est rectangle, ce sera forcément en A.
Calculons séparément :
BC 2 = 32
=
−−9−
AB 2 + AC 2 = 1, 52 + 22
= 2, 25 + 4
6,−−
25
−=−−
−
On remarque que AB 2 + AC 2 6= BC 2 .
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC n’est pas rectangle en A.
Exercices
−
−−−−−−−−: n°4, 5 et 6 sur la feuille d’exercice
II) −
Trigonométrie
−−−−−−−−−−−−
1) −
Comparaison
le−−
théorème
de
Pythagore
−−−−−−−−−−−−avec
−−−−−
−−−−−−−−−
−−−
−−−−−−−−
C
Le théorème de Pythagore permet, dans un triangle rectangle, de calculer la longueur d’un coté si on connaît la
longueur des deux autres cotés.
Exemple : figure à droite
n
co
A
La trigonométrie permet de faire la même chose (calculer,
dans un triangle rectangle) la longueur d’un coté mais en
connaissant cette fois-ci la longueur d’UN autre coté du
triangle + la mesure d’un angle.
Exemple : figure à droite
2
nu
?
connu
B
C
n
co
nu
?
connu
A
B
C
n
co
nu
connu
Comme le théorème de Pythagore, la trigonométrie permet de faire une seconde chose. Pythagore permettait de
vérifier si un triangle était ou non rectangle connaissant
la longueur des 3 cotés du triangle. La trigonométrie permet elle de calculer la mesure d’un angle connaissant la
longueur de deux des cotés du triangle (si celui-ci est rectangle).
Exemple : figure à droite
?
A
B
2) −
Vocabulaire
−−−−−−−−−−
L’hypoténuse
L’hypoténuse est le plus
grand coté. C’est aussi le
coté opposé à l’angle droit.
tén
C
C
α
A
Le coté opposé
Le coté opposé à l’angle α
est, dans les cotés restant,
celui ne bordant pas l’angle
α.
C
opposé
po
hy
e
us
Le coté adjacent
Le coté adjacent à l’angle α
est, dans les deux cotés
restant, celui bordant l’angle
α.
B
A
α
adjacent
α
B
A
B
Exercices
−
−−−−−−−−: n°7 sur la feuille d’exercice
Lignes
3) −
−−−−−−trigonométriques
−−−−−−−−−−−−−−−−-−formules
−−−−−−−−
A
α
adjacent
cos α =
u
tén
o
p
hy
B
....................................
....................................
A
se
α
adjacent
sin α =
C
u
tén
o
p
hy
opposé
C
opposé
u
tén
o
p
hy
se
Tangente
B
....................................
....................................
A
se
α
adjacent
tan α =
C
opposé
Sinus
Cosinus
B
....................................
....................................
Exercices
−
−−−−−−−−: n°8 sur la feuille d’exercice
Calculer
une
longueur
une
4) −
−−−−−−−−
−−−−
−−−−−−−−avec
−−−−−
−−−ligne
−−−−−trigonométrique
−−−−−−−−−−−−−−
Soit le triangle ABC rectangle en B tel que BC = 4cm et B
AC = 30°. Déterminer la longueur de [AC].
La première chose à faire est une figure pour repérer les données de l’énoncé, repérer si les longueurs en jeu
sont celles de l’hypoténuse, du coté opposé ou du coté adjacent pour choisir la bonne ligne trigonométrique.
3
?
4cm
C
30°
A
B
Une fois cela fait, on repère donc si les cotés en jeu sont celles de l’hypoténuse, du coté adjacent à l’angle ou le coté opposé à l’angle.
[AC] est opposé à l’angle droit, c’est donc −
l’hypoténuse.
−−−−−−−−−−
[BC] est opposé à l’angle donné, c’est donc−le
−−coté
−−−−opposé.
−−−−−−
On va donc utiliser le sinus :
sin B
AC = BC
AC
On remplace les expressions littérales par leurs valeurs numériques.
4
sin 30 = AC
On rajoute un 1 sous le sinus pour pouvoir utiliser sans peine le produit en croix.
sin30
4
= AC
1
En utilisant le produit en croix, on "isole" l’inconnue AC.
4×1
AC = sin
30
On utilise la calculatrice pour trouver la valeur de AC.
AC = 8cm
Exercices
−
−−−−−−−−: n°9 et 13 sur la feuille d’exercice
5) −
Déterminer
la−−
mesure
d’un
−−−−−−−−−−−
−−−−−−−
−−−−angle
−−−−
Soit le triangle ABC rectangle en B tel que AB = 3cm et AC=6cm. Déterminer la mesure de B
AC .
La première chose à faire est une figure pour repérer les données de l’énoncé, repérer si les longueurs en jeu
sont celles de l’hypoténuse, du coté opposé ou du coté adjacent pour choisir la bonne ligne trigonométrique.
C
6cm
?
A
3cm
B
Une fois cela fait, on repère donc si les cotés en jeu sont celles de l’hypoténuse, du coté adjacent à l’angle ou le coté opposé à l’angle.
[AC] est opposé à l’angle droit, c’est donc −
l’hypoténuse.
−−−−−−−−−−
[AB] est à coté de l’angle donné, c’est donc−
le−−
coté
−−−−adjacent.
−−−−−−−
On va donc utiliser le cosinus :
cos B
AC = AB
AC
On remplace les expressions littérales par leurs valeurs numériques.
cos B
AC = 36 = 21
On isole l’inconnue, l’angle B
AC .
BAttention, il n’y a pas de multiplication entre le cos et B
AC . Pour isoler B
AC , il faut utiliser la "fonction
réciproque" du cosinus qui est la fonction "arc cosinus" et qui se note arccos ou cos−1 suivant les calculatrices.
On procède ainsi
¡ ¢pour l’utiliser :−1 ¡ 1 ¢
B
AC = arccos 12 ou B
AC = cos
2 (suivant les modèles de calculatrice)
On utilise la calculatrice pour trouver la valeur de AC.
B
AC = 60°
Pour utiliser la fonction arccos sur les calculatrices collèges il faut procéder comme ceci :
Casio f x92 C ol l èg e 2D+
TI Collège Plus
On appuie sur la touche seconde
située en haut à gauche puis sur la
touche cos .
On appuie sur la touche jaune 2nde
située en haut à gauche puis sur la
touche cos .
Exercices
−
−−−−−−−−: n°10, 11 et 12 sur la feuille d’exercice
4