Probabilités et dénombrement

Probabilités et dénombrement
Depuis leur entrée dans l'univers des mathématiques (avec Blaise Pascal au XVIIe siècle), les
probabilités ont pris une place croissante dans notre façon d'appréhender le monde. La
mécanique quantique, par exemple, repose en partie sur le calcul des probabilités.
Le programme de terminale se limite à l'étude des cas où le nombre de résultats possibles est
fini et à quelques exemples de lois continues.
1. Comment définir et calculer une probabilité ?
À partir d'une expérience aléatoire E, on définit l'univers
c'est-à-dire
l'ensemble des résultats possibles de l'expérience. Les
sont également appelés
événements élémentaires. Un événement est une partie quelconque de
Définir une probabilité sur E, c'est associer à chacun des résultats possibles
un nombre
, tel que :
On peut déterminer les nombres
de deux façons :
— soit statistiquement :
, lors d'un grand nombre de répétitions de
E ; on a alors pour un événement A quelconque :
;
— soit par hypothèse d'équiprobabilité :
; on a alors pour un
événement A quelconque :
Dans ce dernier cas, on est amené à dénombrer, c'est-à-dire à compter le nombre d'éléments
d'un ensemble. Pour cela, on utilise des techniques assez simples comme les arbres, les
diagrammes, les tableaux à double entrée.
2. Comment compter le nombre de tirages successifs, avec
remise ?
Le modèle de référence dans ce cas est celui d'une urne contenant n jetons numérotés dont on
extrait p jetons, en remettant après chaque tirage le jeton tiré dans l'urne. Combien de
résultats différents peut-on obtenir lors de cette expérience ?
On peut fabriquer un arbre ou simplement tenir le raisonnement suivant :



pour le 1er jeton, on a n possibilités ;
pour le 2e jeton, on a n possibilités ; ... ;
pour le pe jeton, on a n possibilités.
On en déduit que le nombre de résultats possibles est :
3. Comment compter le nombre de tirages successifs, sans
remise ?
Le modèle de référence dans ce cas est celui d'une urne contenant n jetons numérotés dont on
extrait p jetons
, en conservant le jeton après chaque tirage. Combien de résultats
différents peut-on obtenir lors de cette expérience ?
Là encore, on peut fabriquer un arbre ou recommencer notre raisonnement :



pour le 1er jeton, on a n possibilités ;
pour le 2e jeton, on a n – 1 possibilités ; ... ;
pour le pe jeton, on a n – p + 1 possibilités.
On en déduit que le nombre de résultats possibles est :
;
où n! est le nombre
Cas particulier :
Si l'on fait n tirages sans remise dans l'urne et que l'on vide l'urne, alors le nombre de résultats
possibles est n!. C'est aussi le nombre de façons de ranger n objets les uns par rapport aux
autres.
4. Comment compter le nombre de tirages simultanés ?
Si l'on extrait p jetons simultanément (c'est-à-dire sans ordre ni répétition) de l'urne
contenant n jetons numérotés, le nombre de tirages possibles ou nombre de combinaisons est
alors :
5. Comment développer (a + b)n ?
Les propriétés des combinaisons sont les suivantes :
La dernière propriété permet d'établir le triangle de Pascal qui, de proche en proche, donne
les valeurs des nombres
Connaissant ces nombres, on peut développer (a + b)n à l'aide du binôme de Newton :
(généralisation des « identités remarquables »).
6. Comment calculer une probabilité sans passer par le dénombrement ?
Connaissant les probabilités de certains événements, on peut en trouver d'autres à l'aide des
propriétés suivantes :


(événement impossible) ;
(événement certain) ;
soit A et B deux événements incompatibles, c'est-à-dire tels que
;

soit A un événement quelconque et
;
l'événement contraire :
:


soit A et B deux événements quelconques :
;
soit A et B deux événements quelconques avec
alors :
À retenir
Définir une probabilité, c'est associer, à chacun des résultats xi de l'expérience aléatoire, un
nombre pi positif tel que la somme des pi soit égale à 1.
Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A quelconque est :
Soit une urne contenant n jetons numérotés dont on extrait p jetons :


si l'on remet le jeton tiré après chaque tirage, le nombre de résultats possibles est :
;
si l'on conserve le jeton après chaque tirage, le nombre de résultats possibles est :
Soit une urne contenant n jetons numérotés dont on extrait p jetons simultanément, le nombre
de résultats possibles est :
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