et son corrigé

TS spé maths
2005/2006
Devoir Maison.
Exercice 1: Diviseurs positifs
Un entier naturel N a pour décomposition en produit de facteurs premiers 2α 3 β .
Déterminer les valeurs de N telles que le nombre de diviseurs positifs de N 2 soit le
triple du nombre de diviseurs positifs de N.
Indication éventuelle : αβ − α − β = (α − 1)( β − 1) − 1
Solution :
Un diviseur positif de N a pour décomposition en produit de nombres premiers 2a × 3b avec
0 ≤ a ≤ α et 0 ≤ b ≤ β donc le nombre de diviseurs positifs de N vaut ( α + 1) × ( β + 1)
De même le nombre de diviseurs positifs de N²= 2 2α 32 β vaut (2α + 1) × (2 β + 1)
On veut que : (2α + 1) × (2 β + 1) = 3 ( α + 1) × ( β + 1)
Egalité équivalente à : αβ = α + β + 2 ⇔ αβ – α – β = 2 ⇔ ( α – 1) × ( β – 1) = 3
(en utilisant l’indication).
Comme 3 est un nombre premier on a :
soit α – 1 = 3 et β – 1 = 1
soit α – 1 = 1 et β – 1 = 3
On en déduit qu’il y a deux solutions N1 = 24 × 32 = 144 et N2 = 22 × 34 = 324
Exercice 2: Un nombre de Carmichael
1) Décomposer l’entier naturel 561 en produit de facteurs premiers.
2) Soit a un entier relatif premier avec 561, quelconque.
a) Justifier que a est premier avec tout diviseur de 561.
b) Démontrer qu’on a la relation : a 560 ≡ 1 [561].
Solution :
1) n = 561 s'écrit n = 3 × 11 × 17 et il est évident qu'avec :
p = 3, p – 1 = 2 divise n – 1 = 560 ;
q = 11, q – 1= 10 divise 560 ;
r = 17 , r – 1 = 16 divise 560 (35 × 16) .
2) a) Soit a un entier premier avec 561. Si d est un diviseur de 561 et si PGCD (a, d) = d’ alors
d’ divise a et d, donc d’ divise a et 561 et donc d’ = 1 puisque PGCD (a, 561) = 1 donc a est
premier avec tout diviseur de 561.
b) On a donc (grâce au théorème de Fermat)
Comme a est premier avec 3, alors a² ≡ 1 (3) et comme 560 est multiple de 2; a560 ≡ 1 (3)
Comme a est premier avec 11, alors a10 ≡ 1 (11) et comme 560 est multiple de 10; a560 ≡ 1 (11)
Comme a est premier avec 17, alors a16 ≡ 1 (17) et comme 560 est multiple de 16; a560 ≡ 1 (17)
Ainsi pour n = 561 on a : 3 divise an-1 – 1, 11 divise an-1 – 1, 17 divise an-1 – 1,
Le produit des trois nombres premiers distincts 3 × 11 × 17 = n divise aussi an-1 – 1.
Ce résultat montre que, si un entier n, supérieur ou égal à 2, est tel qu’on ait la relation
a n −1 ≡ 1 [n] pour tout entier a premier avec n, alors n n’est pas nécessairement premier. Un
tel nombre n est appelé un nombre de Carmichael (appelé aussi pseudo-premier).
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2005/2006
Exercice 3: Les nombres de Poulet.
1. Soit n un entier naturel impair ( n ≥ 1) tel que 2n-1 n’est pas congru à 1 modulo n.
Prouver que n n’est pas premier.
2. Prouver que : 2340 ≡ 1 [341] et que 341 n’est pas premier.
3. Que signifie le résultat ci-dessus ?
4. 341 est appelé nombre de Poulet : chercher (encyclopédie, internet….) d’autres nombres
de Poulet.
5. Mais qui donc est Poulet ?
Solution :
1) Si n impair est premier, alors n est premier avec 2 et d'après le théorème de Fermas,
2n-1 ≡ 1(n) . Contradiction avec l'hypothèse ! Par suite, n n’est pas premier.
2) On a 341 = 11 × 31 qui est donc composé.
Par ailleurs, soit parce que l'on a remarqué que 3 × 341 = 1 023 et que 210 = 1 024 est connu,
soit parce que l'on a étudié la séquence mod(2n ; 341) , pour n = 9 et 10 (et c'est tout), on
obtient : 210 ≡ 1 (341)
Dès lors, 2340= (210)34 ≡ 1 (341).
On constate que la congruence 2n-1 ≡ 1(n) n’est pas « spécifique » aux nombres premiers.
•
•
341 est le plus petit pseudo-premier de base 2.
Ce qui signifie que 2340 – 1 est divisible par 341, bien que 341 soit composé et
non pas premier
Nombres de Poulet :
Ces nombres sont synonymes de nombres pseudo-premiers de base 2, nombres
étudiés par Poulet dans les années 1910-1930 et que généralisera Carmichael. Ils
firent également l'objet d'études de la part du mathématicien polonais contemporain
Andrzej Rotkiewicz qui prouva (1965) que si n >19, on trouve un nombre de Poulet
entre n et n2 : il y en a donc une infinité. Les premiers nombres de Poulet sont :
341, 561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905, 2047, 2465, ...
http://perso.wanadoo.fr/yoda.guillaume/N100a500/Poulet.htm
http://serge.mehl.free.fr/chrono/poulet.html