II. Récurrence linéaire d`ordre 2 Définition : Soit (un) une suite de

II. Récurrence linéaire d’ordre 2
Définition :
Soit (un ) une suite de nombres réels,
dire que (un ) suit une relation de récurrence linéaire d’ordre 2 à coefficients constants signifie qu’il
existe deux réels a et b tels que
∀n ∈ N, un+2 = a un+1 + b un
Remarques :
Si b = 0 alors on a une suite géométrique à partir du rang n = 1, on supposera dans la suite b 6= 0 .
On cherche à exprimer un en fonction de n.
On s’intéresse aux suites à valeurs réelles.
Un telle suite est entièrement définie par la donnée de ses deux premiers termes.
Une suite géométrique (q n ) vérifie cette relation si, et seulement si, q 2 = aq + b.
Définition :
Si (un ) vérifie ∀n ∈ N,
un+2 = a un+1 + b un alors
l’équation : x2 = ax + b est appelée équation caractéristique de cette suite.
On distingue en trois propositions les différents cas :
Proposition 1 :
Soit a et b deux nombres réels avec b 6= 0 et (un ) la suite vérifiant :
u0 ∈ R, u1 ∈ R,
∀n ∈ N,
un+2 = aun+1 + bun
Si x2 = ax + b possède deux solutions réelles distinctes q1 et q2 .
∀n ∈ N,
alors il existe (α, β) ∈ R2 tel que :
un = αq1n + βq2n
Remarque : Quand on cherche le couple (α, β) on parvient au système :
α + β = u0
αq1 + βq2 = u1
ce système linéaire possède une et une seule solution car : 1 × q2 − q1 × 1 6= 0
Proposition 2 :
Soit a et b deux nombres réels avec b 6= 0 et (un ) la suite vérifiant :
u0 ∈ R, u1 ∈ R,
∀n ∈ N,
Si x2 = ax + b possède une unique solution réelle q0 ,
∀n ∈ N,
un = (α + βn)q0n
un+2 = aun+1 + bun
alors il existe (α, β) ∈ R2 tel que :
ou
un = α q0n + β n q0n
Le couple (α, β) est l’unique solution du système :
α = u0
(α + β)q0 = u1
Remarque : Quand on cherche le couple (α, β) on parvient au système :
α = u0
αq0 + βq0 = u1
ce système linéaire possède une et une seule solution car : 1 × q0 − q0 × 0 6= 0
Proposition 3 :
Soit a et b deux nombres réels avec b 6= 0 et (un ) la suite vérifiant :
u0 ∈ R, u1 ∈ R,
∀n ∈ N,
un+2 = aun+1 + bun
Si x2 = ax + b possède deux racines complexes conjugués q = reiθ et q̄ = re−iθ .
(α, β) ∈ R2 tel que :
∀n ∈ N,
alors il existe
un = rn (α cos(nθ) + β sin(nθ))
Remarques :
• Les racines doivent être écrites sous forme exponentielle.
• Quand on cherche le couple (α, β) on parvient au système :
α = u0
rα cos(θ) + rβ sin(θ) = u1
ce système linéaire possède une et une seule solution car : 1 × r sin(θ) − r cos(θ) × 0 6= 0
En pratique :
À ”On reconnaı̂t une suite récurrente linéaire d’ordre à coefficients constants”
Á On donne son équation caractéristique.
 On résout l’équation caractéristique et on précise dans quel cas on se trouve.
à On donne l’expression de un en fonction de n avec α et β inconnues.
Ä On résout le système pour trouver α et β.
Å On conclut en donnant l’expression de un en fonction de n
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Un peu de logique et de théorie des ensembles.
Plaçons nous dans le cas 1 : l’équation caractéristique a deux racines réelles distinctes.
On a énoncé une proposition qui dit :
Si (un ) vérifie ∀n ∈ N,
Ce qui signifie que :
n
un+2 = aun+1 + bun alors il existe (α, β) ∈ R2 tel que : ∀n ∈ N,
un = αq1n + βq2n
o (un ) ∈ RN (un+2 ) = (aun+1 + bun ) ⊂ (αq1n + βq2n ) | (α, β) ∈ R2
et l’activité préparatoire permet aussi d’affirmer que :
si il existe (α, β) ∈ R2 tel que : ∀n ∈ N,
un = αq1n + βq2n alors (un ) vérifie ∀n ∈ N,
un+2 = aun+1 + bun
Ce qui signifie que
(αq1n + βq2n ) | (α, β) ∈ R2
⊂
n
o
(un ) ∈ RN (un+2 ) = (aun+1 + bun )
On peut résumer tout cela avec
n
o (un ) ∈ RN (un+2 ) = (aun+1 + bun ) = (αq1n + βq2n ) | (α, β) ∈ R2
Dans les autres cas on obtiendrait.
2ème Cas :
3ème Cas :
n
n
o (un ) ∈ RN (un+2 ) = (aun+1 + bun ) = ((α + βn)q0n ) | (α, β) ∈ R2
o (un ) ∈ RN (un+2 ) = (aun+1 + bun ) = (rn (α cos(nθ) + β sin(nθ))) | (α, β) ∈ R2