Entrée en TERMINALES ES

Entrée en T ES
Pour vous aider à préparer votre entrée en T ES, nous avons fait la liste des compétences qui
nous paraissent indispensables. Nous vous proposons également quelques exercices qui peuvent
vous aider. Entraînez-vous pour bien maîtriser les méthodes.
L’équipe de math.
1 Pourcentages
Un capital C est placé dans une banque au taux d’intérêt annuel de 6%.
a) Calculer le coefficient multiplicateur de l’évolution réciproque d’une augmentation de 6%.
b) En utilisant ce coefficient multiplicateur, calculer C sachant que le capital acquis au bout de
trois ans est de 5141€.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 Taux d’évolution et algorithmique
1.a) Le chiffre d’affaire d’un entreprise a subit une baisse de 8,3% entre 2010 et 2011.
Calculer le pourcentage d’augmentation que le chiffre d’affaire de cette entreprise doit subir
pour retrouver sa valeur de 2010. Arrondir le résultat à 0,1% près.
b) Une grandeur passe d’une valeur p1 à une valeur p2. Le taux de cette évolution est de t%,
t pouvant être positif ou négatif. Donner l’expression du coefficient multiplicateur de
l’évolution réciproque en fonction de t. En déduire l’expression du taux de l’évolution
réciproque en fonction de t.
c) Ecrire dans un langage au choix un algorithme qui, à un taux d’évolution t, renvoie le taux
d’évolution réciproque. Programmer cet algorithme et l’exécuter afin de vérifier le résultat
trouvé à la question a).
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.
Le tableau ci-dessous donne l’évolution du SMIC horaire brut en euros de 2006 à 2010.
année
SMIC horaire
brut en €
2006
8,27
2007
8,44
2008
8,71
2009
8,82
2010
8,86
a) Calculer le pourcentage d’évolution du SMIC horaire brut entre les années 2006 et 2007,
puis entre les années 2007 et 2009. Les résultats seront arrondis au centième.
b) Calculer le pourcentage d’évolution du SMIC horaire brut entre les années 2006 et 2010,.
Les résultats seront arrondis au centième.
c) On suppose qu’à partir de l’année 2010, le SMIC horaire brut progressera de 2% par an.
Quel sera dans ce cas le coefficient multiplicateur permettant de calculer le montant du
SMIC horaire brut d’une année sur l’autre à partir de 2010 ?
d) Calculer le montant du SMIC horaire brut en 2014.
e) A partir de quelle année, en supposant que celui-ci progresse de manière régulière de 2%
par an, le SMIC horaire brut aura-t-il dépassé les 10 euros ?
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3 Etudes de fonctions
1. On a représenté ci-contre, dans un repère
orthonormé, la courbe représentative (C)
y
D
5
d’une fonction g définie et dérivable sur .
(C) passe par O(0 ;0)
La droite D est la tangente à (C) au point O.
La tangente à (C) au point C d’abscisse 2 est
parallèle à l’axe des abscisses.
a) Déterminer graphiquement g(0), g(2), g’(0) et g’(2).
b) Compléter les phrases suivantes :
Sur l’intervalle …………, la tangente D est
située au-dessus de (C).
Sur l’intervalle …………, la tangente D est
située ……………………………de (C).
c) Dresser le tableau de variation de g
4
3
2
1
-1
0
1
2
3
4
5
6
7 x
-1
-2
-3
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. On a représenté ci-contre,
y
la courbe représentative (C)
a)
b)
c)
d)
d’une fonction f définie et dérivable sur .
Déterminer le coefficient directeur des tangentes
à (C) aux points A (0 ; 3) et B (4 ; 3)
En déduire f’(0) et f’(4).
Ecrire l’équation des tangentes à (C) en A et B.
Existe-t-il des points de (C) qui admettent une
tangente horizontale ? Si oui, donner, avec
la précision permise par le graphique,
l’abscisse de ces points.
5
4
A
B
3
2
1
-2
-1
0
1
2
3
4
5 x
-1
-2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. On considère une fonction f définie sur [4 ; 10] et dont le tableau de variations est le
suivant :
x
4
2
f(x)
7
0
9
3
10
-4
a) Combien de solutions l’équation f(x) = 1 admet-elle ?
b) Résoudre dans [4 ;10] f’(x) ≤0
c) Pour 7 ≤ x ≤ 10, encadrer f(x).
d) Quel est le minimum de f sur [4 ; 9] ?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4. Une entreprise fabrique chaque mois une certaine quantité de pneus. Le coût de cette
fabrication est donnée en euros, pour q dizaines de pneus produits, par l’expression
suivante : C(q) = 250 -0,001q+100.
q
Déterminer le nombre de dizaines de pneus qu’il faut fabriquer pour que le coût
correspondant soit minimal.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. On considère la fonction f définie sur ] 3 ;+∞[ par f(x) = 4+ 1 .
x-3
4x-11
a) Montrer que sur ] 3 ;+∞[ f(x) =
.
x-3
b) Donner les coordonnées des points d’intersection de la courbe représentative de f avec
chacun des axes du repère.
c) Résoudre dans] 3 ;+∞[ l’inéquation f(x) > 5
d) Etudier les variations de f sur ] 3 ;+∞[ .
e) Donner l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 4.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4 Statistiques
Un test comportant 20 questions a ét proposé à 48 candidats. Les résultats sont les suivants :
nombre de
bonnes
réponses
6
7
9
10
12
14
15
16
17
19
20
nombre de
candidats
2
1
4
5
6
8
6
4
5
4
3
a) Calculer le nombre moyen de bonnes réponses ainsi que l’écart-type.
Arrondir au dixième.
b) Déterminer la médiane, le premier quartile et le troisième quartile.
c) Représenter cette série statistique par un diagramme en boîte.
d) Peut-on affirmer qu’un quart des candidats a répondu correctement à plus de 10
questions ?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5 Suites numériques
1. Soit u une suite arithmétique de premier terme u0 = -1 et de raison 3.
a) Exprimer un en fonction de n.
b) Quel est le sens de variation de u ?
c) Représenter graphiquement les six premiers termes de la suite u.
d) A partir de quel rang les termes seront-ils supérieurs à 2014 ?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Soit la suite (un ) définie par u0 = 0 et un+1 = 2 un ²+3 .
a) Déterminer les quatre premiers termes. (un ) est-elle arithmétique ? géométrique ?
b) On considère la suite (vn ) définie par vn = un ²+4.
• Déterminer les quatre premiers termes de (vn ). Quelle semble être la nature
de la suite (vn ) ?
• Montrer que pour tout n vn+1 = 4 vn .
• En déduire la nature de (vn ) et exprimer vn en fonction de n.
•
•
Exprimer un en fonction de n.
Calculer u20.
6 Probabilités.
1. On lance un dé dodécaédrique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 12.
Si la face obtenue est paire, le joueur gagne 1 point.
Si la face obtenue est un multiple de 3, le joueur gagne 3 points.
Si la face obtenue est supérieure ou égale à 10, le joueur gagne 4 points.
Sinon, le joueur perd 5 points.
Les gains sont cumulables si la face obtenue réalise plusieurs de ces conditions.
a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire qui associe à un lancer le gain
obtenu.
b) Déterminer E(x). Le jeu est-il équitable ?
c) Quel montant devrait-on réclamer au joueur lorsqu’il perd pour que le jeu soit équitable ?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Un candidat répond au hasard à un QCM comportant 20 questions. A chaque question, il
doit choisir parmi quatre propositions dont une seule est exacte. Soit X la variable aléatoire
donnant le nombre de réponses exactes.
a) Quelle est la loi de probabilité de X ?
b) Calculer E(x).
c) Calculer la probabilité pour que le candidat n’ait aucune bonne réponse.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Wallid vient de découvrir sur sa calculatrice la fonction « entier aléatoire (TI : entAléa)
Il exécute dix fois de suite cette fonction pour obtenir 10 nombres entiers compris
entre 1 et 4. On note D le nombre de « 2 » obtenus parmi les 10 nombres.
a) Justifier que D suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
b) Interpréter l’évènement « D=3 » et calculer sa probabilité.
c) Quelle est la probabilité que WAllid ait obtenu au moins deux fois le nombre « 2 » ?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Théo a inséré un CD contenant 20 titres dans son lecteur et a lancé une lecture aléatoire.
Après 5 titres lus, quelle est la probabilité des évènements suivants : (arrondir à 10-4 près)
A : « Le titre n°1 a été lu une fois »
B : « le titre n°1 a été lu au moins une fois »
C : « le titre n°1 n’a jamais été lu »
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