01 PGCD 3èA

CH I
Diviseurs d’un entier. PGCD. Algorithme d’ Euclide.
1. Diviseurs d’un nombre entier non nul
A) Diviseurs d’un nombre entier
Les diviseurs de 35 sont
1 ; 5
35 ; 7
Les diviseurs de 72 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 4
72 ; 36 ; 24 ; 18
; 6 ; 8
; 12 ; 9
B) Division euclidienne
dividende D
diviseur d
89
7
19
12
5
quotient entier q
On écrit la division euclidienne en ligne :
89 = 7 x 12 + 5
Soit
Dividende = Diviseur x quotient + reste
reste r
reste < diviseur
C) Remarques
—
5 est un diviseur de 35
5 divise 35
35 est un multiple de 5
35 est divisible par 5
—
Un nombre entier (sauf 1) a au moins 2 diviseurs : 1 et lui même.
—
Il faut savoir reconnaître vite un nombre divisible par 2 ; par 3 ; par 5 ;
par 9 ; par 10 ou 100 ou 1 000.
Sinon, il faut faire la division euclidienne.
D) Touche division euclidienne
casio :
TI :
:R
⊦
ou
⊦
2. Diviseurs communs à deux entiers
A) Exemple
Diviseurs de 48 :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6
48 ; 24 ; 16 ; 12 ; 8
Diviseurs communs :
Diviseurs de 72 :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ;
72 ; 36 ; 24 ; 18 ; 12 ;
8
9
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24.
Parmi les diviseurs communs, il en existe un plus grand que les autres qu'on appelle le PGCD.
Notation : PGCD ( 72 ; 48 ) = 24
Les autres diviseurs communs sont les nombres qui divisent le PGCD.
B) Définition 1
Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.
Exemple :
48 et 72 ne sont pas premiers entre eux.
13 et 14 sont premiers entre eux
C) Définition 2
Une fraction est irréductible lorsque ses termes sont premiers entre eux.
13
14
est une fraction irréductible.
3. Savoir trouver le PGCD par soustractions ou divisions successives.
A) Propriété
5 est un diviseur de 35 et 100. 5 est aussi un diviseur de 100 – 35 = 65
Si un entier est un diviseur de deux autres, il est aussi un diviseur de leur différence.
B) Utiliser l’algorithme par soustractions
Quel est le PGCD de 646 et 187 ?
Le PGCD est un diviseur de 646 et 187.
Il divise aussi leur différence :
646 – 187 = 459
Le PGCD est donc un diviseur de 459 et
187. Il divise aussi leur différence :
459 – 187 = 272 . . . etc . . .
C) Utiliser l'algorithme par divisions
euclidiennes
Les lignes 1 , 2 et 3 peuvent se remplacer par la
division euclidienne de 646 par 187.
646 : 187 = 3 ( reste 85 )
ou
646 = 187 x 3 + 85
Voici les soustractions :
Ligne 1
646
–
187
= 459
Ligne 2
459
–
187
= 272
Ligne 3
272
–
187
= 85
Ligne 4
187
–
85
= 102
Ligne 5
102
–
85
= 17
Ligne 6
85
–
17
= 68
Ligne 7
68
–
17
= 51
Ligne 8
51
–
17
= 34
Ligne 9
34
–
17
= 17
Ligne 10
17
–
17
= 0
On s’arrête lorsque le reste devient 0.
PGCD ( 646 ; 187 ) = 17
646 = 17 x 38
187 = 17 x 11
Voici les divisions euclidiennes :
Ligne 1
646
=
187 x 3
+ 85
Ligne 2
187 =
85 x
2
+ 17
Ligne 3
85 =
17 x
5
+ 0
On s’arrête lorsque le reste devient 0.
Le PGCD est le dernier reste non nul.
PGCD ( 646 ; 187 ) = 17
646 = 17 x 38
187 = 17 x 11
Cette fois-ci, 3 lignes suffisent.
La méthode est plus rapide.
Cette méthode s’appelle l’algorithme d’Euclide.
4. Savoir utiliser le PGCD pour réduire une fraction
Simplifier la fraction
558
324
.
Calculons le PGCD par l’algorithme d’Euclide :
558
=
324
x
1
+ 234
324
=
234
x
1
+ 90
234
=
90
x
2
+ 54
90
=
54
x
1
+ 36
54
=
36
x
1
+ 18
36
=
18
x
2
+ 0
PGCD ( 558 ; 324 ) = 18
558 = 18 x 31
324 = 18 x 18
Donc :
558
324
=
18 × 31
18 × 18
=
31
18
5. Savoir résoudre un problème nécessitant la recherche d’un PGCD
Pierre a gagné 336 sucettes et 238 caramels à un jeu. N’étant pas gourmand de bonbons, il
décide de les donner à des amis. Il ne veut pas faire de jaloux : même nombre de sucettes et
même nombre de caramels. Et il veut tout donner.
Combien d’amis, au maximum, pourront bénéficier de sa générosité ?
Réponse
Les amis reçoivent le même nombre de sucettes et il n'en reste plus,
donc leur nombre est un diviseur de 336.
Les amis reçoivent le même nombre de caramels et il n'en reste plus,
donc leur nombre est aussi un diviseur de 238.
Ils doivent être un maximum donc leur nombre est le PGCD de 336 et 238.
Cherchons ce PGCD à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
Ligne 1
336 =
238
x
1
+ 98
Ligne 2
238 =
98
x
2
+ 42
Ligne 3
98 =
42
x
2
+ 14
Ligne 4
42 =
14
x
3
+ 0
PGCD( 336 ; 238 ) = 14
336 = 14 x 24
238 = 14 x 17
Pierre peut distribuer ses bonbons entre 14 de ses amis.
Chacun recevra 24 sucettes et 17 caramels.
Complément : Règles de Divisibilité
Par 2 :
Un nombre est divisible par 2 lorsqu’il se termine par 0 ou 2 ou 4 ou 6 ou 8.
204 est divisible par 2.
204 = 2 x 102
1 305 n’est pas divisible par 2.
Par 3 :
Un nombre est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est dans la table des 3.
102 est divisible par 3 . ( 1 + 0 + 2 = 3 )
102 = 3 x 34
Par 4 : Un nombre est divisible par 4 lorsque le nbre formé par les 2 derniers chiffres est dans la table des 4.
124 est divisible par 4. ( en effet, 24 est dans la table des 4 )
Pour trouver le quotient, on divise le nombre deux fois de suite par 2.
124 : 2 = 62 et 62 : 2 = 31 donc 124 = 4 x 31
Par 5 :
Un nombre est divisible par 5 lorsqu’il se termine par 0 ou 5.
85 est divisible par 5. 85 = 5 x 17
Par 9 :
Un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est dans la table des 9.
8 325 est divisible par 9.
Par 10 ou 100 :
ou par 1 000
( 8 + 3 + 2 + 5 = 18 )
8 325 = 9 x 925
Un nombre est divisible par 10 ou 100 ou 1 000 . . . lorsqu’il se termine par 0 ou 00 ou 000 . . .
120 est divisible par 10.
120 = 10 x 12
3 500 est divisible par 10 et aussi par 100.
Par 25 :
et
3 500 = 10 x 350 et 3 500 = 100 x 35
Un nombre est divisible par 25 lorsqu’il se termine par 00 ou 25 ou 50 ou 75.
350 est divisible par 25.
Pour trouver le quotient, on utilise le fait qu’il faut 4 fois 25 pour faire 100
350 = 300 + 50 / 300 = 12 fois 25 et 50 = 2 fois 25
donc
350 = 14 x 25