solide en rotation autour d`un axe fixe

SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE
I. RAPPELS DE DÉFINITION POUR UN POINT MATÉRIEL
I.1Moment cinétique en A
a) Définition
Soit A un point quelconque qui n’est pas nécessairement fixe.
JJJJG
G
G
Le moment cinétique en A du point M est : σ A = AM ^ mv .
Unités : kg.m2.s-1
b) Formule du changement de point
JJJJJG
G
G JJJJG G
G
G JJJJG JJJJG
G
σ A ' = A ' M ^ mv = A ' A + AM ^ mv , d’où σ A ' = σ A + A ' A ^ p .
(
)
I.2 Moment cinétique par rapport à un axe orienté
a) Définition
G
Soit ∆ un axe orienté. L’orientation de l’axe est donnée par le vecteur unitaire u∆ .
M
G
u∆
O’
Soit O un point quelconque de l’axe.
O
G G
Le moment cinétique de M par rapport à l’axe ∆ est : σ ∆ = σ O ⋅ u∆ .
G G
G JJJJG G G
G G
On vérifie que cette définition est indépendante du point O sur l’axe : σ O ' ⋅ u∆ = σ O + O ' O ^ p ⋅ u∆ = σ O ⋅ u∆ + 0 car
JJJJG G
G
O ' O ^ p ⊥ u∆ .
(
)
(
)
b) Cas particulier des coordonnées cylindriques
G G
On choisit l’axe Oz tel que u z = u∆ .
JJJJG
G
G
G
G
G
G
z
OM = rur + zu z et v = r ur + rθ uθ + zu
r mr
...
JJJJG
G
On a donc : σ O = OM ^ mv = 0 ^ mrθ = ...
, soit σ ∆ = σ z = mr 2θ .
z r mz
mr 2θ
G
I.3 Moment en A d’une force
Soit A un point quelconque qui n’est pas nécessairement fixe.
G
JJJJG G
G
Le moment en A de la force f appliquée en M est : Γ A = AM ^ f .
Unités : N.m
JJJJJG G
JJJJG JJJJG G G
JJJJG G
G
Formule du changement de point : Γ A ' = A ' M ^ f = A ' A + AM ^ f = Γ A + A ' A ^ f
JJJJG G
G
G
Γ A' = Γ A + A ' A ^ f
(
)
I.4 Moment d’une force par rapport à un axe orienté
M
G
u∆
a) Définition
G
Soit ∆ un axe orienté. L’orientation de l’axe est donnée par le vecteur unitaire u∆ .
O’
Soit O un point quelconque de l’axe.
O
G G
Le moment de la force par rapport à un axe orienté ∆ est : Γ ∆ = Γ O ⋅ u∆
JJJJG G G
G G
G
G G
On vérifie que cette définition est indépendante du point O sur l’axe : Γ O ' ⋅ u∆ = Γ O + O ' O ^ f ⋅ u∆ = Γ O ⋅ u∆ + 0 car
JJJJG G
G
O ' O ^ f ⊥ u∆ .
(
(
)
)
b) Cas particulier des coordonnées cylindriques
G G
On choisit l’axe Oz tel que u z = u∆ .
JJJJG
G
G
G
G
G
G
OM = rur + zu z et F = Fr ur + Fθ uθ + Fz u z
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Fr ...
r
JJJJG G
G
On a donc : Γ O = OM ^ F = 0 ^ Fθ = ... , soit Γ ∆ = Γ z = rFθ .
z r Fz rFθ
G
G
Les composantes radiale Fr et axiale Fz ne contribuent pas au moment par rapport à l’axe.
Γ ∆ est donc le produit de la composante orthoradiale multipliée par la distance r (ou longueur du bras de levier).
G
G
G
C’est prévisible car Fr est sans effet sur le rotation d’une porte, Fz tend à soulever celle-ci et Fθ tend à provoquer
la rotation de celle-ci.
G
f
c) Cas particulier d’une force perpendiculaire à l’axe ∆
JJJJG G
G
Γ A = AM ^ f
G
JJJJG G
G
La norme du moment de la force vaut : Γ A = AM ^ f = AM f sin α
G
On définit H le projeté orthogonal de A sur la droite M , f .
(
On a alors : sin α =
α
M
α
)
G
u∆
AH
, d’où
AM
H
A
G
G
Γ A = AH f = force × longueur du bras de levier (distance AH).
Comment déterminer le signe + ou – pour Γ ∆ ?
JJJJG
On peut appliquer la règle de la main droite : les 4 doigts de la main sont dans la direction de AM , la paume
G
G
G
G
de la main est dans la direction de f . Le pouce donne la direction de Γ A . Si Γ A et u∆ sont dans le même
sens, il faut mettre un signe +, sinon il faut mettre un signe –.
G
Sur le schéma Γ ∆ = + AH f = force × longueur du bras de levier (distance AH).
II. MOMENT CINÉTIQUE D’UN SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE PAR
RAPPORT À CELUI-CI
G G
Soit ∆ un axe orienté. On utilise les coordonnées cylindriques avec u z = u∆ .
II.1 Moment cinétique par rapport à un axe pour un système de points matériels
On a vu dans le paragraphe précédent que pour un point matériel : σ z = σ ∆ = mr 2θ .
Pour un système de k points matériels, le moment cinétique du système par rapport à l’axe ∆ vaut :
M
G
u∆
O
k
σ ∆ = ∑ mi ri 2θi
i =1
II.2 Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe
On considère le cas particulier d’un solide en rotation autour de l’axe ∆ . Les distances mutuelles des différents
éléments restent constantes au cours du temps. La vitesse angulaire θi est la même pour tous les points matériels. On a
donc θ = θ = ... = θ = θ = θ = ω . On note ω la vitesse angulaire commune à tous les points matériels.
1
2
On a donc : σ ∆ =
i
k
k

k
∑ m r ω =  ∑ m r
2
i i
i =1
i i
i =1
2

ω .

a) Définition du moment d’inertie
k
On définit le moment d’inertie J ∆ du solide par rapport à l’axe ∆ : J ∆ = ∑ mi ri 2 .
i =1
Le moment cinétique du solide en rotation vaut donc : σ ∆ = J ∆ω .
Unités du moment d’inertie : kg.m2.
Le moment d’inertie ne dépend que de la forme de solide et de la répartition de masse à l’intérieur de son volume.
Le moment d’inertie est d’autant plus grand que le solide est plus massif et que la masse y est distribuée à grande
distance de l’axe de rotation.
k
La relation J ∆ = ∑ mi ri 2 définit le moment d’inertie pour un système discret de points matériels.
i =1
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b) Moment d’inertie pour un système continu de points matériels
On considère une distribution volumique de masse. Soit un volume dτ . Il contient une masse dm qui est à la même
distance r de l’axe. Le moment d’inertie de ce volume dτ vaut : r 2 dm . Pour calculer le moment d’inertie du
volume entier, il faut donc faire la somme de toutes les contributions.
Pour une distribution volumique, on écrit une intégrale triple, soit J ∆ = ∫∫∫ r 2 dm
V
Pour une distribution surfacique, J ∆ = ∫∫ r 2 dm
S
Pour une distribution linéïque, J ∆ = ∫ r dm
2
Les calculs de moment d’inertie ne sont pas au programme. On va juste calculer trois moments d’inertie. Dans les
exercices, on donne l’expression littérale du moment d’inertie si nécessaire ou sa valeur numérique.
c) Moment d’inertie d’une circonférence par rapport à son axe
On considère une circonférence homogène (ou cercle) de rayon R et de masse M.
∫
∫
∆
∫
J ∆ = r 2 dm = R 2 dm = R 2 dm = MR 2
R
d) Moment d’inertie d’un cylindre homogène de révolution par rapport à son axe
On considère un cylindre homogène de rayon R et de hauteur h.
On utilise les coordonnées cylindriques pour décrire le cylindre.
dm
.
La masse volumique est µ =
dτ
La masse d’un petit volume dτ est dm = µ dτ = µ ( dr )( rdθ )( dz ) .
∆
R
Le moment d’inertie du cylindre est : J ∆ = ∫∫∫ r 2 dm
V
R
 2π
 h 
R4
π R4
J ∆ = ∫∫∫ r 2 µ ( dr )( rdθ )( dz ) = µ  ∫ r 3 dr  ∫ dθ   ∫ dz  = µ
2π h = µ
h
4
2
V
 r =0
 θ =0   z =0 
1
La masse totale vaut : M = µπ R 2 h , d’où J ∆ = MR 2 .
2
Le coefficient ½ traduit le fait que les masses sont toutes situées à une distance de l’axe inférieure à R. Le cylindre a même
moment d’inertie qu’une circonférence de rayon
R
2
appelé rayon de giration du solide.
e) Moment d’inertie d’une barre homogène filiforme par rapport à sa médiatrice
dm
On définit la masse linéïque λ par λ =
dr
l
3
l
J ∆ = ∫ r 2 dm = 2 ∫ r 2 λ dr = 2λ .
3
r =0
1
La masse totale vaut M = λ 2l , d’où J ∆ = Ml 2 .
3
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∆
l
l
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III. THÉORÈMES DU MOMENT CINÉTIQUE
III.1 Théorème du moment cinétique en projection sur un axe fixe
Soit ∆ un axe orienté fixe dans un référentiel ℜ galiléen.
dσ ∆
= Γ∆
Théorème du moment cinétique en projection sur ∆ :
dt
III.2 Théorème du moment cinétique pour un solide en rotation autour d’un axe fixe
Pour un solide en rotation, on a vu que : σ ∆ = J ∆ω . Le moment d’inertie est constant. On peut donc le sortir de la
dérivée.
Soit ∆ un axe orienté fixe dans un référentiel ℜ galiléen.
Théorème du moment cinétique pour solide en rotation autour d’un axe ∆ : J ∆
dω
= Γ∆
dt
Attention à l’orientation : Si θ augmente, en appliquant la règle de la main droite, le pouce doit être dirigé dans le sens de
G
dω
u∆ sinon il faut écrire − J ∆
= Γ ∆ !!!
dt
IV. ÉNERGIE CINÉTIQUE ET PUISSANCE DES FORCES POUR UN SOLIDE
IV.1 Énergie cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe
G
G
1
1
La vitesse d’un point matériel i vaut : vi = riωuθ . L’énergie cinétique du point i vaut : Ec = mi vi2 = mi ri 2ω 2 .
2
2
k
k
1
1
L’énergie cinétique du solide vaut : Ec = ∑ Ec = ∑ mi ri 2ω 2 = J ∆ω 2 .
2
i =1
i =1 2
i
i
i
L’énergie cinétique d’un solide en rotation vaut : Ec =
1
J ∆ω 2
2
IV.2 Puissance des forces appliquées à un solide en rotation autour d’un axe fixe
G G
G
G
G
G
Pour un point matériel, la puissance de la force vaut : Pi = Fi ⋅ vi = ( Fir ur + Fiθ uθ + Fz u z ) ⋅ ( riωuθ ) = Fiθ riω = Γ iω
La puissance des forces appliquées à un solide en rotation vaut donc : P = Γω
en notant Γ ∆ la somme des moments des forces appliquées au solide par rapport à l’axe ∆ .
V. GRANDEURS ET RELATIONS
LINÉAIRES ET ANGULAIRES
HOMOGUES
RELATIVES
AUX
VARIABLES
On va donner une analogie formelle entre une solide en rotation autour d’un axe ∆ et un point matériel de masse m de
mouvement rectiligne suivant l’axe Ox.
x →θ ;
v = x → ω = θ ;
m → J∆
;
px = mv → σ ∆ = J ∆ω
F → Γ∆
;
m
x→
dω =θ
dt
dv
dω
= F → J∆
= Γ∆
dt
dt
;
Ec =
;
1 2
1
mv → Ec = J ∆ω 2
2
2
P = Fv → P = Γ ∆ω
dv
dω
= F → J∆
= Γ∆ .
dt
dt
Les autres relations s’en déduisent immédiatement.
Exemple pour un ressort de force de rappel − kx et un ressort linéaire de torsion qui tordu d’un angle θ exerce un moment
de rappel Γ ∆ = −Cθ avec C = constante de torsion.
On retient l’analogie avec m
k →C ;
F = −kx → Γ ∆ = −Cθ
;
Ep =
1 2
1
kx → E p = Cθ 2
2
2
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VI. LE PENDULE PESANT
VI.1 Modélisation
• Système = Solide de masse M et de moment d’inertie J ∆ supposé connu. Le
centre d’inertie G du solide est à la distance a de l’axe de rotation.
G G G
• Référentiel ℜ = O, i , j , k terrestre galiléen. On repère la position du
(
)
z
O
y
solide par l’angle θ . On vérifie avec la règle de la main droite que si θ
G G
augmente, le pouce est bien dirigé suivant u z = u∆ .
•
θ
Bilan des forces :
¾ Les forces de pesanteur sont équivalentes pour un solide à une
G
G
force unique appliquée en G égale à P = Mgu x .
¾ On suppose qu’on a une liaison pivot parfaite. Une liaison pivot
autorise uniquement un mouvement de rotation autour d’un axe
fixe ∆ . Si cette liaison est parfaite, le moment est nul par rapport à
l’axe ∆ : P ( liaison ) = Γ ∆ ( liaison ) ω = 0
H
a
G
G
uθ
x
G
P
G
ur
VI.2 Étude dynamique
• Le moment de l’action de liaison est nul.
• Le moment du poids peut se calculer avec le produit force × longueur du bras de levier = mg × HG = mga sin θ .
Il reste à déterminer s’il faut mettre un signe + ou signe –. Si sin θ > 0 , le poids a tendance à faire tourner dans le
G
sens des aiguilles d’une montre. En appliquant la règle de la main droite, le pouce est dirigé suivant ( −u z ) . Il faut
donc mettre un signe –, soit Γ ∆ ( poids ) = −mga sin θ .
•
Théorème du moment cinétique par rapport à l’axe ∆ :
mga
dω
sin θ = 0 .
J∆
= Γ ∆ = −mga sin θ , d’où l’équation différentielle : θ +
J∆
dt
Si θ 1 , on a l’équation d’un oscillateur harmonique : θ + ω02θ = 0 avec ω0 =
mga
.
J∆
VI.3 Étude énergétique
• Le moment de l’action de liaison est nul. L’action de contact est donc conservative.
• Le poids dérive d’une énergie potentielle : E p = −mgxG . Attention au signe – car l’axe Ox est dirigé vers le bas.
On a donc E p = −mgxG = −mga cos θ
•
1 2
J ∆θ − mga cos θ = cte . On
2
obtient l’équation différentielle du mouvement en dérivant l’énergie mécanique par rapport au temps.
dEm
+ mgaθ sin θ . En simplifiant par θ qui est une solution parasite, on retrouve l’équation
= 0 = J ∆θθ
dt
mga
sin θ = 0 .
différentielle précédente : θ +
J∆
Le système est conservatif : l’énergie mécanique se conserve, soit Em = Ec + E p =
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