Fiche d`exercices n°3 - IMJ-PRG

Arithmétique LM220, 2014-2015
Université Pierre et Marie Curie
Feuille d’exercices no 3
Pgcd, ppcm et l’algorithme d’Euclide
Exercice 1. Soient n un entier et p un nombre premier.
1. Rappeler la définition de vp (n), la valuation p-adique de n.
2. Calculer v2 (60), v3 (60), v5 (60), v7 (60), v2 (1024), v3 (30720).
Exercice 2. Soient n, m des entiers. Rappeler la définition de pgcd(n, m) et ppcm(n, m).
Calculer le pgcd et le ppcm de 195 et 143.
Exercice 3. Calculer le pgcd et le ppcm de 2233 et 1543.
Exercice 4. Calculer le pgcd et le ppcm de 2010 et 2011.
Exercice 5. Soient a, b, c ∈ Z−{0}. Montrer que pgcd[pgcd(a, b), c] = pgcd[a, pgcd(b, c)].
Exercice 6. Soient a = da0 et b = db0 . Montrer que pgcd(a, b) = d ⇐⇒ pgcd(a0 , b0 ) = 1.
Exercice 7. Soient a, b, c et d des entiers; démontrer les implications:
(1) pgcd(a, b) = d =⇒ pgcd(ac, bc) = dc.
(2) pgcd(a, b) = 1 et pgcd(a, c) = 1 =⇒ pgcd(a, bc) = 1.
(3) pgcd(a, b) = 1 =⇒ ∀m, n ≥ 2, pgcd(am , bn ) = 1.
(4) pgcd(a, b) = d =⇒ ∀m ≥ 2, pgcd(am , bm ) = dm .
Exercice 8. Soit m = ppcm(a, b). Montrer qu’il existe un diviseur a0 de a, un diviseur
b0 de b, tels que pgcd(a0 , b0 ) = 1 et m = a0 b0 .
Exercice 9. Montrer que pgcd(a, b) · ppcm(a, b) = |ab|.
Exercice 10. Résoudre dans Z2 les équations suivantes:
(a) 4x + 9y = 1.
(b) 4x + 9y = 7.
Exercice 11. Résoudre dans Z2 les équations suivantes:
(a) 5x − 18y = 4.
(b) 6x + 15y = 28.
Exercice 12. Déterminer tous les entiers x, y vérifiant :
(a) 56x + 35y = 7.
(b) 56x + 35y = 10.
Exercice 13. Virée à Carrefour avec les copains. On a dépensé en tout 188 euros, en
achetant des CD à 25 euros et des jeans à 21 euros. Combien de CD a-t-on acheté ?
Exercice 14. Déterminer tous les entiers n tels que 8 | 15(n + 1).
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Exercice 15. Montrer que si d = pgcd(a, b) et si le couple (u0 , v0 ) ∈ Z2 vérifie au0 +bv0 =
d, les autres couples (u, v) ∈ Z2 vérifiant au + bv = d sont les (uk , vk ) ∈ Z2 définis pour
tout k ∈ Z − {0} par
uk = u0 + kb0
vk = v0 − ka0
où a0 et b0 sont définis par a = da0 et b = db0 .
Compléments
Exercice 16. Pierre fait une course de vélo de plusieurs jours. Il y a des étapes longues
de 169831m et des étapes courtes, de 87426m. A la fin il a parcouru 1363669m. Combien
a-t-il fait d’étapes longues?
Exercice 17 (Nombres de Fermat).
a) Montrer par récurrence que ∀n ∈ N, ∀k ≥ 1 on a :
n+k
22
Y n+i
k−1
n
− 1 = 22 − 1 ×
(22 + 1).
i=0
n
b) On pose Fn = 22 + 1. Montrer que pour m 6= n, Fn et Fm sont premiers entre eux.
c) En déduire qu’il y a une infinité de nombres premiers.
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