Suite définie par une moyenne arithmétique Situation Compétences
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sujet 044 Épreuve pratique de mathématiques Descriptif Suite définie par une moyenne arithmétique Situation On considère une suite (un ) définie pour tout n entier strictement positif comme moyenne des n premiers termes d’une suite d’entiers. Il s’agit de trouver une fonction simple f telle que, pour tout entier n, on ait un = f (n). Compétences évaluées Compétences TICE – Traitement d’une formule sommatoire avec une calculatrice ou un tableur ; – Représentation graphique d’une suite. Compétences mathématiques – Détermination d’une fonction polynôme dont la courbe représentative passe par des points particuliers ; – Démonstration d’une formule par récurrence. Sujet 044 Épreuve pratique de mathématiques Fiche élève Suite définie par une moyenne arithmétique Énoncé On considère la suite (un ) définie pour tout n entier strictement positif par : n 6 6X 2 k un = (12 + 22 + · · · + n2 ) = n n k=1 Partie expérimentale 1. À l’aide d’un tableur ou d’une calculatrice, représenter graphiquement les 50 premiers termes de la suite (un ). 2. Émettre une conjecture sur le type de fonction f telle que, pour tout n entier entre 1 et 50, on ait : un = f (n). Appeler l’examinateur pour exposer votre conjecture et proposer une méthode pour la préciser. 3. Mettre en place la stratégie validée par l’examinateur et déterminer précisément la fonction f . Appeler l’examinateur, lui indiquer la fonction f trouvée et lui proposer une méthode pour résoudre la question 4. Démonstrations 4. (a) Démontrer que pour tout n entier naturel non nul, on a un = f (n) où f est la fonction validée par l’examinateur. (b) En déduire une formule simple donnant la somme des carrés des n premiers entiers strictement positifs. Production demandée – Des explications orales et à l’écran pour les questions 1 à 3 ; – Les réponses argumentées à la question 4. 1/1 Sujet 044 Épreuve pratique de mathématiques Fiche professeur Suite définie par une moyenne arithmétique Énoncé On considère la suite (un ) définie pour tout n entier strictement positif par : n un = 6 2 6X 2 (1 + 22 + · · · + n2 ) = k n n k=1 Partie expérimentale 1. À l’aide d’un tableur ou d’une calculatrice, représenter graphiquement les 50 premiers termes de la suite (un ). 2. Émettre une conjecture sur le type de fonction f telle que, pour tout n entier entre 1 et 50, on ait : un = f (n). Appeler l’examinateur pour exposer votre conjecture et proposer une méthode pour la préciser. + Si le candidat est en difficulté pour le calcul des sommes partielles des suites, lui indiquer une procédure (par exemple une décomposition en plusieurs étapes/colonnes). À l’issue de cet appel, le candidat doit s’orienter vers la recherche pour f d’une fonction polynôme du second degré. L’examinateur aidera au besoin le candidat à exposer sa stratégie pour trouver le dit polynôme. 3. Mettre en place la stratégie validée par l’examinateur et déterminer précisément la fonction f . Appeler l’examinateur, lui indiquer la fonction f trouvée et lui proposer une méthode pour résoudre la question 4. + Toute méthode permettant de trouver l’expression de f est valide, mais dans le cas d’une méthode expérimentale ou intuitive, on attend a minima du candidat la vérification de la formule sur les 50 premiers termes. Dans les autres cas de figure, l’examinateur pourra, si le candidat ne le fait pas de lui-même, suggérer une stratégie de contrôle des résultats via une vérification sur les premiers termes de la formule obtenue. Le candidat maı̂trisant un outil de calcul formel ne sera dispensé ni de la représentation graphique, ni de la vérification sur les premiers termes de la formule obtenue, ni a fortiori de la démonstration de cette formule. Pour la question 4, plusieurs stratégies sont possibles. Si le candidat n’en propose pas lui suggérer un raisonnement par récurrence. 1/2 Sujet 044 Épreuve pratique de mathématiques Fiche professeur Démonstrations 4. (a) Démontrer que pour tout n entier naturel non nul, on a un = f (n) où f est la fonction validée par l’examinateur. (b) En déduire une formule simple donnant la somme des carrés des n premiers entiers strictement positifs. + Le calcul de un+1 connaissant un étant un peu compliqué, on considérera qu’un candidat ayant défini correctement les étapes d’une démonstration par récurrence valide et trouvant la formule donnant la somme des carrés des n premiers nombres entiers a répondu aux attendus. Production demandée – Des explications orales et à l’écran pour les questions 1 à 3 ; – Les réponses argumentées à la question 4. Compétences évaluées Compétences TICE – Traitement d’une formule sommatoire avec une calculatrice ou un tableur ; – Représentation graphique d’une suite. Compétences mathématiques – Détermination d’une fonction polynôme dont la courbe représentative passe par des points particuliers ; – Démonstration d’une formule par récurrence. Remarque sur les outils Le candidat qui dispose d’une calculatrice – ou d’un logiciel – intégrant du calcul formel, peut trouver sans problème la formule demandée à la question 4. Il doit néanmoins répondre à la question 1 et l’examinateur pourra être plus exigeant sur la partie démonstration, surtout s’il y utilise à nouveau des fonctionnalités de calcul formel. 2/2 Épreuve pratique de mathématiques Numéro du sujet 044 Nom Prénom : Fiche évaluation Titre : Suite définie par une moyenne arithmétique NOTE : On ne cherchera pas à noter chacune des compétences. Pour établir la note finale on prendra en compte les performances globales du candidat en respectant la grille de lecture suivante : La capacité à expérimenter (qui prend en compte de façon dialectique les performances dans l’utilisation des outils et la faculté de proposer des conjectures) doit représenter les trois quarts de la note finale. La capacité à rendre compte des résultats établis à partir de cette expérimentation (démonstration, argumentation …) représentera le quart restant. La capacité à prendre des initiatives et à tirer profit des échanges avec l’examinateur sera globalement prise en compte de façon substantielle. Il n’est pas nécessaire qu’une compétence soit totalement maîtrisée pour être considérée comme acquise. Les exemples cités ci-dessous ne sont pas exhaustifs Compétences Évaluées L’élève est capable d’illustrer graphiquement la situation avec l’outil TICE de son choix (tableur, calculatrice,…). L’élève tire profit des indications éventuellement données à l’oral pour le calcul des termes de la suite. L’élève est capable d’expérimenter, de faire des essais pour rechercher cette fonction (valoriser toute démarche même initialement empirique). Il est capable d’émettre une conjecture concernant la fonction à rechercher, en cohérence avec ses essais. Il utilise de façon pertinente l’outil choisi pour contrôler, à l’aide des TICE, la fonction conjecturée après indications éventuellement données à l’oral. Suite à un éventuel questionnement oral, l’élève est capable d’exposer sa démarche pour la suite du problème. L’élève tire profit des indications éventuellement données à l’oral. L’élève montre un certain nombre de connaissances sur les polynômes du second degré, et de savoir faire mathématiques sur les suites numériques. L’élève propose une résolution correcte de l’exercice et il est capable d’émettre un retour critique sur ses observations. Autres observations : Éléments permettant de situer l’élève (à remplir par l’examinateur)
