L3` : Simplifier et Réduire une fraction. I Rappels : Propriété

L3’ : Simplifier et Réduire une
fraction.
I Rappels : Propriété fondamentale des fractions et simplifications

Propriété fondamentale des fractions :
Si l’on multiplie (ou bien si l’on divise) le numérateur et le dénominateur d’une fraction
par un même nombre différent de 0, on obtient une autre écriture fractionnaire
égale à la première.
Numérateur = nombre de parts coloriées
Dénominateur = nom du partage
Cela veut simplement dire que,
couper de la même manière toutes
les parts d’un partage équitable
ne change pas ce partage.
a
b
k
k
a
b
a
b
k
k
=
3
4
C'est à dire
a
b
=
3
4
2 6
=
2 8
II Nombres premiers :

Définition d’un nombre premier :
Un entier est premier s’il n’est divisible que par lui-même et par 1.
Exemple :
7 n’est divisible que par 1 et par 7 donc c’est un nombre premier.
6 n’est pas premier car il est divisible par 2 et 3.

Définition de deux nombres premiers entre eux :
Deux entiers sont dit premiers entre eux s’ils ont 1 comme seul diviseur commun.
Exemple : 12 et 7 ont pour seul diviseur commun 1 donc ils sont premiers entre eux.

Propriété :
SI PGCD ( a ; b ) = 1 ALORS a et b sont premiers entre eux.
III Fractions irréductibles :

Définition :

Une fraction est irréductible lorsqu’on ne peut la simplifier davantage, c’est à dire si
le seul diviseur commun au numérateur et au dénominateur est 1 autrement dit si le
numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.

Propriétés :
En simplifiant une fraction
a
b
par PGCD ( a ; b ) , on obtient une fraction irréductible.
Exemple : 4 et 7 sont premiers entre eux, donc
4
est une fraction irréductible.
7
(PGCD (4 ; 7 ) = 1 )
Exemple : le PGCD(24 ;36) = 12.
En simplifiant par 12 la fraction
La fraction
24
, on obtient :
36
24 24 12 2
=
= .
36 36 12 3
2
est irréductible.
3
IV Technique pour réduire une fraction :
On veut réduire A =
2 470
3 230
1) On commence par
simplifier la fraction en
utilisant les critères de
divisibilité.
2 470 2470 ÷ 10
247
=
=
3 230 3230 ÷ 10
323
A=
a – bq = r
Étapes
a
b
r
1
323
247
76

323 – 247
1 = 76
2
247
76
19

247 – 76
3 = 19
3
76
19
0

76 – 19
Donc A =
247 19 13
=
323 19 17
4=0
2) Puis on calcule le PGCD du
numérateur et du
dénominateur par l’algorithme
d’Euclide.
3) En simplifiant le
numérateur et le
dénominateur par leur PGCD,
la fraction obtenue sera
irréductible.
L8’ Exercices :
117
8
et B = - .
63
7
1. Expliquer pourquoi la fraction A n’est pas irréductible.
Exercice N°1 : Soient les nombres A =
117 et 63 sont divisibles par 9 (car 1 + 1 + 7 = 9 et 6 +3 = 9) donc A est simplifiable.
2. Simplifier cette fraction pour la rendre irréductible.
A=
117÷9 13
=
63 ÷9 7
13 et 7 sont premiers entre eux car ils n’ont que 1 comme diviseur commun,
Donc A =
13
est irréductible.
7
3. Montrer, en indiquant les étapes de calcul, que A – B est un nombre entier.
A–B=
8
117
– −7
63
=
13
8
+
7
7
=
13 + 8
= 21 7
7
donc
A – B = 3.
Exercice 2 :
1. a. Calculer le PGCD des nombres 125 et 75 en utilisant l’algorithme d’Euclide.
Etapes
1
2
3
a
125
75
50
b
75
50
25
Restes
50
25
0
donc : PGCD ( 125 ; 75 ) = 25
b. En déduire la forme irréductible de la fraction 75
125
75÷25 3
75
=
=
125 125÷25 5
2. De la même façon, simplifier les fractions suivantes pour les rendre irréductibles :
a. 98
56
Etapes
Restes
a
b
1
98
56
42
2
56
42
14
donc : PGCD ( 98 ; 56 ) = 14
3
42
14
0
98 98÷14 7
Donc :
=
=
56 56÷14 4
b. 441 762
617 848
Etapes
a
617 848
441 762
176 086
89 590
86 496
3 094
2 958
136
102
b
441 762
176 086
89 590
86 496
3 094
2 958
136
102
34
c. 786 591
609 024
Etapes
a
1
786 591
2
609 024
3
177 567
4
76 323
5
24 921
6
1 560
7
1 521
b
609 024
177 567
76 323
24 921
1 560
1 521
39
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Restes
176 086
89 590
86 496
3 094
2 958
136
102
34
0
donc : PGCD ( 617 848 ; 441 762 ) = 34
441 762 441 762÷34 12 993
Donc :
=
=
617 848 617 848÷34 18 172
Restes
177 567
76 323
24 921
1 560
1 521
39
0
donc : PGCD ( 786 591 ; 609 024 ) = 39
Donc :
786 591 786 591÷39 20 169
=
=
609 024 609 024÷39 15 616
Exercice 3 :
Calculer et donner le résultat sous forme d’une fraction irréductible
a. 3 + 8
b. 1 – 15
c. 19 + 14
d. 4 – 11
12
10
18 36
15 10
a. 3 +
8 3 8 3 3 8 ÷4 9 + 2 11
= +
=
+
=
=
11
12 1 12 1 3 12÷4
3
b. 1 –
15 1 15÷5 2 3 2 – 3
1
= –
= – =
=–
1
10
÷5
2
2
2
10
2
c.
19 14 19 14÷2 19 7 19 + 7 26 13
+
= +
= + =
= =
18
18 9
18 36 18 36÷2 18 18
d.
25÷5
4 11 4 2 11 3 8 33
25
5
– =
–
=
–
=– =–
=–
15
30
30
30÷5
2
10
3
15 10
30
6
le premier multiple commun de 15 et 10 est 30 car :
Multiples de 15 : 15 ; 30 ; 45 ….
Multiples de 10 : 10 ; 20 ; 30 ; 40 ; …..
IV Ce que j’ai appris à faire :
Exercices – cours L8
Reconnaitre la divisibilité d’un nombre par un autre.
Critères de divisibilité (chap I)
Labomep : L8_PGCD et
FRACTION
Ex 1
Calculer du PGCD de deux nombres par
l’algorithme d’Euclide.
Reconnaître deux nombres premiers entre eux
Ex 1, 24, 3, 5, 6, 7 et 48
Ex 2, 3 et 4
Ex 4 et 5
Ex 4
Savoir résoudre des problèmes relevant de la
divisibilité de deux nombres par un autre.
Pb 1, 2, 3, 30
Ex 5
Exercices – cours L8’
Rendre irréductible un calcul fractionnaire.
Ex 1,2 et 3
Exercices – cours L8’’
Evaluation
Vous
Prof
Labomep L8’:
Evaluation
L8’_Simplifier, Réduire Vous
Prof
des fractions
Ex 2,3
Savoir additionner, soustraire, multiplier et diviser
deux fractions.
Voir Rappel
Labomep L8’’:
L8’’_FRACTION
Ex 1,2 et 3
Rendre irréductible un calcul fractionnaire.
Ex 5, 6 et 48
Ex 4
Savoir effectuer une série de calculs fractionnaires en
suivant l’ordre des priorités opératoires.
Ex 6 et 48
Ex 5 et 6
Evaluation
Vous
Prof