Rappel de géométrie 1. Triangle quelconque

Classe de 2nde 3
2008-2009
Rappel de géométrie
1. Triangle quelconque
B
1.1
Théorèmes des Milieux
I
• I milieu de [BC] et J milieu de [AB],
1
alors (IJ)//(AC) et IJ = AC
2
• I milieu de [BC]
la parallèle à (AC) passant par I coupe [AB] en J,
alors J est le milieu de [AB].
1.2
Droites Remarquables
1.2.1
Médianes
J
C
A
B
A′
• Dans un triangle, les 3 médianes se coupent en un
même point G, appelé centre de gravité du triangle.
C′
G
C
2
2
2
AG = AA′ ; BG = BB ′ ; CG = CC ′
3
3
3
B′
A
1.2.2
B
Hauteurs
• Dans un triangle, les 3 hauteurs se coupent en un
même point H, appelé orthocentre du triangle.
A′
C
′
H
C
B′
A
B
1.2.3
Bissectrices
• Dans un triangle, les 3 bissectrices se coupent en un
même point I, équidistant des 3 côtés du triangle :
IP = IQ = IR.
I est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
A′
I
C′
C
B′
A
B
1.2.4
Médiatrices
A′
• Dans un triangle, les 3 médiatrices se coupent en un
même point O, équidistant des 3 sommets du triangle :
OA = OB = OC, O est le centre du cercle circonscrit
au triangle.
C′
C
O
B′
A
2. Triangle rectangle
2.1
Théorème de
réciproque
Pythagore
et
sa
A
b
• Si ABC est un triangle rectangle en A alors
BC 2 = AB 2 + AC 2 .
• Réciproquement, si ABC est un triangle tel que
BC 2 = AB 2 + AC 2 , alors ABC est un triangle rectangle
en A.
2.2
a2 = b2 + c2
c
B
a
C
Cercle Circonscrit
M
• Si AMB est un triangle rectangle en M, alors le centre
du cercle circonscrit au triangle AMB est le point O
milieu de l’hypoténuse.
• Réciproquement, si M est sur le cercle de diamètre
[AB], alors AMB est un triangle rectangle en M.
2.3
A
Trigonométrie
• Si ABC est un triangle rectangle en A, alors
[ =
cos ABC
BA
[ = CA , tan ABC
[ = AC .
, sin ABC
BC
CB
AB
• Valeurs Remarquables :
x (en degrés)
cos x
sin x
tan x
0
1
0
0
30◦
45◦
√
√
3
2
1
2
√
3
3
2
2
60◦
90◦
1
2
0
√
√
1
√
2
2
3
2
3
1
non définie
O
B
Si x est la mesure d’un des angles, on a :
cos2 x + sin2 x = 1; tan x =
sin x
.
cos x
3. Angles
B
3.1
Dans un triangle
b+ B
b+C
b = 1800
Dans un triangle ABC quelconque, on a A
C
A
3.2
Angles opposés par le sommet
D
D et D deux droites sécantes en O. Les angles opposés
par le sommet ont même mesure.
′
O
D′
3.3
Angles alternes-internes et angles correspondants
• D et D ′ sont deux droites parallèles et ∆ une droite
sécante à D et D ′ , alors
– tous les angles alternes-internes, correspondants, alternes-externes ont même mesure.
∆
D′
correspondants
alternes
internes
• Réciproquement, Si deux angles alternes-internes ou
alternes-externes ou correspondants ont la même mesure, alors les droites D et D ′ qui supportent les angles
sont parallèles.
3.4
D
Angles inscrits et angles au centre
C un cercle de centre O.
\ et ANB
\ sont inscrits dans C et in• Les angles AMB
⌢
[ est l’angle au
terceptent le même arc AB. L’angle AOB
\ et ANB.
\ Alors
centre associé aux angles inscrits AMB
[
\ = 1 AOB
AMB
2
\ = ANB
\
et AMB
Remarque. Si M et N sont sur le cercle, l’un étant sur
⌢
le grand côté de AB et l’autre sur le petit.
\ + ANB
\ = 180◦.
Alors AMB
B
M
O
N
A
4. Théorème de Thalès et sa réciproque
4.1
Théorème de Thalès
• Si D et D ′ sont deux droites sécantes en A,
M et B sur D,
N et C sur D ′ ,
D
et (MN) et (BC) sont parallèles,
N
M
alors
AM
AN
MN
=
=
=k
AB
AC
BC
Les côtés du triangle AMN sont proportionnels aux
côtés du triangle ABC :
– si 0 < k < 1, le triangle AMN est une réduction du
triangle ABC
– si 1 < k, le triangle AMN est un agrandissement
du triangle ABC.
4.2
B
A
C
D′
Réciproque
D
N
• Soient D et D ′ sont deux droites sécantes en A.
– M, A et B sur D
– N, A et C sur D ′ rangés dans cet ordre,
AM
AN
si
=
alors (MN) et (BC) sont parallèles.
AB
AC
5. Méthodes
B
A
M
C
D′
• Pour montrer qu’un point est le milieu du segment : On peut penser aux médianes, médiatrice,
théorème des milieux, centre d’un parallélogramme.
• Pour calculer une longueur : On peut utiliser Pythagore, Thalès, et la trigonométrie dans un
triangle rectangle.
• Pour montrer qu’un angle est droit : On peut utiliser la médiatrice d’un segment, la hauteur
d’un triangle, la réciproque du théorème de pythagore, un triangle inscrit dans un cercle dont
un côté est un diamètre, faire la somme des angles d’un triangle ...
• Pour montrer que deux droites sont parallèles, on peut utiliser Thalès, les angles alternesinternes, correspondants... ou deux droites perpendiculaires à une même troisième.
• Pour montrer que deux angles sont égaux, on peut reconnaı̂tre deux angles à la base d’un
triangle isocèle, deux angles interceptant le même arc, utiliser avec deux droite parallèles les
angles alternes-internes, correspondants...