π π7

Chap n°10 : Arithmétique
I ] Le point sur les nombres
Les nombres entiers relatifs : ………. ; - 3 ; - 2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ………
Les nombres entiers positifs sont aussi appelés les nombres entiers naturels.
Les nombres décimaux : nombres qui peuvent s’écrire sous forme de fractions décimales
( le dénominateur est 1, ou 10,100,1000, …)
Un nombre décimal peut s’écrire avec un nombre fini de chiffre après la virgule.
Les nombres rationnels : nombres qui peuvent s’écrire sous forme de fractions.
Les nombres irrationnels : ce sont les nombres qui ne sont pas rationnels.
exemples :
-3,8
0
-4
7
25
18
6
entiers
1
3
7
2
2
π
19
7
5, 231
3
10
− 3
2
−
3
- 43,021
décimaux
7π
irrationnels
rationnels
Irrationalité de 2
Pour démontrer que 2 est irrationnel, on utilise un raisonnement par l’absurde, c’est-à-dire que l’on
commence par supposer que 2 est un nombre rationnel, puis on démontre que cette supposition conduit à une
contradiction, donc que cette supposition est fausse.
Supposons que
2 est un nombre rationnel.
Il existerait alors une fraction irréductible tel que
2=
a
avec a et b entiers.
b
( )
2
2
a
a²
a
2 = donc, en élevant au carré les deux membres, 2 =   c’est-à-dire 2 =
d’où a² = 2b²
b
b²
b
Le nombre a² serait pair.
L’entier a serait également pair puisque seul un entier pair peut avoir un carré pair.
On pourrait écrire a = 2a’ avec a’ entier.
En reportant dans l’égalité a² = 2b², on obtiendrait : (2a’)²=2b² soit 4a’²=2b²
d’où, en divisant par 2 les 2 membres, 2a’2 = b²
Le nombre b² serait lui aussi pair, et par conséquent b serait aussi pair.
a
pourrait être simplifiée par 2, elle ne serait donc pas une
b
fraction irréductible. Ce qui est une contradiction ! C’est donc que la supposition faite au départ est fausse,
2 n’est pas un nombre rationnel, c’est un nombre irrationnel.
Or, si a et b étaient tous les deux pairs, la fraction
II] Division euclidienne
définition : Soit a et b deux nombres entiers positifs tels que b≠ 0.
Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est trouver le quotient entier positif q et
le reste entier positif r tels que :
a = b × q + r et r < b
a
r
b
q
exemple :
Division euclidienne de 324 par 23.
14 est le quotient et 2 est le reste.
324 = 23 × 14 + 2
et
2 < 23
3 2 4
- 2 3
9 4
- 9 2
2
2 3
1 4
III] Diviseurs et multiples
définition : Soit a et b deux nombres entiers positifs tels que b≠ 0.
Dire que b est un diviseur de a signifie qu’il existe un entier k tel que a = k × b.
Dans ce cas, on peut dire que : - b divise a ;
- a est divisible par k ;
- a est un multiple de b.
exemple :
72 = 6 × 12 + 0
6 est un diviseur de 72.
6 divise 72.
72 est divisible par 6.
72 est un multiple de 6.
IV] Plus grand commun diviseur(PGCD)
a) Définition
Soit a et b deux nombres entiers strictement positifs.
On note PGCD ( a ; b ) le plus grand des diviseurs communs à a et b.
exemple : déterminer le PGCD( 24 ; 36)
24 = 1×24
36 = 1×36
24 = 2×12
36 = 2×18
24 = 3×8
36 = 3×12
24 = 4×6
36 = 4×9
36 = 6×6
Les diviseurs de 24 sont {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24 }
Les diviseurs de 36 sont {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36 }
Les diviseurs communs à 24 et 36 sont {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 } donc PGCD (24 ; 36) = 12
b) Nombres premiers entre eux
définition : On dit que deux entiers (non nuls) sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.
exemple : PGCD ( 45 ; 28 )
Les diviseurs de 45 sont {1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45 }
Les diviseurs de 28 sont {1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28 }
45 et 28 ont un seul diviseur commun {1 }
Comme PGCD ( 45 ; 28 ) =1 alors 45 et 28 sont premiers entre eux.
Remarque : Un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs ( 1 et lui-même) est un nombre
premier. exemples : 2 ;3 ;5 ;7 ;11 ;13 ;17 ;19 …
1 n’est pas un nombre premier. Il admet un seul diviseur.
c) Propriétés
Soit a et b deux nombres entiers strictement positifs.
PGCD ( a ; b ) = PGCD ( b ; a )
PGCD ( a ; a ) = a
Si b est un diviseur de a alors PGCD (a ; b ) = b.
exemples :
PGCD ( 12 ; 35 ) = PGCD ( 35 ; 12 )
PGCD ( 12 ; 12 ) = 12
Comme 12 est un diviseur de 24 alors PGCD ( 12 ; 24 ) = 12
d) PGCD et soustraction
propriété : Soit a et b deux nombres entiers strictement positifs tels que a > b.
PGCD ( a ; b ) = PGCD ( b ; a – b )
Démonstration : voir cahier d’exercices
exemple : Comme 35 – 15 = 20 alors PGCD ( 35 ; 15 ) = PGCD ( 15 ; 20 )
Application: Calcul du PGCD par l’algorithme des soustractions
1) On prend les deux nombres et on les soustrait
2) On prend les deux plus petits et recommence
On s’arrête quand on obtient zéro.
3) Le PGCD est égal à la dernière différence non nulle.
exemple : calcul du PGCD( 26 187 ; 11 223 )
On applique l’algorithme des soustractions.
2 6 1 8 7
1 1 2 2 3
7 4 8 2
1 4 9 6 4
- 1 1 2 2 3
3 7 4 1
- 3 7 4 1
- 1 1 2 2 3
1 4 9 6 4
3 7 4 1
7 4 8 2
3 7 4 1
Comme la dernière différence non nulle est 3 741 alors PGCD( 26 187 ; 11 223 ) = 3 741
3 7 4 1
- 3 7 4 1
0
e) PGCD et division euclidienne(admise)
propriété : Soit a et b deux nombres entiers strictement positifs tels que a > b.
Si r est le reste de la division euclidienne de a par b alors PGCD ( a ; b ) = PGCD ( b ; r )
exemple :
Comme 35 = 15 × 2 + 5 alors PGCD ( 35 ; 15 ) = PGCD ( 15 ; 5 )
Application : Calcul du PGCD par divisions successives ( Algorithme d’Euclide)
1) On effectue la division euclidienne du plus grand nombre par le plus petit
2) On continue en divisant le diviseur par le reste de la division précédente, jusqu'à ce que le
reste soit égal à 0.
3) Le dernier reste non nul est le PGCD.
exemple : calcul du PGCD( 252 ; 360 )
On applique l’algorithme d’Euclide.
3 6 0
- 2 5 2
1 0 8
2 5 2
1
2 5 2
- 2 1 6
3 6
1 0 8
2
1 0 8
- 1 0 8
0
3 6
3
autre présentation :
360 = 252 × 1 + 108
252 = 108 × 2 + 36
108 = 36 × 3 + 0
Comme le dernier reste non nul est 36 donc PGCD( 252 ; 360 ) = 36
V ] Fractions irréductibles
a) Définition
Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
exemples : Comme PGCD ( 16 ;15) =1 alors
Comme PGCD ( 12 ;28) ≠1 alors
16
est irréductible
15
12
n’est pas irréductible.
28
b) Propriété(admise)
Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
exemple : PGCD ( 360 ; 252 ) = 36
360 360÷36 10
=
=
252 252÷36 7
VI] Problèmes
Problème n°1 :
Un confiseur a un lot de 3150 bonbons et de 1350 sucettes.
Il veut réaliser des paquets identiques contenant des bonbons et des sucettes, en utilisant tous les bonbons et
toutes les sucettes.
1) Quel nombre maximal de tels paquets pourra-t-il réaliser ?
2) Combien y-aura-t-il de bonbons et de sucettes dans chaque paquet ?
Correction du problème n°1 :
1) Comme le nombre de paquets doit diviser les nombres 3 150 et 1 350 donc c’est un diviseur commun à ces
deux nombres. De plus, on cherche le plus grand nombre possible donc le nombre cherché est le PGCD
de 3150 et 1350.
On applique l’algorithme d’Euclide.
1 3 5 0
4 5 0
3 1 5 0
1 3 5 0
- 1 3 5 0
- 2 7 0 0
0
3
4 5 0
2
Comme le dernier reste non nul est 450 alors PGCD( 3 150 ;1 350) = 450.
Le confiseur pourra réaliser, au maximum 450 paquets identiques.
2)
3 150
=7
450
1 350
=3
450
Dans chaque paquet, il y aura 7 bonbons et 3 sucettes.
Problème n°2 :
Le sol d’une pièce rectangulaire a pour dimensions 377 cm et 493 cm.
On veut le recouvrir avec des dalles carrées les plus grandes possibles (sans coupe ni joint).
a) Déterminer la longueur du côté de la dalle. Justifier.
b) Combien de dalles faudra-t-il ?
Correction du problème n°2 :
a) Comme la longueur du côté de la dalle doit diviser les nombres 493 et 377 donc c’est un diviseur
commun à ces deux nombres. De plus, on cherche la longueur la plus grande possible donc le nombre cherché
est le PGCD de 493 et 377.
On applique l’algorithme d’Euclide.
4 9 3
- 3 7 7
1 1 6
3 7 7
1
3 7 7
- 3 4 8
2 9
1 1 6
1
6
- 1 1 6
0
3
2 9
4
Comme le dernier reste non nul est 29 alors PGCD( 493 ; 377) = 29.
La longueur du côté de la dalle est donc égale à 29 cm .
377 cm
493
= 17
29
377
= 13
29
17 × 13 = 221
Il faudra 221 dalles.
b)
493cm
17dalles
13dalles
Problème n°3 :
1) Déterminer le PGCD de 1 512 et 3 150.
3 150
sous forme de fraction irréductible, en justifiant la réponse.
2) Écrire le nombre
1 512
Correction du problème n°3 :
1) On applique l’algorithme d’Euclide.
3 1 5 0
- 3 0 2 4
1 2 6
1 5 1 2
2
1 5 1 2
- 1 2 6
2 5 2
- 2 5 2
0
12 6
1 2
Comme le dernier reste non nul est 126 alors PGCD( 1 512 ; 3 150) = 126.
2) Pour rendre une fraction irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
3 150 3 150 ÷ 126
=
1 512 1 512 ÷ 126
3 150 25
=
1 512 12