Vdouine – Terminale S – Chapitre 2 spé – Arithmétique – PPCM et nombres premiers Nombre premier Dire qu’un entier naturel est premier signifie qu’il admet deux diviseurs : un et lui-même. Zéro est-il un nombre premier ? Un est-il un nombre premier ? Justifier vos deux réponses. Deux est-il un nombre premier ? Justifier votre réponse. Qu’en est-il des autres nombres pairs ? Citer les sept premiers nombres premiers. Nombre composé Tout entier naturel non premier, distinct de un, admet au moins un diviseur premier. On propose ci-dessous la démonstration par l’absurde de ce résultat : Considérons un entier n 1 qui ne soit pas premier. Cela signifie que l’ensemble des diviseurs de n contient 1 , n et forcément d’autres éléments dont on extrait le plus petit que l’on nomme p . Ainsi 1 p n et p divise n . Hypothèse : p n’est pas premier. Il existe alors un entier d tel que 1 d p et tel que d divise p . A ce moment là, par transitivité ( d divise p et p divise n ) nous pouvons dire que d divise n . On a donc trouvé un diviseur de n plus petit que p ce qui est en contradiction avec le fait que p est le plus petit diviseur de n . On en déduit que l’hypothèse est fausse et par conséquent p est premier. Ensemble infini Il existe une infinité de nombres premiers. On propose ci-dessous la démonstration par l’absurde de ce théorème : Hypothèse : il existe un nombre fini de nombres premiers p1 ; p2 ;...; pk . On considère le nombre a p1 p2 ... pk 1 qui est un entier strictement supérieur à 1 . Par conséquent il admet forcément un diviseur premier pi pris dans l’ensemble p1 ; p2 ;...; pk . Evidemment pi divise p1 p2 ... pk mais il divise aussi a p1 p2 ... pk 1 par conséquent il divise toute combinaison linéaire de ces deux nombres donc pi divise 1 . Ceci est impossible puisque pi est premier. On en déduit que l’hypothèse est fausse et par conséquent il existe une infinité de nombres premiers. Activités Page 1 Vdouine – Terminale S – Chapitre 2 spé – Arithmétique – PPCM et nombres premiers Le crible d’Eratosthène Il s’agit d’une méthode permettant de déterminer tous les nombres premiers inférieurs à un nombre donné. On raye tous les multiples de deux supérieurs à deux, puis tous les multiples de trois supérieurs à trois, les multiples de cinq supérieurs à cinq, les multiples de sept supérieurs à sept… 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Déterminer tous les nombres premiers inférieurs à cent. Critère de primalité Soit n un entier naturel supérieur ou égal à deux. Si n n’est pas premier alors il existe un nombre premier p n qui divise n . Limiter les essais Soit n un entier naturel supérieur ou égal à deux. La propriété proposée ci-dessous permet de limiter le nombre d’opérations dans la détermination du caractère premier d’un entier. Si n n’est divisible par aucun nombre premier p inférieur à Application directe A l’aide d’un crible d’Eratosthène et du critère de primalité déterminer tous les nombres premiers inférieurs à 150. Déterminer les nombres premiers dans chacune des listes proposées ci-dessous : 276, 277, 278, 279, 280, 281, 282, 283. 373, 374, 375, 376, 377, 378, 379, 380. 641, 642, 643, 644, 645, 646, 647, 648. 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 111 121 131 141 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 102 112 122 132 142 n alors n est premier. 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 103 113 123 133 143 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 104 114 124 134 144 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125 135 145 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 106 116 126 136 146 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 107 117 127 137 147 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 108 118 128 138 148 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 109 119 129 139 149 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 Ecrire un algorithme permettant de déterminer en un minimum d’opérations si un nombre entier est premier ou non. Programmer l’algorithme. Vérifier les réponses de l’exercice précédent. Autre exercice d’application directe Soit p un entier naturel premier. On considère P 2 3 5 ... p le produit des entiers naturels premiers inférieurs ou égaux à p . Démontrer que les p 1 entiers naturels P 2 , P 3 , P 4 , … et P p ne sont pas premiers. En déduire un exemple d’une liste de dix entiers consécutifs non premiers. Activités Page 2 Vdouine – Terminale S – Chapitre 2 spé – Arithmétique – PPCM et nombres premiers Décomposition en produit de facteurs premiers Soit n un entier naturel tel que n 2 . Ce nombre peut se décomposer sous la forme n p1 1 p2 2 ... pk k . Dans cette décomposition les nombres p1 , p2 , … , pk sont des nombres premiers tels que p1 p2 ... pk et les nombres 1 , 2 , … , k sont des entiers naturels non nuls. Cette décomposition est unique. Application directe Décomposer le nombre a 4312 en produit de facteurs premiers. Quel est le plus petit entier naturel par lequel il faut multiplier a pour obtenir un carré ? Pour un multiple de mille ? Dans chaque cas, décomposer le nombre donné en produit de facteurs premiers : b 720 , c 2309 , d 63 47 et e 212 1 . Quel est l’exposant de 2 dans la décomposition en facteurs premiers de f 17! 17 16 ... 3 2 1 ? Décomposer le nombre g 81648 en produit de facteurs premiers. Quel est le plus grand entier naturel dont le cube divise le nombre g ? Décomposer le nombre h 9720 en produit de facteurs premiers. En déduire les quatre entiers naturels dont le cube divise le nombre h . Soit x et y deux entiers naturels tels que x 3 x 2 y 2 9720 E . Déterminer tous les couples x; y d’entiers naturels solutions de E . Ensemble des diviseurs Soit n un nombre entier naturel supérieur ou égal à deux dont le décomposition est n p1 1 p2 2 ... pk k . L’ensemble des diviseurs de n est l’ensemble des entiers d s’écrivant sous la forme d p1 1 p2 2 ... pk k où les nombres 1 , 2 , … , k sont des entiers naturels tels que 0 1 1 , 0 2 2 , … , 0 k k . Le nombre de diviseurs naturels de n est 1 1 2 1 ... k 1 car tout diviseur peut s’écrire sous la forme d p1 1 p2 2 ... pk i 1 k et chaque nombre i peut prendre les valeurs entières de 0 à i . Application directe Décomposer le nombre a 12 en produit de facteurs premiers. En déduire tous les diviseurs de a . Décomposer le nombre b 484 en produit de facteurs premiers. En déduire tous les diviseurs de b . Déterminer le nombre de diviseurs du nombre c 6468 . Déterminer le nombre de diviseurs du nombre d 3600 . Activités Page 3 Vdouine – Terminale S – Chapitre 2 spé – Arithmétique – PPCM et nombres premiers Plus grand commun diviseur Soit a et b deux entiers naturels supérieurs ou égaux à deux. Le PGCD de a et b est égal au produit des facteurs premiers communs aux décompositions de a et b , chacun d’eux étant affectés du plus petit exposant avec lequel il figure dans la décomposition de a et b . Ainsi, si a p1 1 p2 2 ... pk k et si b p1 1 p2 2 ... pk k où p1 , p2 , … , pk sont des nombres premiers, où 1 , 2 , … , k ainsi que 1 , 2 , … , k sont des entiers naturels éventuellement nuls, on a : PGCD a; b p1 1 p2 2 ... pk k avec i min i ; i pour tout 1 i k Application directe 1. Calculer dans chaque cas PGCD a; b : a 15 et b 35 a 1386 et b 546 a 23 32 114 373 et b 22 3 52 7 11 29 374 a 24000 et b 56000 a 460845 et b 372645 Représentation graphique On considère l’ensemble des nombres z 2 x 3y où x et y désignent des entiers naturels. Dans le plan orthonormé, on représente le nombre z par le point M de coordonnées x; y . On dit que M est l’image de z . Où est l’image de 1 ? Où sont les images des nombres 2 x ? Des nombres 3 y ? Des puissances de 6 ? On considère deux entiers naturels a 3456 et b 5668704 . Construire dans un repère les images A et B de ces deux nombres. Représenter graphiquement l’ensemble des diviseurs de a . Représenter graphiquement l’ensemble des diviseurs de b . En déduire la position de D image de d PGCD a; b . Plus petit commun multiple L’ensemble des multiples strictement positifs communs à deux entiers naturels non nuls n’est pas vide puisque leur produit en fait partie. Par conséquent il existe dans cet ensemble un multiple commun à ces deux nombres plus petit que les autres. Ce nombre est appelé le plus petit commun multiple de a et de b et sera noté PPCM a; b . Le PPCM a; b est égal au produit de tous les facteurs premiers présents dans l’une ou l’autre des décompositions de a et b , chacun d’eux étant affectés du plus grand exposant avec lequel il figure dans la décomposition de a et b . Activités Page 4 Vdouine – Terminale S – Chapitre 2 spé – Arithmétique – PPCM et nombres premiers Ainsi, si a p1 1 p2 2 ... pk k et si b p1 1 p2 2 ... pk k où p1 , p2 , … , pk sont des nombres premiers, où 1 , 2 , … , k ainsi que 1 , 2 , … , k sont des entiers naturels éventuellement nuls, on a : PPCM a; b p1 1 p2 2 ... pk k avec i max i ; i pour tout 1 i k Application directe On dispose de rectangles de dimensions 16 cm et 14 cm. Quelle est l’aire du plus petit carré que l’on peut former avec ces rectangles ? Deux cyclistes effectuent des tours de piste. Le premier met 3 min 18 secondes pour effectuer un tour. Le second met 3 min et 45 secondes pour effectuer le même tour. Ils partent ensemble sur la ligne de départ. Au bout de combien de temps se retrouveront-ils sur cette ligne de départ ? Déterminer dans chaque cas PPCM a; b : a 111 et b 303 a 28 36 54 1113 et b 2 3 5 11 13 a 256 et b 5040 a 24 3 5 73 et b 32 53 7 11 a 7931 et b 5665 a 7n1 7n et b 5n1 5n Représentation graphique On considère deux entiers naturels a 3456 et b 5668704 . Construire dans un repère (voir activité précédente) les images A et B de ces deux nombres. Représenter graphiquement l’ensemble des multiples de a . Représenter graphiquement l’ensemble des multiples de b . En déduire la position du point M image de m PPCM a; b . Homogénéité Si on multiplie deux entiers naturels non nuls a et b par un même entier naturel k non nul alors leur PPCM est lui aussi multiplié par k . On a donc l’égalité suivante : PPCM k a; k b k PPCM a; b . Application directe Déterminer PPCM 12;15 . En déduire quels sont tous les entiers naturels compris entre 6500 et 8500 qui ont pour reste 111 dans les divisions euclidiennes par 120 et par 150 . Déterminer PPCM 16;20 . En déduire quels sont tous les entiers naturels compris entre 8000 et 9000 qui ont pour reste 140 dans les divisions euclidiennes par 160 et par 200 . Activités Page 5 Vdouine – Terminale S – Chapitre 2 spé – Arithmétique – PPCM et nombres premiers Propriété Le produit de deux entiers naturels non nuls est égal au produit de leur PGCD et de leur PPCM. Cette relation s’écrit de la façon suivante : PGCD a; b PPCM a; b a b . Conséquence Si a et b sont premiers entre eux alors PPCM a; b a b . Cette propriété est immédiate puisque la définition de deux nombres premiers entre eux est PGCD a; b 1 . Application directe Deux entiers naturels consécutifs ont un PPCM égal à 9120. Déterminer ces deux entiers. Soit n un entier naturel. On considère les nombres a 3n 2 et b 2n 1 . Par combinaison linéaire, déterminer PGCD a; b , puis en déduire PPCM a; b . Soit a et b deux entiers naturels non nuls. On note d PGCD a; b et m PPCM a; b . Dans chacun des cas suivants, déterminer les entiers a et b : d 7 et m 84 d 14 et m 420 d 18 et m 90 Problème On veut remplir la boîte B (parallélépipédique de type l l L ) avec des cubes tous identiques dont l’arête a est un entier naturel non nul (les cubes devant remplir complètement la boîte B sans laisser d’espace vide. Dans cette question, l 882 et L 945 . Quelle est la plus grande valeur possible pour a ? Quelles sont toutes les valeurs possibles pour a ? Dans cette question, le volume de la boîte B est v 77760 . On sait que pour remplir la boîte B, la plus grande valeur possible de a est 12 . Montrer qu’il y a exactement deux boîtes B possibles dont on donnera les dimensions. On veut remplir une caisse cubique C, dont l’arête c est un entier naturel non nul, avec des boîtes B toutes identiques telles que décrites à la question 1 (les boîtes B, empilées verticalement, doivent remplir complètement la caisse C sans laisser d’espace vide). Dans cette question, l 882 et L 945 . Quelle est la plus petite arête c pour la caisse C ? Quel est l’ensemble de toutes les valeurs possibles pour l’arête c ? Dans cette question, le volume de la boîte B est v 15435 . On sait que la plus petite arête possible pour la caisse C est 105 . Quelles sont les dimensions l et L de la boîte B ? Activités Page 6