CEA-R-4538 - MASSE LOT ChrlstUn THEORIE

C E A - R - 4 5 3 8 - MASSE L O T C h r l s t U n
T H E O R I E STOCHASTIQUE N O N - L I N E A I B E DE L ' I N T E R A C T I O N
D'UN P L A S M A E L E C T R O N - I O N A V E C UNE O N D E E L E C T R O M A G N E T I Q U E
INTENSE
1
S o m m a i r e . - L ' i n t e r a c t i o n d ' u n p l a s m a é l e c t r o n - i o n avt, : u n c h a m p é l e c t r o m a ­
gnétique intense cat étudiée au moyen de la méthode stochastique de
S T R A T O N O V I T C H . L a h i é r a r c h i e d e s e q u a t i o n s - o b t e n u e s e s t b r i s é e au m o y e n
d ' u n d é v e l o p p e m e n t en p u i s s a n c e d ' u n petit p a n » m i t r e s a n s d i m e n s i o n . L a s o ­
l u t i o n d e c e jeu d ' é q u a t i o n s p e r m e t l e c a l c u l d e s d e n s i t é s s p e c t r a l e s d e s
f l u c t u a t i o n s d e d e n s i t é , a i n s i q u e c e l u i du t e r m e d e f r i c t i o n dyn: i i i q u e et du
t e r m e d e diffusion d e l ' é q u a t i o n d ' é v o l u t i o n d e l a fonction d e d i s t r i b u t i o n s i m ­
ple des électrons.
1974
C o m m i s s a r i a t â l'Energie Atomique
114 p .
-France
CEA-R-45J18 - MASSELOT C h r i s t i a n
NONLINEAR STOCHASTIC T H E O R Y O F T H E I N T E R A C T I O N
O F AN E L E C T R O N - I O N P L A S M A WITH AN I N T E N S E E L E C T R O M A G N E T I C
WAVE
S u m m a r y . - T h e i n t e r a c t i o n of a n e l e c t r o n - 1 on p l a s m a with a s t r o n g high f r e ­
q u e n c y e l e c t r o m a g n e t i c field i s Btudled u s i n g t h e STRATONOVITCH s t o c h a s t i c
m e t h o d . T h e h i e r a r c h y of t h e e q u a t i o n s o b t a i n e d i s b r o k e n u s i n g a p o w e r
e x p a n s i o n of a s m a l l d l m e n s l o n l e s s p a r a m e t e r . T h e s o l u t i o n of t h i s
s e t or e q u a t i o n s l e a d s to (he c o m p u t a t i o n of t h e s p e c t r a l d e n s i t i e s , d e n s i ­
ty
fluctuations,
d y n a m i c f r i c t i o n , and diffusion t e r m s of t h e e q u a t i o n d e s c r i ­
b i n g t h e b e h a v i o r of t h e o n e p a r t i c l e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n .
1B74
Commissariat à l'Energie Atomique - F r a n c e
114 p .
l3
COMMISSARIAT A L'ENERGIE ATOMIQUE
A. 14
THEORIE STOCHASTIQUE NON-LINEAIRE
DE L'INTERACTION
D'UN PLASMA ELECTRONJUON AVEC
UNE ONDE ELECTROMAGNETIQUE INTENSE
par
Christian MASSELOT
Centre d'Etudes de Limeil
Rapport CEA-R-4538
1974
SERVICE DE DOCUMENTATION
1
C.E.N • SACLAY B.P. n 2, 91 190 • GIFsur-YVETTE • France
J
ORSAY
THE
N» d'ordn
I E
1U1
A L'UNIVERSITE DE PARIS-SUD
CCNTM D-OMAY
POUR OBTENIR
LE GRADE DE DOCTEUR ES SCIENCES PHYSIQUES
ChriMkn MAtSELOT
THEORIE STOCHASTIQUE NON-LINEAIRE DE L'INTERACTION D'UN PLASMA
ELECTRON-ION AVEC UNE ONDE ELECTROMAONETIOUE INTENSE
SMMMHM to 28 «ctobn 1»73, dawnt to CommMon d'Examm
MM.
J.L. DELCROIX
J.
H.
P.
V.
WON
SALESCU
OUILLANEUX
PURUTANI
- Raprort CBA-R-4538 -
Centre fEtadtc *c Limdl
THEORIE STOCHASTIQUE NON-LINEAIRE DE L'INTERACTION D'UN PLASMA
ELECTRON-ION AVEC UNE ONDE ELECTROMAGNETIQUE INTENSE
Ctunttn MASSELOT
- Mei 1 9 7 4 - J '.>";
MHHKISWNTS
C * t t * é t u d e a é t é e f f e c t u é * den* l a S e r v i c e da Physique' G é n é r a l e du C o a m i s a a r i a t a. l ' E n e r g i e A t o n l q u e . que MM. P. DELOBEAD a t G. LIDIN q u i n ' o n t a c c u a i l l l
d a n s c a s e r v i c e t r o u v a n t i c i l ' e x p r e s s i o n da n a r e c o n n a i s s a n c e .
J ' a d r e a s * *»a r e n e r c i e n e n t * l a * p l u s s i n c è r e s à N. l a
Professeur
J . L . DBLCMIX. q u i a d i r i g é c a t t e t h e s e a t n ' a f a i t l ' h o n n a u r d ' e t r e p r é a i d e n t du
Jury.
Ja r o n s r c l a M. 1* P r o f a a s a u r J . YVOH q u i a s u i v i d* p r è s chacuns d a s e t a p a s da c *
travail.
Has r e e t e r c i e n e n t s v o n t é g a l e m e n t à M. l e P r o f e s s e u r R. BALESCU a t s e s c o l -
l a b o r a t e u r s pour l ' i n t é r ê t q u ' i l s ont p o r t é & c a t r a v a i l e t l a » é c h a n g e s
fructueux
q u i a s ont r é s u l t é .
J a ne s a u r a i s o u b l i e r MM. C. DWJT3CH, Y. FURDTAN1 e t J . PBYRAUD pour
1 * Tireaiin c r i t i q u e du Manuscrit e t l e a r o n a r q u e * c o n s t r u c t i v e * a p p o r t é e ? .
J ' a x p r i a * « a p r o f o n d * g r a t i t u d e a P . GUXLLAMEDX q u i M'a r e ç u au s a i n de
s o n groupa d* r e c h e r c h a . XI n ' a J a i a i s c a s s é d* n e g u i d e r , da ne c o n s e i l l e r e t a
c o n t r i b u é à l ' a h o u t i s a a n a n t de c e t t e t h e * * par s a c o m p e t e n c e , s o n a i d e e f f i c a c e
*t
aaicale.
J e r e e w r c i * é g a l e m e n t t o u s l e s c h e r c h e u r s du groupe a i n s i que D . COLOMBANT,
de l e u r c o l l a b o r a t i o n a a t l c a l e a t c o n s t a n t * .
Ca t r a v a i l a a t l a f r u i t d ' u n e c o l l a b o r a t i o n q u o t i d i e n n e a v e c G. d l BONA.
J * l u i s u i s r e c o n n a i s s a n t . d ' a v o i r p a r t a g é c e a a n n é e s d* t r a v a i l au c o u r s d e s q u e l l e s
s a s o n t n o u é e s d e * l i a n e qui ont contribute non s e u l e m e n t à 1 * a b o u t i s s a i e n t da c e a
t r a v a u x , amis a u s s i a l a n a i s s a n c e . , d ' u n * a m i t i é c h a l e u r e u s e .
7
Ma* E . BOHITACIO, Mlle S . MALESTE et'Mme A. SERVAIS ont a p p o r t é beaucoup
da s o i n à l a p r é s e n t a t i o n da c * mémoire a t j a l a s e n r e e n r c i * .
J e déd: <J c e t t e t h e s e à n é s p a r e n t s q u i n ' o n t donné d i s l a p l u s jaune Age
1* g o u t «*• l ' é t u d < , à na fessa» G e n e v i e v e e t à « e s e n f a n t s pour t o u t e l ' a i d e m a t é r i e l l e a t noral* a ' i l s n'ont apporté*.
THEORIE STOCHASTIQUE NON-LINEAIRE DE L'INTERACTION D'UN PLASMA
ELECTRON-ION AVEC UNE ONDE ELECTROMAGNETIQUE INTENSE
i.
INTRODUCTION
:
H . MODELE CINETIQUE
.-
11.1.
Introduction
11.2.
1
*
:
g
" 9
Equation du Mouvement d'un* particule
1
0
11.3.
Ordre d* grandeur dea Interaction» coulottbiannea
12
II.k.
Méthode da STBATOHOVITCH
1
- II. 5.
II.6.
Dascription statistique du system onda-plaua
Réduction da la hiérarchie-
3
17
;..
23
H.6.1.
Equation d'évolution da la fonction de distribution simple
zk
II.6.2.
Equation d'évolution'daa fonction» d« di»tribution conditionnelles
...
31
II. 7 •
Conclusion
,...
III. FRICTION, DIFFUSION ET CORRELATIONS DE DENSITE
IV.
•
'.
36
37
III. 1.
Introduction
37
III.2.
Equation d'évolution daa corrélations dan» un repère oscillant ..
38
ITI.3.
Densité spectrale des fluctuations d* densité
45
III.4.
Friction par polarisation et diffusion
50
111.4.1.
Friction par polarisation
50
111.4.2.
Terwa da diffusion
52
CONCLUSION
APPENDICE I.
57
CALCUL DES CONKELATIONS DE DENSITE
A.1.1. Correlation» conditionnelle»
. A.1.2. Corrélation» de denaité
61
'.
gl
6k
A.1.2.1.
Corrélation» d* densité ionique et électron-ion
6k
A.-1.2.2.
Corrélation de denaité électronique
66
APPHDICB IX.
COWBLATIOIIS DS DWSITE BAM CHAM» XXTBRIZUR
69
AFMMKECS XXI., n p O U B Ç7i«TE<)OT SrOCMASTIQOZ M L'XNTSXACTXOir D'UN PLASMA
OEM! itaCTMÔMMlMBTXVn I*r«WSB . . . .
1*1 • • • • • • P a r t i s
: • t o c h a a t i c Irln-tti r l n t a r a c t i o n s t r o n g waYa-plaanw
iatsraction
O. d i •OCA and C. KASMLCrT
S t o c h a s t i c k i h a t i c ttaaory o f « t r o n c vftva-plai
intaraction
I. Kin*tic aquations
Q. di BONA and C. WL38MLOT
Traisisa» Partis : Stocka*tic kins tic tnaorjr for plasam in strong
•.- alactro—gnatic fialda
XX. Friction and diffuaion
\
C. HASULOT and G. di BONA
71
Z.
IMTllODUCrXOPI
I
La. dacouvarta an 1962 da laasrs pouvant dalivrsr daa inpulsions luninsusas
da duras tr*a csurta (qualquaa nanossc codas) at da tri» grinds puiaaanca (qualquaa
g i « w a t t s ) m yxvrt aux physicians un vast* chsnp d'inTsstis^tion.
Start donna laa dsnsitss d'snargl* consida'rablsa qua l'on paut obtsuir an
labsratoirs an focalisant un faisceau laaar aur una cibla* l a p o s s i b i l i t é da chauffs«a du d M t i r l i a ( D ) s. plusieurs a i l l i o n s d*,d*fr*s Xslvin a été ratanua \j\j presqn* aussitôt.
Ce» aapoira n*ont paa été dlçus puisque laa preniers nautrons [_z] produits
par rsactisn D-D dans un pleana urée par laaar ont été obtenus an 196?» at actuelleaa>nt da aanjwauaae fqulpea da rechercha sont engagées dans catta vola pour obtanir
das plaanas encsrs plus chauds at sneer* plus dansas an vua da raaliaar l a "break1
•T*n" (i*}. . . . . , , . . . -
\-
m l i a i s o n avac cat important objectif i l « i t necessairs d'e'tudisr touts
una cassia d**ffsts~aouvaawx, notassent tous Isa nlcanissss non linéaires da 1 ' i n t e ­
raction du rayonna nent laser avec l a région du plaana erase, pour laqualla la trans­
fart d'anarcla onda-plaana e s t le-plu* intéressant.'
Afin de cosnaitra l a s caractéristiques d'un t s l plasna, considérons par
sassnO* 1 ' inasmetien d'un falsosau l s s a r arse una cibla dedsutsriun s o l i d s .
La f s a s l l s n t l s n du faisceau à l'intarisur da la cibla pamat una concen- "
tratisn «•l'émmrciai «ans un dsnalaa dont la dianatr* na dapasss pas qualquas d i saines 4a> nacrsns. -•
Ou nsdsl* hydrodynssiiqua d* a FJU^VZOPKH *t PXOCX (V) décrit 1> «Volution
du ssjasMSjans k partir du nanant on 1* Milieu sa de* tend en direction du laaar sous
l ' a e t i e n dan haut • s «manions as***i.*«s à la f orta densité at a la hauts tenpsratu- '
m *M plaawn *r4*. ••
. Las profils da dansit* s t de tsnperatur* des alsctrens qui sont resrssen- .
ttfs sur la figure ( l . l ) sont extraits du nodsle ci-dsseus at sont an bon accord
avse l a s résultats;experinsntaux.
,>
.
La sons nan perturbée aat cenetituee par un solids à forts densité at à
tssniraturs prssqus aull*.
La sons sous choc s s t à forts densité" s t à température non nefligsabl*.
La sans da détente s s t constituai par un plasna dont l a dsnsité* s s t f a i bla dsvaat call* du s o l i d s . Dana catta région l a tsapersturs calculas s s t da l ' o r dra da qualquaa containss d'ilectrons-volts.
1
-a -
T.
4-S.V
K
n
•
i'J
X
atn
pratton
h»c
- Pifura (1.1) La. daoaita qui corra«pond au tranaffart d'anarfia onda-plaaam la plus intaraaaaat aat la danaita* da coupura n
pour laqualla la fraquanca ul da l*onda laaar
aata'cala a la. fraquanoa pla aam "alac tronlgua ««>*.
Ï
.* *" "c *£
• " . • - > -
..
Laa qnas.tit4a.q- at • rapra'aaataat .raapaatiTaaamt la sfcarva at l a amaaa
da l'alaatraa. Basa l a .aaa dhaa laaar au naadjna» qui *aat tam raya—aajant da ïraqaanca ut * 1,« 10 . jadiaVaafiaMla, l a aaoaita daieaupwa aat\>„ 3 l O • l a c t r a n . / o a .
Caci parawt da aituar'an t a l plaaam dana la il 1 agTaaiia daaaita taaparattira
prapaaa aac J.L. MLCMCX -f*J a t rapraatata rigara (1 . a ) . .
ttk paut. aaaatatar ajaa l a plaaaa « M par laaar 4aat l a aaataita aat v a i a i na da l a aaaaaaa 4a aaarara aat mLtmi daa* la aaamlata aaa plaaaaa alaatiquaa olaaaiqaaa axar ralatlviataa, at qua la jaraaatra da dtfvaloppaavnt daa famtiana da d i a t r i bwtlaa aaaiaail latraduit mat n i l nt par I W I I I I [5] t
1
5
21
Q
/
;
.
.
'
;
.
.
,
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.
^
aat imfarlaur à l'aaita daua la sono coaaidaraa.
•
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.
3
»••<.
O
jlonoapharo eouoha F
O
dacuarga guauaa à faibl* intensité"
®
daenarg* 4-asauaa à forte :.ntanpit*
0
intérieur daa nainaa blanohaa
0
caa étudie ici
ca aleotrona dans laa netaux
- Pleura (1.2) -
^ i n t e r a c t i o n farta aara caractérisée par la rapport da l'enerrie thamiane kT à l'énergie :
d'un electron i e e l l soumis au eaasn? électrique S cos ta t da l'onde extérieure.
81 l ' a n trac*,, à tawnaratura. eenataote, l'évolution du rapport kTA «n • •
fonction da"1 'imtenaitâ' du ananas lleotrique a* l'ende laesr, on volt sur l a figure
(1.3) «aa ca reassert aat i n f e r i e w à l'unit* paw daa canape électriques d'intensité
supérieure à 1(r v/eei a$ daa teentératuree da 1'ordra da quelques centaines d ' é l e c trema-relta. Caoi correspond à un laaar au néodrme da puissance 1 QV focalisé aur
un il—Ins da 10 n de dlanatre au da puiaaanca 10 tW pour un dlnaetire da 30 fi, ca
qui aat an ban accord avae laa résultata at laa réalisation* expérinevtales actualla a.
.
E
T)
Ouida par ca» réeultata, i l aat deaei-emia possible da préciser laa princ i p a l i s nynecheeee d'un nadele théorique destiné a. approfondir lea nécanlanes d'intaractian d*env nlasant avec una ends électromagnétique intansa da fréquence vt v o i sina da In freejuanea pi nana électronique ML. ,,
Bmu l a sjeawre eè la plmaam n'eat pas ' r e l a t i v i s t s , l a vitesse daa p e r t i culaa reete faible devant oalla da l a luniere *t 1'action du cbjuap nejtnétique aat
négliajeefcle «avant oalla du eaasap éleetrique.
•>'aaaara part, aaatsana la>- frianenss .da l'anda éleetrrHaaasiétiqne extérieure
aat TatriT *a In fWensass aaneem alaatrsniqs»^ la caaan> élaotrique extérieur
transversa newt être eeneidéré' aaaaa» pratiquansnt hoarefene. '
. t a f i a . aams .in.naaura .envie- tosveemtua* du; pis ans aat aaaaa élevée, la
•Issnls— 4a, «alidade»- binaire aat nratigninset négligeable. Dana oaa oanditiona
laa in*eaw*rtJ*ne antra laa auetioules sont laiiaatepent ooulonfciasmaa.
Q
"*
^^^-^
• F i r » - * (1.3)
-
* ^ ^ Q
Ava« aaa hjrpataaaaa, l a syatama comatitua' par l a plaaam an i n t e r a c t i o n
avae 1'amda <laetriammajl t i q u a a x t l r i a ù r a aat d é c r i t à l U c h a l l a •lcroacopiqua Q s )
par I'amaamM* daa. éamattama. am aauvaawat da cnmqua p a r t i c u l a j d ' t i p k * a ( a • a ou
l ) amma l ' a a t i a a i < a a f a r a a da'tarmiaiata r a l l i a au ahamp a x t < r i a u r a t d'una f o r ç a
alamaaira aw ataafcaatiama ami carraapamd aux i n t a r a o t i o c a couloabianwa E :
Î
0
*
I
S ^ o " * H''*
"&•<?.*+..
(1.1)
1 * t a m j a a t a l r a M i a j a w da camaua p a r t l o u l a aat aiauaofdala at. l a a i n t a rmatiam» «aamamfciaamaa a * trammlaimt par daa f l u e t u a t i o u a da f * * b l a amplituda autour
da « a t t a t r m j a a t a i r a mayaana.
^ Vfe am -am. l i m i t a .Max • a e i l l a t i o n a ' i a i i a fra*uaiioa du plaaam i l aat a u f f i « • * * • aamaadarirlai;plaaam aoamm urn amliati canatltua* d'aMaotrona d i a o r a t a a i t i U a
dama am famd p a a i t i f aamaimw* ( ï - é j , m*ia<eatta d a a a r i p t l a n na t i a n t paa compta'daa
a a r r 4 l a t i a * a paaalalaa a n t r a l a a alaotrona a t l e a l o n a .
miam sataadu eaa correlation^,qui résultant daa lntaractiona coulombiannaa
na pauvaat paa ttra caaplatamar-*-.négligé»*. En a f f a t , la doamina ^nm» frsquanca daa
oacillatiama a« plaaam ast **a*ralama»t. <iorci.î* par la* iona.
, Ma •artlouj.iar lsrsqua l a tamjnav invm alactroniqua dsviant aupariaurs à la
t •ami'ratura iaaiaaa Ta > Ti, 11 apparaît (*j.'....plus da la raaonanea plaaaa alactroniqua
uaa ma w a l l » ra*asaam«s an. baasv fraquanea.
D'amtra part l a s dansitss spactralaa daa plu—ta da labor*toir» ont daa
propriata'a ami diffarant da maniera catastropmiqua da callaa obtanuas thaoriquomant
au »ayan «a aa*l plaaam d'<lactrams. Par axaapls dana la caa da l a diffusion incoharanta daa amdaa rflactrgamf!**tiguaa par tut plaaam, l'llarciasaawnt flopplar du signal
diffusé aat oaraetariatiaua da la vltaass thsrmiqua daa lona bian qua ea «oit las
«lactraaa oj*l salant raspamsablaa da l a diffusion.
• a f i n «m madala cinatiqua dû à DAVSOM fg>] awntra qua l'introduction d'ion»
dissrats aM#aaata la r e s i s t i v i t y du plaaaa Juata au-dassua da la ' • quanca plaaam.
•ian su* «atta auaaantation s o i t faibla,(da l'ordra da 1)1) pour una distribution
Clama alsatalra, a l l a paut davanir pré'ponda'rr.nta pour una diatribution d'ions non
tnmrmlqaa.
I l a s t dame aacassalra d'itandra la aoaals plaaam d'alactrons [_6-8j au cas
d*am pissa» oamstltvi par daa ions at das élactrooa diserats an intaraetion avac una
andfc alaatraamspUtiqua axtariaura intaaaa.
La paraaatra £ qui caracta>iqa l'ordra da crandaur daa lntaractiona coulaamiaamas paut étra axplicita an normalisant dacs l'aquatioa ( l . l ) l a position at
l a vitaaaa raapactiTanant par 1'excursion at l a v i t s s s a naximala d'un «lactron iaolû
dama la champ da l'onda, at la taapa par la parioda da l'onda axtariaura. Ca paraastr» t apparaît alars eomma la produit da trois paramatraa :
1
- »* « « J smatlant da l a fraguaaoa da l'onda axtariaura par la fraquanca plasma
p slactraaiqwa j
- ft* * ~—T iavaraa du noamra da particulas dans una spfaàra d» Dabya ;
1
-K
W
3/*i
qui caractariaa l'intaraotion forta.
La farca atocaaatiqua axtariaura paut donc ttra conaidartfa coma* faibla s i
l a fraamano» du champ axtariaur aat voisina da la fraquanca plasma alactroniqua, s ' i l
r a uai «r—il »oa»>ra da particulas dans una sphsra da Dabya, at ai la champ axtariaur
ast tria latamsa.
.Dama ma pramiar tampa on iaola l a coaxwaanta alaatoira du mouvamaat da
chaqua partioula an sa plaçant dans un rmpir» da l'aapaca daa pbaaaa dans laquai on
amaarva umiqmaamnt la mauvaaantt atoobaatiqua daa particulas.
^
Alara l'aaaaabla I n i t i a l daa aquations du mouvamant ast raaplaca* par un
ansamsla d/'aajaatiaas stoohaatiquaa qui paut ttra traita par l a aathode da
anuTOawiTcH [10].
- 6 -
Dans cas conditions le système ast décrit au premier ordre en 6, paramètre qui caractérisa l'ordre de grandeur des interaction» couloeibiennps, par una
hiërardhie d'équations qui gouvernent las fonctions de distribution a une particule
conditionnées ou non par d'autres particules. Il est en effet nécessaire d'introduire une fonction de distribution conditionnée par le présence des autres particules
pour tenir compte de la polarisation du Milieu par la particule test observée.
Cette nouvelle description, sioins complete que l'ensemble initial des
équations du mouvement, présente néanmoins beaucoup d'intérêt dans la mesura où la
plus grande-partie de l'information que l'on peut atteindra expérimentalement apparaît dans las premières équations ua la hiérarchie.
En effet, les grandeurs macroscopiques mesurables (densité, pression,
température, ...) sont les moments de la fonction de distribution simple.
En utilisant un développement en cumulants P11J dans lequel on auppose
que les corrélations doubles sont d'ordre un, et qua lea corrélations d'ordre supérieur sont négligeables, cette hiérarchie, différante de la hiérarchie B.B.G.X.Y.,
se réduit à un système fermé d'équations dont 1* résolution assez difficile nécessita un traitement de pe.'.urbation.
Enfin, en développant les fonctions de distribution autour de li tr valeur
• joyanne, la système est décrit au premier ordre en £ par uii .Jeu d'équations couplées
qui gouverne la fonction de distribution simple et las fonctions de distribution
simples à uns condition.
L'équation cinétique qui gouverne la fonction de distribution simple électronique est du type Pokker Planck,
Elle comprend un terme de friction par polarisation qui représente la
moyenne du champ électrique du aux autres particules influencées par la particule
test observée, et un terme de diffusion lié s. l'amortissement, qui résulte des corrélations des forces agissant sur la particule test à. deux Instants différents.
L'évaluation de la fonction de distribution moyenne qui est solution de
l'équation cinétique sans terme source est simplifiée si l'on observe le plasma dans
un repéra oscillant avec la champ extérieur. En effet, dans ce repère elle est indépendante du temps, ce qui conduit dans la repère initial à un résultat comparable
à celui da SILIN Q a ) .
La résolution du Jeu d'équations qui gouverne les distributions conditionnelles ast obtenue dans la repère oscillant au moyen d'une transformation de Fourier
Laplace en faisant l'hypothèse raisonnable que la susceptibilité diélectrique ionique est négligeable an haute fréquence, «t en supposant que les conditions initiales
sont négligeables pour les corrélations doubles.
On peut ainui évaluer toutes les densités spectrales des fluctuations de
densité qui sont reliées simplement aux corrélations de densité, et par là mime les
termee da friction *t de diffusion qui dépendant à la fois dee électrons et des ions.
Cas quantités qui sont d'un grand 3 itérât pour la description des phénomènes de diffusion des ondes et des particules par le plasma ont pour limite las résultats habituels donnés par MOKTGOHERY Uz] dans la limita où la champ extérieur s'annule.
D'autre part, on peut constater que les résonances correspondent non seulement aux modes propres du plasma, mais aussi à des modes supplémentaires dus à la
présence du champ extérieur qui ont notamment été mis en évidence par STLXS n'tj.
L'équation cinétique finalesient obtenue peut être considérée coanw l a généralisation de l'équation précédaaannt établi» pour un plaana d'électrons [BJ qui,
a l l e - a i i e est una extenaion.de l'équation de l'équation Balascu-Lenard au cas où l e
ctaaaH> électrosmgnétique axterne eat tria intense.
II.
MODELE CnfEïiqUE.
n.1. introduction.
La systems étudia, constitue* par un plasma électron-ion en interaction
avec -una onde électromagnétiqua extérieure intense, peut Atre décrit da Meniere
complete par 1* ens sable des aquations du mouvement da chacune des particules qui
constituant le plasma.
Le mouvement d'une particule résulte de l'action, d'une force déterainiate
due au champ extérieur, et d'une force aléatoire ou stochastique qui correspond aux
interactions arec les autres particules.
Il est possible d'isoler la composante aléatoire du mouvement en se plaçant dans un râpera de l'espace des phases dans laquai on observera uniquement la
mouvemsnt stochastique dea particules. La transformation canonique utilisée aet directement liée à la trajectoire moyenne de chaque particule qui correspond au mouvement déterministe.
Dans oe nouveau râpera le système est désormais décrit par l'ensemble des
équations stochastiques du mouvement da chaque particule. Un problème similaire a
déjà été étudié par (jo) STaATOHOVTICH dans la cas ou la composante stochastique
est faible.
. .
.
L'ordre de grandeur des interactions coulombiennes est caractérisa par un
paramétra petit qui tient compte de l'interaction forte et des propriétés collectives du plasma.
Dama cas conditions, le système est décrit au premier ordre vis-à-vis de
ce paramètre par une hiérarchie d'équations qui gouverne les fonctions de distribution à une particule conditionnées par la présence,d'autres particules.
Cette hiérarchie d'équations couplées différente de la hiérarchie
B.I.G.K.T. peut Atre réduite à un système d'équations en utilisant un développement
an cumulants f u j des fonctions de distributions multiples* et un développement dea
fonctions da distribution simple et à une particule conditionnée par una autre autour da leur valeur moyenne.
L'équation cinétique est du type Pokker-Planclc avec des termes de friction
et de diffusion qui résultent de la polarisation du milieu et des corrélations entre
las particules.
IX. 2.
equation du mouvement d'un» parti cola.
Considérons un plaaaia non défénéré an intaraetion avec tina onde électromagnétique extérieure intansa da fréquence ut voisina da la fréquence plasma électroniqua w*.
Ca fa* complètement ionisé ast constitué par X électrons (a) et N ions (i)
situés dans un volume T.
La champ électromaan*tiqua qui règne à chaqu* instant an chaque point du
plaaaia ast la superposition n$\ du champ électromagnétique extérieur E „ A » t ) *
ÏT_*(** t) at du champ électromagnétiqua aderoacopiqua E (x, t ) , H (i, t) dû aux
particulas du plasms.
x
Dana caa conditions la partlcula J d'espèce (C (a • a ou i) situés au point
x"à l'instant t ast soumise à la força électromagnétiqua :
v*
Tf - ^ ( î . t )
+
T„ (x-.t)] + q ^ A [ T ( * , t ) ÎT (x-,t)]
t
a
+
xt
{2.1 )
Dans l s caa d'un plasma non r e l a t i v i s t s l a s vitesse* das particulas du
plassm restant toujours faibles davant l a vitesse d* l a lumière et l a composant»
da l a força du* aux champs magnétiques, qui ast d'ordre ~, devient négligeable.
'/-^.('.^•Vxtf*-')]
2
2
<->
D'autr* part, si. l a température du plasam ast »**ex élevée la mécanisme
d* c o l l i s i o n binaire e s t pratiqusswnt négligeable.
te e f f e t , la.fréquence d* c o l l i s i o n électron-Ion est une fonction fortement décroissant* de l a température.
On pourra donc supposer que lea interactions antre particulas résultant
essentiellement du chaffip-electriqu* microscopique-E^i?,:. t.) qui ast ds nature eculombienne, puisque nous avons négligé l a composante due au champ Magnétique :
*J*.*) - £ E* ISJ(t)--ît
|-îi(t)-Tl
(2.3)
Il s'onauit qu* las oscillations longitudinales associées aux fluctuations de densité Il6J sont supposées prédoninantea davant toute oscillation électromagnétique transverse.
X* longueur d'onde du champ électromagnétique transverse dans le plasma
est doanée en premier* approximation par l'équation da dispersion daa ondes transversas correspondant au nodal* plaana froid :
a.-^.-j-giS-
(2.4)
Dans l s cas ou la fréquence o> de l'onde électromagnétique extérieure ast
voisin* d* la fréquence plaeew électronique ot*, la longueur d'onde das oscillations
devient tria grandi devant l a longueur da Debye X du plaena. I l aat alora possible
da considérer 1« caanap électrique coaaw pratiquenent honogene.
Q
,(x,t) - •
coa - t
(2-5)
C a d parlant à négliger conpletenont la chanp nagnétiqu? dan» la doaauna
daa rréanenoee valaisea da •»*, puiaque la chanp électrique aat irrotatiotmel. L'axaB M
du rapport d«a énergiee uaeoeiéae an cfcanp électrique at au et:Map Magnétique
confira» Q Q la validité de cettfi approxinmtloii.
(2.6)
Dana ca* canditiona laa particulaa ont en preaiare approxlnation unr trajectoire neronne détarartnée par l a cheap électrique da l'onde extérieure at lour
viteaee i n i t i a l e .
K
Si f . > (xff, v^) rapraaaata la poaltlon at la vita sa* da la particule j
d'espace M. (aï • « on i ) do charge q_. et de naaaa n_» la aouvenent non perturbé correspaad k l ' a c t i o n du cheap extérieur t
— ï~
coa — t
Q
• ^
°«- -U*
(2-7)
Loa fluctuntiona autour da la trajectoire noyatme a ont duaa à la force
d'interaction oeuloabieane antra la. particule coneidérée at laa (2H-1 ) autres.
r°
•v#S j ^ [ 4 i I ^ Î
(2.8)
oa p / a
L'éojnation du neuveaamt do la, particule j d'eopeco OC aat donc l a auperpoaitiaai d'un tara» détemiaiate du aM cheap extérieur e t d'un terne atoebaetique corux ln»arac*ione oenlantlongea;
'tf-'fih*-*)* ""<%*•*>
(2.9)
L'eaeeeale de ces équations du nouvanant daa particule* conatitue une
doaorlptien eeajilete du plaaam an Interaction avec l e cernent électrique extérieur.
La. résolution approchée Qoj d'un systen* d'aquations stochastiques s s t
possible dans la cas ou l a cenpaanute aléatoire aat f a i b l e , i l aat donc nécessaire
d'évaluer l'ordre d* crandaur das Interactiocs coulontoiennea.
d
I I O . _9rtfT * TTiTaT ?*T interactions coulonbiomios.
Si l'onde électrons«nétigue extérieure est tree intense, l e s électrons peuvent acojaérir dans la chanp de 1'onde tma énergie -voisins de celle q u ' i l s auraient
a ' i l s étalent asula dans la cheap électrique de l'onde.
(2.10)
Dans l e cas ou e s t t e énergie «*t supérieure ou de l'ordre de leur énergie
thermique, leur trajectoire Moyenne e s t sinusoïdale e t l e s interactions couloabietinas se/traduisent par des fluctuations de faible amplitude autour de cette trajectoire •dyetis QoJ.
Les ions de nasse beaucoup plus grande que c e l l e dea électrons répondent
falbleewnt a l'excitation du chanp•extérieur, leur trajectoire noyenno est r e c t i l i gse arec une p e t i t e ondulation due au chanp extérieur et des écarta atochaatiques
qui correspondent aux interactiona cdulonbisnn »s.
Le paramètre 6 qui caractérise l a force stochastique s'introduit naturellement en norsmlisant la position, la v i t e s s e , et l e tenps par la longueur caractéristique :
,
•
•
•
•
•
•
;
.
^
-
-.%
la vitesse caractéristique t
le tenps caractéristique : — -
)•» « Y-,*»
(2.11)
Les grandeurs caractéristiques X-, *t V_ eeat raspeotlvenent l'excursion
t d'un électron i s o l é dans un chanp extérieur B coa w_t.
. ce nouveau repère, l'équation (2.9) du au>uvenent d'un électron
(2.V2)
(2.13)
#(?«* - ^«*)
an l'a« a pas* :
^"-^.-i^T
(2.14)
La paraaAtra C dapand du paraaAtra habituai da daTaloppaaant Introduit
autrafoia g n MMTOCm at KOSIMCOTH [5} £, » 1/n ï j , du paraaatra £ . (kT/2 W,.) ^
at du raya art antra l a friquanea du ehaap axtariaur at la frlquanca plaaaa. tflactronlqua » . 2» .
3
2
2
^Tbm
3/a
(2.15)
Daaa l'kypotkaaa ob ta M M* at V- > kX, la p a r a î t r a < at V sont infêriaura au 4a l'ardra da l'uoitti. 81 on supposa an outra qua la noabra nAJ* da partieulaa caatsauaa dana uaa apfcara da Dabya aat fraud davant l'unité (n rapraasnta la
daasit» • t y a w daa partlculaa * • * ) , alors £, aat patlt davant l ' u n i t é at la paraatttra f qui dtfflxit l'ordra da cranaaur daa iataractioas couloabiannsa aat t r i s
patlt daramt l'talttf (£ « M ) .
L'axlataaica da ca pmï'imktrm qui raad compta daa proprKttfa collaeti-ra» du
plaaaw a« MOT*" ** ^ •* *• l'-Urtanaita" du obaap axtariaur par 1 ' intararfdiaira da afraid pasalala l ' u t i l i s a t i o n , da l a arftfcada da STUT0KOTITGH.
2
n.k.
4S_jatfSM£32S&-
La aystaaw 4*s iqaatisKS du mowraawnt daa partlculaa tal qua (2.9) paut
étra itwAXé am aayaa «a la mé taada da résalutiaa. daa aquations at «ha* tiqua» propottaaa aaar l a praaiara f a i s par «1UWO¥ITCTI (io) at adapta* par 90 [17) at
0O«UU [it].
Famr aa la 11 aat aaeassalrs dttftwdlar la anuraawut da ekaqua partlculs
dama 'x* rapara da L'aapaea daa paaaaa» dana laquai on obsarrara uniquamant la mouTaawmt ataamaatlqaa daa partlattlaa.
Ca mamVaam rapara aat litf au wawyatnt non parturb* da la partieula obaarvif qui aat afctaau par slapla iatAgim^lan da 1'aquation du •ouvamant f.*» P ( f j » t )
K
f «(t)..(t.t .f« )
J
0
ii
C
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a
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fj (*a) " fjî " * ( o o » fjo* •
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i
>
*jÔ ^ * "" o
t
1
(2.16)
t
" • »''o .>
Laa nmrvallaa poaitiona at vitaaaaa ifj dana oa rapara résultant da la
tranafo l'ait ton aanoniqua :
* ' - "^o-ÏP
'
(2.17)
•*"••>•*.>*")
p * r coi u> t - coa a> t
s"-^-*.»^
'•'l',',f "Mt,t.j')-
._
n
o_„ .
+
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^
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j
••.:....
J
v"**-*- { l i n t A t - aln * o t )
L
81 Botta affaeiona d'un iadica u ou ^ * 1,2 laa coàpoaantaa da f. ' P * t
î t F , la Mowraaant da l u particula J dana la nouveau rapara aat
t
S, S
, F
0
"dTT " T t ~
* ^
v
T^â
- *^a
:1
dt
.
pwiaajwa «t-« d
-vg
In u t i l i a w t t
T
a r " o v "»
•t la fait çMa la tiowraau rapara iapoaa :
•aawni »,un ajrataaa)
ajrataaia d'a~qua,1
La proltlaaa aatraannrf
d ' a'qua.tiona atochaatiquaa t
3 _ :r-.-..j..r
:
... ,
,
•-!
•'.»î -_.'-._i#
7/ .«*?
(2.1»)
La força stochastique f 7 ^ dan* la nouveau râpera s'évalua au moyen de la
tranafoi natina invarsa (j.17) •
Pf
(2.19)
X<a svstene (2.1A) das équations du nouvenent daa particules *st analogue
an aretes* t
x « iT{x,t)
(2.20)
déj». étudié par HMTOMOYITCH ( j o ] . Haia ce dernier néft-lige las corrélations antra
l a t area -F at.-la distrlbutian i n i t i a i s da la variable x ca qui, dana la caa da potentiels 1 ini1iia*jl*iia, ne parant pas notannent da tenir oonpte da la polarisation du
nillen sans l'action da la. particule.observée. .11 aat donc nécessaire d'introduire,
cessM l ' a f a i t SO [17J, des fonctions da distribution à une particule conditionnées
par la présence des autres particulas.
La nétfcode stochastique da SÎKATOlfOVTTCH nodiflée par SO et OGDHLANA [te]
aat applicable dans la cas 06. la força aléatoire eat auffisajaasnt faible pour que
l'écart via-à-vis da la situation.initiale x(to) * xo reste faible et puisse être
développa par rapport au paranetre
s{t) - x(t) - x
* t *
1
Q
+£
« + ...
a
Es. nouvelle variable aléatoire Z(t) est la différence des variables aléatoire a I(t) at T « X(t - 0) « X(0).
Sa fonction caractéristique, dans lé caa où l'on sait que T prend la valeur
y est par définition la tranaforwéa da Fourier de ia densité d* probabilité conditionnelle D_(x/r - y) sachant qua T • y.
• * { « / T - T ) - / • * ' " B ( « / W ) d.
X
2
(2.21)
iu
D ( « A ^ ) « ^/.- ^ (u/r-y) au
Z
Bile peut encore s'écrire 1
2
,. -
P\< u/r-y) - 1 + f
*
n«1
^ < &/Y. » y >
o4 l'on « u t i l i s é la définition da l a moyenne eonditionnelle-d'un* variable aléatoire t
•/£hjLmfr*y)iP
d« -
n
<Z /T-y>
Ceci parant da réécrire l a densité da probabilité conditionnelle sous une
nouvelle forne :
i o
»,(.A.r) -/du[i • £ * & £ < z » / w > . - *
i
+
z
/r
y>
" f ' ÎÎ -(" $ " ^ * ° " ]
tM
(a
-
22)
•••arnanwa q u ' i l r a aquivalansa antra l a donaita da probabilité conditionM l l a da X aaehamt T « y at ealla da X aaobant T » y.
t
(2.23)
D^x/T-jO - B f c ( w / r - y )
Hafutlliaant eatta proprlata (2.23) at aa. affactuant la aoyanna aur T dana
(2.22) p am obtloat la danalta da probability da la rariabla alaatoira X :
n<x,t) .[i•> f^ ;J-(-£)"< «"Afo)-»*] »(*,»)
. (1 + L) D(x,o)
où l'on a poaa I
X - X(t) , T » X { o ) , D ( t ) . C(x,t) , n ^ y ) - »(r,o)
x
L'aqmation d e v o l u t i o n da oatta danaita da probability a*obtiant à l'aida
da l'aparataur (1 + L) at da aon inTaraa i
»^f'*> - i D(,,o)
yi D(x.t) « i ( l + t ) " ' D ( i , t ) ,
(2.2»)
La oaleul daa aaurataura conduit, aw aacaad ordre an a, à l'aquation d e volution da l a danalta dà prabajalllto do l a variabla alaatoira X.
'fff',** - {-* & [«'(x.t)A(a) - « >
• i£<
j t F(x.t) F ( x , t , ) A ( o ) - x > d t , ]
* '* » ? J ^»(».'). Ffx.t^Al.) - x] dt,
£
* ' nTè'"''
t , t ) / X (
)
>
« " * / * » < x . t ) A < o ) - x > < t , ] D(«.t)
a
1
r
ou K aat la fanotiaa da oorrolation t
K(«,P) • < « * > -
<« > < p >
(2.25)
. O a t t a 4aamtiam d U r a l v t i a * c o t u t i t a a doua taw n o u v a l l a d a a c r i p t i o n d u a y a t*a»ra#it p t r l ' ^ U M
ataataatiqûa i a i t i a l a
i
II a'afit
-
t
ir(i,0
aa f a i t d*una iaaufa • i i a p l i f i t f a du p r o e a a « t u a t o c h a a t i q u a ,
qua c a t t a n a u v a l l a d a a e r l p t i o n a été,
a b t a w a an e o n a a r v a n t u n i q u a a a n t l a a
t a r a a a d u d^Taloppaaiaat daa opaYataura q u i i n t u r v i a a n a n t dana I ' l q u a t i o n
( 2 . 2 4 ) q u i f o u r a r n a l ' t f r o l u t i o n da l a d a n a i t â
1
da p r o b a b i l i t é
1
pula-
praniara
axaota
da l a t i r i a b l a
alea-
talra*
II.3.
D a a o r i » t i a u i t o t l a t l o a » du a r a t a a »
Dana l a nauvaau rapara da l < a a p a o a daa phaaaa l i < a a.u Mouvsaant non p e r -
t u r b a , l a « O U T a — a t daa p a r t i e u l a s a i t uniquaavtut da n a t u r e
-ey
*,
etoiiliaatiqt».
c
La Mt.tl.oda u t i l i a a o p a r STTUTOHOYITCH a a c t f n ^ r a l i a a i a a r f d i a t e a e n t au can
ofc l a a v a r i a b l a a a l t t a t a l r e a a o û t a w l t i & a w n a i o n M i l a a
a t p a r oonaa*quant
•'appliqua
diraetaaMMit aw a y a t e a e c o n s t i t u a par l a plaaam an i n t e r a c t i o n avao una onda < l a c troaaaaattique
extérieure.
(2.«)
Daaa a a t t a a a a m t i o n l f i a d i e a r , « > ^ - a i « n i f l a
«M t a a g a ( t + « - ) • a t K a a t l a f o n c t i o n da c o r r e l a t i o n
I(«,p)•= < à p > -
a
c
« c i B t q »
«if'*iV"
if
:
< a > <t ".'>
• n r i n l a a nniannaa t n l l a a aw*'< 9 ^ V < l ^ ( t )
t l i a a a l l i a 4a J £
qua l a f o h a t l o n « a t aTaluaa
B
"„ f>
aont daa nojronnaa e o n d i -
-
• n « t l l l o o n t l a d e f i n i t i o n ( 2 . 1 9 ) da l a f b r o a a t o o h a a t l q u a jf
aamai naha
t
•>•
t & .
L «?
dana l a
i l . a a t paaaibla «V «aAcular ton* l u U n a s aai <o»a«oaaat' la aaeond aaabra da ! • < «jaatiaa (*•*£) qui cauvanai VaVolutiaa da ft(^,T).:Oa aa coatantara da prtfaantar
la oalaal d*aa atul'dt « • • taraaa.
Bar avaaala, la aaeand tana* a'aerit :
•...••.:
, Mm
A,,-!:
w
. . . . . . . . .
-
. — ^ • - f < . ' i ¥ - . O i ? . * . K >*:-••
<*•">
Pawr faira réapparaîtra laa n r i a k l i i poyaiquaa intdraaaanta» x at v*, i l
aat afaaaaalra d'affaetuar la clMapaaant. da -raviabla iiiv«raa (S.17) qui paratat da
pnaaar daa .if aux * .
j r- t
L* dwait< d», » r * « H l l t < s>*crit d a » 1« r.pir» du l . b o r . t o t r . :
am J aat la jaaaUaa da l a traaafoiafctiaa.
Qa v t r l f i a aiaaaaat «ua ea jaoobiaa aat égal- à l'unit* :
». •
% -
^^<rv"
% '
1
(t-t )
De.na caa conditions, laa ^laannts différsntiala d'une fonction da ij. et da
g
»D(f, .t)
^.«.^««•g.îïï^
3S
U
t
- * » * * . * ) - * f ; - J & - Ç •••?&•--.*
Oai paut Kinal ivaluar par exeaple la aacond tara* (2.27) du awabra de
droit* da l*aqua.tio« (2.2&) qui [ o u n n u l'arolution da D f ^ * , ^ :
< t t
)
" « 1 ^ /"< i t f ^ "
l t
«
)
• '-f. ><*•''*.>-•
J
/
»*r t -t '*t
* * i • * -t > I
o
•*i
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^ • f o »(*•«• ^ > « -
•*i
• "1
••t.-t'"i
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0
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8
v
i
J
t
" i
o
- i
â
r
i
' t -t
**i
1
*o-*
1
Au cours de la transformation les conditions initiales deviennent :
i
~
_«.
C
T ooa oi t, -
coa <*> t
sf - f*. * • £ - [ — * - h =
f - "U- <"*" "o*! - "
in
- - <*i-«.) •*• % *,J
"jJ
Etant donné la grand noabre de particules contenues dans le volune V, il
•st préférable d'utiliser la fonction de distribution à une particule définie par :
L'équation, d*évolution de la fonction de distribution à une particule
s'écrit fijial*Ment dans 1* repère du laboratoire :
S .
ffi,t
-g
il
/
. S sa/fa
O
>,r
1
J ï
1
J
t -t.
1
a
-
_,a
Les tenses
P
sont évalué* au temps ( t +cr) :
T
1
= rfs- ( t,,t . $«>. v O
o
• r f s f t , * » - , ^ , S-'ft,,^, f , " ) , t,+<r]
(2.29)
La point où la chaaip Eg. est évalué a'obtient a partir des ays tfeue8 (2.16)
•t (2*17) qui définissent la transformation canonique.
Le chaap Eg- représente donc le cbaap coulowbien au tenps (t. +cr) où se
trouverait la particule au Bsae instant si elle avait suivi une trajectoire non
perturbée.
Enfin les wiovenûos telles que < f". /t.
(t ) > doivent être calculées à
l'aide des fonctions de distribution conditionnalies du type :
t
/
,
*î/i<fi"« i Ï!2 >
=v D
a
a v o
i/a<?i **i^2 ' V
°
A = a o up
(2
*
30)
Inéquation d'évolution de la fonction de distribution simple est donc de
la fora* :
( h * f • & " ?" ~ -. *, • T£S) «f - W& )
<»•* >
La Méthode de STRÀTOTïGVTTCH s'applique égale«ent aux fonctions de d i s t r i bution conditionnelles Multiples t e l l e s que :
a
A2
«,A-,(f, .«,/?2 -*2 • • • • • g ' W » v ,
D
^.Vif.V...;^)
/ 2
(2.32)
où :
D
l/2.... k(?1 »VF2 . t l . . . î f
t
9
fc
.tj
=
•
'
•
rt2
T^T—
(2-33)
e s t l a densité de probabilité conditionnelle de trouver l a particule 1 d'espèce CL
an t
au teapa t. sachant que (le - 1) autres particules d'espèces A sont en £
au teapa t (n * 2 , . . . , le).
n
n
En e f f e t , l e s particules ( 2 , . . . , le} conditionnant une particule 1 d i f f é rente, e t :
»i.i....*ffi".Vfî*.* •-»??.«!*>
obéit a l a mtm» équation d'évolution que call* de D,.[f**, t . ) .
Ainsi l'équation d'évolution da l a fonotion de distribution conditionnelle
obéit à 1<aquation
3
i
*r^â
O T
J
i
*
3
r?tf s a , 01 <A
< TSE^I
t
-t,
1
o x
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2
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?
* -M-^B < ^"'-f-^ >1 /"< W" *'>
>'l
L
T
J
»1
t
1/1
(2.35)
-t.
Ici les Mjrtiuui font intervenir deux conditions, ce qui supposa la connaisu n c B d'iou fonction de distribution 11 deux conditions telles que :
#V.«,4?.«» •#.*,>.
Plu* a-énérale»ent l'équation d'évolution de la fonction da distribution à
le condition* g, ,
dépend da la fonction de distribution conditionnelle g. .
com-
portant una condition supplémentaire..L'ensemble da cas équations fors» una hiérarchie d'équation» différentielles qui dependant las unaa des autres :
(2.36)
avwc k > 1 , sinon il s'agit de l'équation (2.31 ) qui gouverna l'évolution de la fonction de distribution simple f*.
Le système initial dea 2N équations du Mouvement de. chaque particule du
plasma, couplées par l'intermédiaire du chasip coulombien, est donc remplacé par un
ensemble da 2N équation» différentielles; couplée*, qui gouverne l'évolution des
fonctions da diatribution à une particule, conditionnelles ou non.
- 23 Il faut capandant rawurquar qua la quantité d'information contanua dans
ca nouvaau système aat inférieure à calla contanua dans la system* initial das équations du mouvement qui constitua la description la plus complete du plasma an intaraction arec la champ extérieur.
En effet, la hiérarchie d'équationa (2.36) constitua una approximation
du système initial :
1
ll-id+D" D
(a.37)
puisqua las opérateurs L at (1 + L ) ~ ont été évaluas au sacond ordra.
II.6.
«eduction da la hiérarchie.
La. plus er«jide partis da l'information qua l'on paut atteindra expérimentalement apparaît, dans las premierea équations da la hiérarchie (2-36), qui constitua la nouvelle dascription du plaaata an interaction avao l'onde extérieure intense. Par exemple, les momenta da la fonction da distribution a une particule sont directement relias aux grandeurs macroscopiques (densité, vitesse de fluide, pression,
temperature, flux de chaleur).
Four obtenir 1'equation cinétique du system» onde-plasma, il est nécessaire de briser cette hiérarchie d'équations couplées au moyen d'un développement qui
tianna compta da l'influence das coi"rélations antre lea particules. Ceci est réalisable au moyen d'un développement en cumulant [18, 191 das fonctions de distribution multiples qui interviennent dans 1* définition (2.33) des densités de probabilité conditionnelles.
Dans la cas d'ur plasma, Iss interactions coulombiannes aont à longue portée il sembla cependant raisonnable d'estimer qua.la, probabilité d'existence d'un
amas da (n + 1) particule: ~ très proches an interaction eat bien plus faible que
celle d'un amas da n particules. Ainsi les corrélations * (n + 1) particules peuvent atre considérées comme négligeables devant celles à n particules.
t
Au premier ordre de ca développement en cumulant la hiérarchie dea équations, (*.36) sa réduit aux deux premieres qui gouvernant la fonction de distribution a une particule f? at lea fonctions da distribution *-. ,. à une condition.
La résolution du systes» d'equationa (2.38 ) , (2.35) condensé" an (2.39),
(Z.hO) coMduit À l'équation cinétique du plasma an intaraction avec la champ extérieur.
IX.6.1.
Equation d^évolution_de^la. fonçtlon da_dli|trlbutlon siaigl*.
u|
-
bans ca paragraphe, ainsi qua dana la suivant, laa equation* d'évolution
•ont écrit»» dana la ayates» (2.11) dea coordonnées normalisées.
l a s quantités normalisées seront notées l u i * , afin d'alléger l'écriture.
Sn supposant qua la fonction da distribution à una particule eet homogène
apatialeaent, l'équation cinétique s'écrit dana la system» normalisé :
T
• 1
' "l J - t ,
1
1
* *l
*1
On peut.choisir ! • i sans restreindra la problème, 1*equation d'évolution
da la fonction da distribution ionique s'en déduira l — ltiilatsmant en replaçant a
par 1 at vice versa dans l s reeultat obtenu.
La calcul des différents tara»s eat effectua au preader ordre en utlliaant
- un développement an cumulant daa fonctions de diatributiona multiples :
- un develqaaiiant des fonctions da distributions simplea ]
f
«1/1 " 1
+
i K
l/l
•a Jfj at 54T| u aemt supposées être d'ordre un an Ê.
La «ietrilmtion stoyenne ff| * f-
- Jf., correspond aux particules sans i n -
terectie*. savsleea an cluuep exterienr siaweoXdal, « l i a obéit à l'équation d'évolution da l a fonction ne distribution s i n p l e , dans laquelle on a aigligi
l a tarme
aource.
(ïîr - C • - -.*. • "àO *T«*f•*• > - »
1
<*-* >
L'écart Sff à catta fonction da distribution noyenna ^
correspond aux
fluctnatieoui d« nature stochastique duaa aux interactions coulonbiennes.
Lo tara» de oerrelation doubla a una condition a*obtient à partir de la
définition (t.33) da la fonction da distribution conditionnelle et au moyeu du déTelippi—nt a* ounulant de la densité* da probabilité à daux particules.
t
Las ternes a. évaluer sent da trole types :
*-
<•?•/•,•.>
7-i* <^V-Î »
0
•valuena par exemple l a tara» B.
Las natations sont oensidorablemwnt a l l é f é e a an posant :
<(*?. ?J> « * [Sf - *?.-• ?<>, • r.t,,«, ) - ÎJ]
avec :
£"(*,. V tj) - [«•• t, - co. t + (t,-t ).in t j j j "
2
2
Avec oette noTollo notation raamrojnons 'que :
Sana aaa eonditione, la terne B se decompose an quatre ternes da typa
distinct i
/
... « -
x
(,r
|
,
MÇ ( S * - ^ • S w<.^ )}A% >
£
* ' * < S i [ ^ ' - ^ ?] [ ^ *<i*r >]/iV>
£i<
(î
v
t<
,>
/
,
** - - ^ r ^ * « ' * ] [ i V ' ^ ] * ' °
>
aM MtlllsBBit l'hypota*** d ' lnolacarnabilit*' daa paxticula* at la. d é f i n i tion da la. anyaaaM pria* a l'aida d* l a danalt* da probabilité, chacun d* caa t*r•aa a* daooapaaa an ana aaaaw da tarawa idantiquaa.
Far asaapla la tara* 1
a'aorlt :
+
• a âpaalant T la voliaaa dana la aystaaM da coordonna» du laboratolra
n • "^ rapraaaata l a aanaita da partloulaa d'un* eapaca.donna* par unit* da TOIUBM.
Itaat donné la grand aoatira d* partloulaa qui constitua 1* plaaam :
o
H-1
-
¥-2
?-- — *V
Par dafialtion da la noraaliaation t
ï-^^"«o^(è)
Hiilmrt 1
ï . _1_ T
7?
• t la tara» ï , n radult à i
D
I.Ï/I*I
-S
'fi
«*i
+ < r
/*i<,' -
, .
D
,
(
1 *1o'V
raprtfaanta l a daaalta da probabilité da trourar l'alactron 2 «n «ï au taapa t- at
•m#j.
aa. taapa t, + o~ aaobant qua l'alactron 1 atait I B L Q I U tanpa t
* 0.
Plwa canaralaaant i
1
V—.VH"
f i * ' * '—' W ^ S '•••'?' '-•*'*• <>
"y,
^.uj
^ f r ' * ! ' - ' t j - * j »?;.*i' i - » > ; . < )
raprtfaaata l a d m j t < da probabilité <U trourar ! • • particule* (i. m f
1
t (m • 1, . . . j ) i i r t w t qaa ! • • particules u «ont «n J k t ( m • 1, . . . , k ) .
a
(
Faar aalottlar ». au p r i t w »rdra i l ' a u f f i t da calouler D_ _,. à 1'ordre
aara at D_ -,.. au praatlar ordre.
Ba utilleaat. le'derelopaaaeat en c—ulant (l.-.a) on peut calculer D„ „,..
3
"a.s/i -»,(*)» ( >.;• v
< a , : , )
3
p1
3
D
3
* v * > i?(îi * 3< > - * f [ I i '
aait am atillaaMt la définition du taraa da corrélation doubla t '
• i j d . j ) - » ( 1 , J ) - D ( l ) Djfd)
±J
£
D,(3)
M*)
B
i,3/i
•
D
- * y » ) »,<" * » , 3
< s
'
3 )
D
(
- i .3 ''
3 )
D
1
B f n r * i .«f •*>
e$h
Jn paut définir una fonction d« distribution doubla à una condition i
««,3/1 "
f?*,l/1
pour das partloulaa 1,2 it 3 distinetas.
Plusffaneralaewnton définira, las fonctions da distributions conditionnallas i
« J A < * I ' * I '•••' ?j>yf!'*!
••••>fk.*i)
. yj D <f, , t , , . . . , f j . t j / f ; , * ; , . . . , j ; . t i >
avac J f k ( V
Dans cas conditions Ï
3
*a,3/i " " *..M*> M >
+
f
2
( a , 3 >
+
a
M > *Vi
t 3 p 1 )
f
* i
( 3 >
c
i/i
( 2 / 1 )
Pinalaaant la sacend tara» da ». s* réduit à :
pulsqna l a s intégrales du type
sont m i n a s par krpotnase da l'lmnÉiénéité spatiale.
• n oa qui eonofiat l a praa&ar tans* da B qui doit i t r * évalué à l'ordre
mare, on paut supposer qua l a s particules sulTant una trajectoire non perturbée at
pax consEquant i
1
,
... :-.»2»ï.*i)»[fî .-.''<v'-*i'f;)|..
La fonction d s l t a parcat d'effeetuar 1'intégrâtion sur ft* at on obtient
La tana» aL s ' é c r i t donc au praadar, ordre t.
Da aalaul a—legae paut être effeetue pour »», oar l a s tars»* ladloas j
at k eeaeerneat l a aeaae type da particule».
+
(î,
,
>
d
? • / $ *° * ^ ^ M * ^ " ^ / . «»•*!*>»*•*.> *?«i'*i>li tp
*'• .#* .*•
» o
ÂTac
*o
. 'o
t
•n oa qui eonoarna las terswa a.
at B. , las tenses indices J at k sont
relatifs à das particules d*espèces différente*. Le calcul est alors saablabla à
celui du preaier tara» di 1. 1
a
% - - dtfrs *&*& $ï *<*•*»> '<%«& v«fr*i > *Hfi.*i> îl "?3
On sentre, par un calcul analogue, que les tarses du type 7 se réduisent
au preatier ordre à 1
-^/^«^)»^.«i.*i/-,*.K
,
>
at ajue l e e têra»*-de type C sent nuls, par suite de'l'hypothèse da l'fcoatogeae ite
spatiale.
Des» ees coéditions, l'équation d'évolution de l a fonction de diatribution
alSJpla pear l a s electrons s ' é c r i t dans l a system da reference du laboratoire t
Laa axprasaiana daa tarmaa da friction» £ at da diffusion &**,35*
font
intarranir la oouplaca antra laa <lactrc«ia at laa iona Bituma daaa la okaap axtiriaur :
1
(î
- Ixf-ïç *o î4) ««ft <*î. v«iV>«**
<*•**>
raprtSaanta l a tara» da f r i c t i o n t
(2.J.J)
rtprJHBt* 1« t*»M d« diffuaioa 41«ctron-41*ctron
.4
(».*«)
raprdaaata la t*ra» da diffuaion «laatron-ion.
L«. «tMtitia Ç\ £*<VVV •* C ^ V V V •
**
« V o u * ' t, - eoa ut t_
r
© VV*J> - „(
* Jt
onfc d é f i a 1
1 :
*" P**
aln k> t „ \
«-» * <V'*> — 3 ^ )
- L'Jaaatiaa elaitiqua (2.J|3) pant aUcrira aoua una fama diffa*ranta i
(
*?•£-£;&*
5o)
*-
Daa* l'a^amtiaa (*.5*)i «Mi défiait *J*, la praadar tarma ^J rapr<aanta
la naaap ataya* a* £ da «ax aatras partieulaa influaaca'aa par 4* partloula taat dont
mamm vawlaaa aaloalar "1» foîaetiaai 4a diatriWtiaH. Caéi a'axpriaa au anyan daa fonctlaM. d* dlaaadaat^aaa • laiitiaawallaa ^«f/,. P**" **• «.utraa partieulaa, 4tant donad ajb» l a aaraiawla «M* aaa. M M i a n m a aat an aJ a Ifiaatant i n i t i a l .
1
B
Q
•' La aaraia ^ * airiiagaaM daaa a' 1» friatiao. pax palarlaaclen.
La aaeaad t a n a da S^* ,rapra'aaaf l'aawrtiaaaaiant qui r**aulta daa corr*"latiaaa daa faraaa aar l a partloala .Wit à diffiraata inataata.
H.4.2.
Baaatiaaa d'aWatjtaa daa faaatiaaa da diatrikutioa* coaditioanal'iaa.
L'laaatiaa d'a>ol*tian d* l a foaetion da diatrlbutioa oonditiaonaila daaa
la ajrataa» (t.11> daa aaaffdwaUaa maaajallaAaa a>4arit i...
•«'^/^-«.^.^
I
Las t a r a a » * o a l c u l a r aaa>t £a daux typaa :,.,
,
'
. •• ••mlwaa.a par. * a a a # l * mm t a r a a a > . typa 4,',
L
a
p a r t l a w l * * • '4 '**. typa A Jaa* a * r * l * p a r t i c u l i a r pmiaqu*alla apparaît
(
coaaw eaanUtlak diàaàV la.'aiiyaaiia.» i l « a t dona adaaaaaira da a i p a r a r l a oomtrlautian
j
da. ahaaa> oaalaajhia» ajwl a * L t « a r l a p a r t l a w l a n» 1 dus à la. p a r t i c u l a »• 2 d ' t i p i c *
'
A da s a i l * daw awx awtraa p a r t i a m l a a .
!
«va* l a a a o t a t i a n a t
a
J-t
J=1
W,
H
ai p = A
Motona qua •*- aat la ayrttola da Kronackar :
v
a
< - l ) * * « -1 . 1
A. a
« +1 a l
A fi «
Ea utiliaaat l'hypotfcaaa d'indiacarnabillta daa particular, la tara» A"
1
« £ . (-O »/^ * . # . # »#*<?£ V-?o-° . rfV*""
La tama B^yï
aat d<J* d'ordra un an C» i l faud donc calcular :
à. l*ordra aara, o'aat-à-dlra an auppaaant qua l a particula nuarfro 2 d'aapàea déc r i t una trajaotoixa non parturbaa.
»Mfaï.*ltf..«. <tf*2>
»(<o^>(^*«)»a^^(*,^)-yxs.« .t )3«[<-^-^-(^%*,--i»<%t ))
a
2
a
•
•
"
•
•
•
•
•
•
•
•
•
(
J
.
5
,
)
- 31* Au premier ordre en £ il reste :
J
- »(=•) <-i)'""^*p?-S-l*.-«»>3-Ç <VVV]
Le calcul des ternes du type B' se conduit de manière analogue.
Au premier ordre -n 6^ il reste :
J t=,
«X,
La fonction da d i s t r i b u t i o n conditionnelle s ' é c r i t alors dans le s y s t è *
des coordonnée» normalisées :
o
/
L'équation d'évolution de SS|/« **t obtenue an développant g^ ,^
f
+
«1/1 = i **i/i
at an retranchant l'équation d'évolution de ** (f, ) de celle de £,/.,•
1
!
- ? v à;[à* '&& *"
J*»1
• EZM-I)
(
& v#.« >^ *î"9f•*. >
2
^ { ^ »Q?-ÏM v ^ - F**, ^.*.8]<W.*P
Enfin, 1'équation d'évolution de few* s'écrit dans le système de référence initial :
;*.)
tér ^ • è • * ° - ^ • &) '##•*-**•*
?
£ r ^ [ ^ * [ ^ - < V « > ^ V V V ] j <*<??.',>
2
(a.52)
Dana cette dernière équation S-^ est le symbole de Kronecker, et l'indice
0 est différent d« tt ( M
*) " * e « = •, i et 0 = e, i. Il s'agit d'un jeu d'équa-
tions couplées» par exemple l'équation d'évolution de g,/, dépend de g,*/*,
et celle
de «Jj, dépend de «JJ,.
Il est intéressant de remarquer que dans l'approximation au premier ordre
le tara* de diffusion de l'équation d'évolution des corrélations disparaît.
II.7.
Conclusion.
La stéthode développée ici conduit à une équation cinétiquo pour un système
de particules chargeas an interaction avec une onde électromagnétique extérieure
intense.
A ce stade on peut faire quelques coesMntairea sur la méthode suivie conparativement a, certaines autres.
Le formalisa* provenant de la hiérarchie B.B.G.K.Y. ou de l'équation de
Vlasov est bien adapté à l'étude [20] f2lj de l'interaction d'un plasma avec une
onde électromagnétique faible ou Modérément forte.
Une autre approche intéressante provient de l'équation de Fokker-Planck
qui a été proposée à l'origine pour le mouvement Brownien de particules qui subissent de nombreuses petites deflections aléatoires. Cependant, quand cette approche
est appliquée au problème de particules chargées, il apparaît quelques difficultés
à cause du comportement non Markovien du système et des interactions coulombiennes
à longue portée (22] QtS).
La méthode stochastique non Harkovienne utilisée peut être appliquée avec
succès, même dans la cas où le champ extérieur est si intense qu'il devient prédominant sur les autres forces.
Dans le modèle développa ici, les trajectoires moyennes des particules
sont déterminées par le champ électrique de l'onde et les interactions entre les
particules donnent lieu à den fluctuations autour de ces trajectoires moyennes.
Dans ces conditions le système est bien décrit par une chaîne d'équations
couplées gouvernant la fonction de distribution à une particule et les fonctions
de distribution conditionnelles.
Cette hiérarchie d'équations a été briaée au
cumulant pour les densités de probabilité multiples et
de distribution simple h l'aide d'un petit paramètre £
propriétés collectives du plasma et de l'importance du
moyen d'un développement.en
en développant les fonctions
qui tient compte a la fois des
champ extérieur.
Au premier ordre en & le système est alors décrit par un jeu d'équations
couplées, gouvernant la fonction de distribution à une particule et les fonctions de
distribution simple à une condition.
Il faut remarquer que l'équation cinétique a la lorme d'une équation de
Fokker-Planck généralisée, dans laquelle le terme de diffusion et le terme de friction dynamique apparaissent directement sans utiliser des techniques de coupure fâj
ou des considérations physiques sur le comportement diélectrique du plasma [_2^J*
Il ost désormais nécessaire de calculer le terme de friction par polarisation, les densités spectrales des fluctuations de densité, et le terme de diffusion, afin de connaître complètement l'équation cinétique du système.
III.
III.1.
FRICTÏOM, DIFFUSION ET CORRELATION DE DENSTTE.
Introduction.
Si l'on observe le pias»* dans un repère oscillant avec le champ extérieur,
lea particules se déplacent selon des trajectoires comparables à celles qu'elles auraient en l'absence de champ.
Dans ce nouveau repère la fonction de distribution moyenne devient indépendante du temps, et lorsque l'on revient dans le repère initial, on trouve un résultat comparable à celui de SILIN [tiQ.
Moyennant une transformation de Fourier-Lsplace et des hypotheses simplificatrices concernant lea cjrrelations initiales et la réponse des ions à l'excitation du champ extérieur, m peut évaluer le terme de friction par polarisation qui
dépend a. la fois des électrons et des ions, et les densités spectrales des fluctuations de densité qui sont directement reliées aux corrélations de densité.
Les résultats obtenus sont comparables avec les résultats usuels donnés
par MOMTGOHXRT ft S] dans la limite ou le champ extérieur disparaît. On peut également remarquer que les résonances apparaissent, non seulement pour les modes propres
du plasma, mais aussi pour des modes supplémentaires dus au champ extérieur. Ces model, correspondent a. la relation de dispersion déjà obtenue par SILIN M4J pour un
plasma en interaction avec un champ extérieur intense.
Dans la. limite oî la masse des ions devient infinie l'expression des corrélations de densité se aixrplifie et le terme de friction obtenu n'est pas différant
de celui obtenu pour un plasma d électrons- foj. Ce qui n'a rien d'étonnant dans la
mesure où des ions immobiles ne peuvent pas contribuer à la polarisation.
1
Par contre, le te^-me de diffusion comporte un terme correctif par rapport
au terme précédemment calculé dans le cas d'un plasma d'électrons, puisque les ions
discrets* mime immobiles, participent à l'amortissement qui résulte de la corrélation des forces sur la particule test observés.
L'expression des densités spectrales des fluctuations de densité est fondamentale pour l'interprétation de la diffusion des ondes ou des particules, en
particulier la section efficace de diffusion Thomson est proportionnelle à la densité spectrale des corréla'kuona de densité électronique.
L'équation cinétique obtenue apparaît cowee une équation de Foldcer-Planck
feméiblisée, dans laquelle J.e terme de friction dû à la polarisation du milieu sous
l'action de la particule test considérée, et le terme de diffusion qui correspond à
i
- 38 l'effet statistique da 1» correlation daa forçaa aur la particule taat à différent*
instruits, a'introduisant naturellement, an ne faiaant aucune daa bypotheaaa habituelles (6, 2k].
III.a.
Equation d'évolution daa corrélations dana un repéra oscillant.
La résolution du Jeu d'équations coupléea (2.52) qui gouverne lea correla-
tions conditionneliaa £*%/* « t néceesaixe à l'évaluation daa terme» de friction et
de diffusion (2.*>, 2«*5, 2,k6)
qui interviennent dana l'équation cinétique (2,1*3),
D'importantes simplifications apparaissent ai l'on observe le plasma dana
un râpera oscillant avec le champ.
In effet, dana ce nouveau repéra défini par la changement da variables :
T
= t
r
y - « X*
«
^
COB I* t
o
.tf'.^H.^-.ln^t
(3.1)
l a s particules ae déplacent salon daa trajectoirea comparables à c e l l e s q u ' e l l e s
auraient aa l'alisemce da champ . extérieur.
!
Dana ces conditions, lea expressions des termes de f r i c t i o n e t de d i f f u aion, e t l'équation d'évolution des corrélations conditionnelles deviennent :
•» ^w^^-^n-ç-sw «s **; **;
{
(3.3)
\
]
- * & £ rf 4 "** c*.^>$f**«-tt>-tf = * ^
» r^lSj) J^,(^.^.t
i ,1
1+
a
i
fdr(-2-*<fï«i-â_*[Vî
+.-îi'
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JdjTj d u
3
<*>
*™ V
-1)
Ji
». _ i _ J s * s * . ,
«T»C t / P
t
t >,T» •?»« " " "0*11 , « . , * ,
(3.5)
L'équation d'évolution da la fonction da distribution aoyenn» qui obéit à
l'a^uatisa d'évolutiaai da la fanotion da diatribution à una particul» dana laqualia
on aéglic* la tara» aouroa :
(à; - S" "• -.S &) «W•*!' • °
6
<3- >
a i t iadéaaudanta da taaapa dans la rapara oaolllant :.
*>?<*.*">
ca qui antral»»
r^CÇ.r) - ^ ( î f . o ) , ffcîf)
Soit, pour la fonction da diatribution Moyann» daa particular du plaaam dana la rapara initial :
•**#>> *tt-'?.•'
Si on adaiat qua l a fonction da diatribution i n i t i a l » juata avant l ' a p p l i cation du chasa? axtérlaur Était aaucwaliianna on a :
*<*•>s (*f-
*[-•& * : .5" ?&>'] <»>
Ca résultat a déjà été ofatanu (l4) par SILIH.
Cat axasapla praoia atontra l ' i n t é r ê t da aa placer dana un repara o s c i l l a n t ,
• a l s la daajré da siaailification introduit na paraat paa ancora la résolution du jau
d'équation» coupla»s qui fauvarna l e s corrélations conditionnelles.
I l »at nécessaire d<effectuer una transformation da Pourier-Laplace, définia pour l a tranaforaation da Fourier par :
-s T-
*f(^> - T^TT / «P<i *•«) ¥($<«=
(an)-*
*o* J—
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I axp(- i 2.x)
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(x)dî
(3.8)
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J
'a+ia
. a«p(pt) (p)dp
n>la~ '- "{*: l ~~ '
V(p) « I axpt-pt) l^ltjat
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(3.9)
- 1*1 -
On aora anon* à utiliaar la daraloppaaant da :
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quand a - A
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oot la fonction do Boaool d'ordro n o f I
(3.11)
lo oyabolo do Kronockor.
A C U M du oouplago ontro loo oodllatlono du plaoom ot loo haraonlquoo du
cboo*> oxtdrlour il oozm pritiràblm
d'utliloor la tranafornmtioa do Loploco oouo lo
V(»«j .
J oip'[i(utou. )t] V(t)dt
(3.12)
0
•'a
Loo toxnoo- do frletlon ot. do diffuolon apuoxaioooiit aloro oouo la tozno :
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0
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p
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*£«Ç.1.*>
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(3.11)
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»^(u*,
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l,2)->:u
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(3.15)
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(3.17)
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(3.18)
:
1
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C ' . * ) - « ^ C S . - , . ^ . I , ) - ^ / * - ? ^ >?,"(•=, ."?••>, . V ^ . - , )
(3.20)
o* l a foaotloa d* •orra'latiom-F «at dtffini* par' t
»"(?,.*, 1 fc.« > - D ^ . t , ) D»(f,..,) • F ^ f c . y ,
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at a'aarityau praa&ar ordr» (VJ t
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3
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La fonction da eorralatlon doubla da la danait< <L^. •at raliaa à la danaité
apaotrala f~_ daa fluctuation* da danalt< par la ralatian t
•il..
•£<*,.», , kj,^) . J d», a», J dt, dt, .xp[4(S,.S; *£,.£( * n,t, •a t,))
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1
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(3.83)
- 43 -
vnrin,- laa fonetiona u
aont dtfflniaa par t-
oà laaquantltaa du typa IjJJ «ont laa inta'gralaa habituallaa [25) :
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(3.26)
Infin; la Jau d'a'quati.ona coupllaa (3.5) gourarnant laa corrdlationa condltionnallaa 6a*/, • • * tranaforfrf.an :
l(«jj + p.» + k,.ùf) >tf/ (k,><4'»>|
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>t IL^ wwt o b f n u n t
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_« *.ft<v*«,-^.*v«-.>
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par f ° (ug), puis *n intagrant aur
S£ paur l'aauatloa d'avoiutioa da o j " i
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(3.30)
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(3.31)
La Mlaul du tara» da f r i * t l a » 9£ (3*13) at.-daa oorrflatlona doublas da
danalta* «ï*(3.3») adaaaalta la aaam*laaam«a daa corrélation* conditionna lia» t
«a w n l
t t i * mmlxmUtm k partir «• (3.*7) •
, "a D~(l )
am •ama.aaamt «ma l a * aarr<l*tlaaa imiVUlaa i
n •» +ntt* +k .u*
1
o
)
(
aamt « é a H — a a l a a . ,
Oataà ftrpvtkaaa aamvla d'autant mlawx juatifia'a qua l i a oorr-Slatiooa Inémiaaa par l a «team axtfrlamr aamt «raaablaawmt plua iaportantaa qua oallaa qui
axlaaa«t l a l t i a l a a a u t . _
La raaaImUam da. ajratama d'dajaatiama eouplJaa (3.27) (3.29) at (3.30) qol
«•waaa—, 1 la» diwraaa foaatlama da aarrllatlaaa doubla* panaattra d'aValuar laa
aacajaa da f r l a t l a » at da dlffvmlam*• l'a^oatiaa cinatiqoa ( 2 . 4 3 ) .
HX.3
d'rfaamtaama aaupléaa. Varna lajaaaiara oh la «aw»la«a a»intoj>dult dana daa tara»* «omi n a i a t d— iiÉanHiai. la
i • i daa aajaafciama dtt ayataaW coupla aat i n f i n i , at 11
«at IMMMÎ d* «aaatlaa da ofcaramar à la ra'aaudra.
i Oapimdaàt, aa paut falra l ayaataaaa ralaoamabla qua laa lona plua lourd*
aaja laa "«"laatrama lapîwidamt'faial—aat aux excitation* haut* fraquanea. Gaol aa ;
traduit ;par «ma imflwaaoa a^gllaaabl* da l a •uacaptiailiU lonlqoa aa hauta frdaadt *£(k»*4 «at-Hjaanla pour p 4 O
|
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-Samaraaa eaadltioua, on obaarra dlraatamant à p a r t l r da (3.30) a* (3.3*)
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(3.33)
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<3.3">)
1
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daat l a rt'Mlutioa, indiqMaa mue l'àrswisï^.Fia:. 3.1 «at affactû*. dana 1'app.hf
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(3.38)
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l<fr^Ett^^l<^-^11«tt*f<i'l
i«ei
- r i « . 3.1 -
représente la fonction diélectrique du plasm* Modifiée par la présente du chasp
extérieur.
Cette quantité, qui joue un r&le important dans la réponse du plasma puisque ses zéros sont des pôles, est reliée directement à l'équation de dispersion
K(l)/D (1) = 0 trouvée en premier lieu par SILIN \Jkj pour un plasma en présence
d'un chaap électrique haute fréquence extérieur et par la suite par d'autres auteurs
tels que SANHAHTIN (20), XAV et DAWSON QîlJ . Catte fonction diélectrique non linéaira intervient aussi dans la travail développé par VALEO PjlJ qui utilise la métbode
da la particule teat de ROSTOXER [5],
L'bypofhese concernant la répense des ions permet également le calcul de
tous laa termes tt> corrélations double de densité, comme l in it que l'organigranse.
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Les calculs effectués en détail dans l'appendice X conduisent aux résultats :
1
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où les termes Q
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i
où la tara* Q
sont donnés ci-dassua an (3,39) et (3.40) :
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(2) O
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(1,2)
(3.M)
^°
où lee terwea Q ^ «ont donnés par (3.39) et (3.40).
Tous cos tersws paraiaasnt compliqués, il est cependant remarquable de
constater dans l'appendice II qu'ils tendent vers les résultats usuels donnés pax
. SeTTGOtBinr, dans la limit, ou la eluusp «xteriour disparaît (j 3] .
D'autre part, la aection efficace de diffusion incohérente des ondes par
les psrticules du plassm (diffusion Thoasan) est proportionnello à la densité spectrale S** dea fluctuations de denaité électronique qui eat directenent reliée (3.22)
aux corrélations de densité élactron-éleetroa.
pq.
L'expression (3.43) des corrélations doubla de densité électronique parant donc l'évaluation de la diffusion incohérente d'ondes électroicagnétiquas pour
un p i s a — situé dans un champ électromagnétique extérieur intense, par exemple la
lumière laser diffusée par un plasma créé par ce laser*
Enfin, las termes de corrélation conditionnelle (3.35) à (3.3?) et las
corrélations de densité (3.39) * (3.43) permettent le calcul dea termes de friction
par polarisation et de diffusion.
XXI. 1|»
Friction par polarlaatlort et diffusion.
III. 4.1,
y^lction_p ar_golarlaatlon..
i
La calcul dii taras da f r i c t i o n par polarisation :
nécessite l a connaiaaanca da t
at :
. -
o£(k, . V * . - ? , , ) - ^ 5 |di^ .
i l C a - Ï 1
.
' ' =£(*, . V V Î J
(3.-7)
qui peuvent être calculéa & partir da (3.27) an supposant qua les corrélations :
0
u
*<£/,(*, ,'V 'V a>°>
<3-«>>
•ont négligeables à l'instant i n i t i a l .
• *-*
=
=-=-
(3.49)
en obaarvant (3-33) qua G * aat négligeable ai p / 0.
I l faut raamrquar que la dernier tarse de l'expression ci-deeaue peut être
codifie, ai l'on tient eoapte du f a i t q u ' i l a ate obtenu à l'aida d'une densité da
probabilité conditionnelle à l'ordre zero, ce qui revient a. considérer que lee part i c u l e s suivent une trajectoire non perturbas sinusoïdale (cf. 2.51)*
Ceci se traduit dans l e râpera (y»ïT, X) par :
°"<wrî„.»;o>• -5£j
^,'^y'^oK^
!«.(') .«pf-i y t r ^ ' t,)}
(3.50)
Le eecond texa» (3.47) s'obtient de l a aAae Maniera :
,
v('s-" i^io.»io» - „ î i t r 4 .
o
D
( 1 )W i + p
„
+ î j
,. «.su
1
En <liMinant G * antra (3*51 ) at (3.49) on obtiant finmlwant :
1
V?»"V*i."..> - - «. wh ^(ô V " 1 ^
±
-, ^^^.-ÎÇ
^ ( 1 ) .xp{-ik,.tt'--u; t,)}
(3-52)
ca qui. conduit à l'expresaion du tara» da friction à partir de (3.46)» (3.51) et
(3.52) !
?,.,„•„,.-„P7^ a l . - l u s »*«,>«,}
(»>
.
î
r
r
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3
"-Î
»o »î<'>
» D'(1) <->, n » + * , .=»,•)
+
^j)
+
+
"l «""o *l •"?'
(3.53)
IH.k.2.
Tar»g_da diffusion.
Le tarse da diffusion electron-ion (3,16) ;
ia
ia
i
E
„ . „-f, > .-i ' r.. ' >
ie
I
ia
1
ii
I
2>
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2
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* \ lM
«i
2 )
V
ie
1 I 2 )
+ I
.4°
aa calcula dirac testent à partir daa expressions da Q
at Q
( 3 . W ) ••
\
ie
V
1>2)
J
(3
-
54)
données en (3.1*1 ) at
"
»-ÀK ' " ' - > - ; ' * "LIH
I
A«i
î k . ,i >
r
(1) 0^(1)
D
2
I (D
n
.^^E^^
) D t
^,
2 )
-«So ,,]
(3.55)
Q
» 0"
pour
n / 0 «t p / 0
Q^J
donné par (3-6Ii)
Q**
donna pax (3.65)
Enfin la tara» da diffusion"électron-électron (3.15) :
1
2
( 1
»S<s?.'.*)-f Û ' » - C •obtient à partir d* l'expression (3.^3) da Q**
2 )
(3.56)
A oa eta4a
t
11 ast intéressant da retarder ca que deviennent las résultats
lorsque l'on fait tendra la nasse das ions vara l'infini et de comparer dans cotte
ljjaite las ternes de friction et ds diffusion avec ceux obtenus dans la caa d'un
pi a —
d*él«ctrona. Cette hypothèse d'ions très lourds correspond aux oscillations
haute fréquence du plaane en interaction avec le cheap extérieur.
Des» ca* conditio»* TT —•• O, I • I , it 1* tara* de friction sa réduit à :
an reawrqw—t que
SU!
_!_
et en utilisant la propriété :
C
*4Siï%\&^W
y
(3-58)
Cett* expression n'est pas différente de celle obtenue dans l'appendice
III pour an a i e s — d'électrons.
1
Arec catta hypothèse d'ions très lourds, les corrélations de densité s expriment da Meniere pins condensée :
il
«IpqO.») • O
(3.59)
.
al
* (1)
_
le
i
(3.60)
O
(1,2).—
"W
».
- ° —
S—-
°
S
g
»«(1) D«(2)
. **(1) **(2) Y"
(1,2)
«
i.
i.
l
1
t ^ T T ^ T - V . v ')x.4») »„.(..2)
P
(,.«,)
-5k
-
On ototieat alara laa trrpea da diffusion elnctron-elactron at electron-ion :
. -i-lg* (1,2)
».l «
l
1
+ -"——1—•
»;o) j(2)
Z_i
» ; ( D B;{2). "-•
D
I
(1)1
(2) U
(1.2)1
"-* ' —4 ' ° " . '
U , E
"
(3.62)
•t 1
~.,
A 1 - *!(1 ) **(2)
.
p /
5T !•
!•
i
g.
qui penaettant l'écriture du tama da diffusion Î
P
!
I
- S ^ ( « î l'l,2)"- .'4Ï^(»y t 1.2)'
+
(3.64)
"• B I O » »
t*t l a tranafocwaa da Pourier-Laplace du terme da diffusion déjà trouva pour un plasmm d'electroas (appendice H i ) at ou t
représente l ' e f f e t daa lona iieeobilaa, aur la tara», da diffusion.
Par consequent, ai l'on coapare laa resultata trouve» pour un plasaa
d*alectratma (appaadiea I I I ) at eaux trouvai l o i . on peut notar qua l'introduction
daa ions, considères ooeaw un ensewble de particule* iaaiobilaa at non coeat un fond
uniform, na afcaaç» paa l a terne'de friction.par polarisation ^ , ' , Maie Modifia la
terae'aa diffuaiea » ' . Caci n'aat pas surprenant,: puisque d'une part, laa ione qui
•ont iakaobilaa na peuvent paa réagir à l'action da l a particule taat at par coma-
- 55 quant na contribuant paa à la polariaation, at d'autra part, ca sont daa chargse
discratea qui participant à l'anortiaseMant reeultant daa corrélations daa forces
sur la particule taat à différents teejps at Modifiant alors la tara» d« diffusion.
IV.
CONCLUSION
L'axaaan d a a p r o f i l a da d e n s i t é a t da t e a p é r a t u r e d u p l a n a , c r é é au c o u r s
d ' u a * a x e é r i a n s e d ' i n t e r a c t i o n l a a a r a a t i e r a t v p l q u a , montra qua l a s o n * l a p l u a
i n t é r e s s a n t * pour l a t r a n s f e r t d ' é n e r g i a d a l ' o n d e a u p l a s a a c o r r e s p o n d It ttn p l a s a a
c i n é t i q u e c l a a a l q u a non r e l a t i v i s t * .
E t a n t donna l a d e n s i t é d ' é n e r g i e c o n s i d é r a b l e q u i r e s u l t * da l a f o c a l i s a t i o n d u t aiaeaam e u r la. cite La, l ' i n t e n a i t é d u c h a a p é l e c t r o n e g n é t i q u * q u i i n t a r a g i t
avec l a p l a a a a a a t t a l l * qua l a a e l e c t r o n s peuvant a c q u é r i r dana l a c h e a p da l ' o n d *
una T i t a a a a v _ s u p é r i e u r e ou é g a l e à l e u r v i t a e s e t h e r a i q u a , a t p a r c o n s é q u e n t una
é u * r g i * V_ s u p é r i e u r * à l a u r é n e r g i e t h e r a l q u e k T . Dana c a a c o n d i t i o n s , o n paut panaar qua l a a phénoaenaa d ' i n t e r a c t i o n e e r o a t f e r t e a e n t n o n l i n é a i r e s a t qua -laa t h é o r i e s h a b i t u a l i a a t e l i a a qua c e l l e e q u i
d é r i v a n t d a l a h i é r a r c h i e B . B . O . I . Y . £s>){jH>)
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adapté** paitr a**rd*r un t a l prealaaa.
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Au liau da okarchar k u t i l i s a r laa théorie* cinétiquaa usuelles, 11 aat
préférable d* regarder k l'échall* Microscopique la altuatlon dana laqualla am trouva caaaju* pax-ticula qui oanatltua la ayataaa. On constata alora qua chaque électron
ou cheque ion aat aouaia k l'action du chaap élactroaagnétiqua extérieur connu at
à l*a*tioa du ehaap electriqu* couloabicn dé à toutaa laa autraa particules chargées.
I I *st iapeasibl* da connaîtra êa obaap d'intaraotion, étant donna la grand noabra da
partlculaa alaaa an Jeu, at 11 aat néceasair* da «cinder la force qui agit aur chaqua
particule du plaaaa an una fore* déterainiat* duà au chaap extérieur at una force
aientair* earraapaadant aux intaractiana avec lee autres particules.
Un praalaaa analogue s'*st posé au début du s i s c l * P}2j à propos du aouvaaent •ravniea d* particulea auaiaaant*da noabrausaa deflections aléatoires. Catta
appreck* qui conduit k 1'aquation da Pokkar-Planck saabla intéreseante, aais i l apparaît e*al*juas dlfTleultée \t*J dans la cas d'un plaaaa, k causa das phénoaanea à
longue partee at an oBaperteaent non-Markovien du eysteae.
La aéthaae stochastique qui ast u t i l i s é e ' l o i paut être appliquée avao euecke, aaaa dana la oaa ou la chaap extérieur aat intense, dans la mesur* ou la eoapcéantastoannstiqu* du aauvaaant d* chaque particule reste faible.
La trajectoire aoyenn* de ehaqua particule aat déterminée par 1* chaap
électrique de l'on**, et las Intaraotiaaa antre laa partibu~.ua dennent liau k daa
fluctuations autour da cattà trajectoire aovenae. L'ordre de grandeur de la coaposante etaanastiqué du aouviasnt eat évalué an noraaliaant dana Isa équations la po1
«Mi
- 5S s i t i o n , l a vitaaaa at la tasjps, par daa grandaurs qui caractérisant la nouvanant
qu'aurait un alaotraa iaala dans la cbaap da 1'anda. I I a'axprims au noyan d'un paraamtra patit qui tiant oonpta daa propriétés eollactiTaa du plaaam at da l ' i n t a n a i ta* du eaaant axtarisur.
La aystaan aat alors dasrlt au aaeand ordra par una hié'rarchia d équations
qui gauvamaat laa fanetiona da diatribution siaplss à una partieula conditionnas
ou non par l a praaanca daa autraa partloulaa.
Catta aouvalla daaoription, aiaina eowplata qua 1'ansaabla daa Aquations du
mauvaamnt da chaque partieula, oontiant né a—oina ancor* trop d'informations pour
•tra dlractaamnt utiliaabla. I I aat nécsssalrs d'affactuar un traltaamnt an perturbation, mm utiliaaat un dévaloppaamnt an cumulant daa fonotlona da distribution BMItiplaa, at un dévaloppaamnt daa fonctions da distribution autour da laur valaur
noya—a.
La. hierarchic aa réduit alara au prsnlsr ordra à un syatana famé d'équations qui gouvarna la. fonation da distribution simple das electrone at l a s fonctions
da diatribution à una particule oonditlonaéa par una autre.
La preatLara Aquation da catta hié'rarchia qui gouverne l a fonction da d i s tributien eimple daa alactrona ast una équatiea du typa Fokker-Planek généralisé*,
dana laqualla l'éorantaa* aat pria IL c capte diractaaiant par l'intomédiaira da
moyenass faieant intarranlr das deneitée da probabilité conditionnallaa qui sont
l'iamge atatistique du nuage écran, alors qua eat scrantags sat habituellaamnt i n troduit au neyan da considérations physiques Qt4J dana laa équations do Fokksr-Planck
uauallaa.
Aprs* avoir axpriné laa fonctiena da diatribution dana un répare oeeillaat
avec la anamp extérieur intense appliqué, la Jsu d'équations ooupléea qui gouverna
la plassm deviant, aprea transformation da Pourier-Laplae*, un système linéaire c o s portamt un meemra i n f i n i d'équations.
Oa aysteam aa réduit a nauf aquations linsairaa couplées noyannant 1'hypothèse raleennable qua la auaeeptibllité diélectrique ionique a una influença n é g l i geable eur laa e s s l l l a t l e a a haut* fréquence du plaaam.
La réealutieu da »m ayeteem paramt la caloul daa danaitaa spectrales das
flue tuatiens 4a aeaait*, at 4aa tarama da frietion at da diffus!oa da l'aquntion
elamtiame.
I l faut mater, outra l'influa*** 4aa pelas aa Landau aur l a repense du
plaaam, l'aanaritlen 4a etlea aunpléemntalrea prévenant da l a fanatlan dialactriajua
du plaaam, modifia* par l a présane* du nhamp axtariaur, nui a ata mise an évidanea
an prenftar l i a * par SIIJar-QjQ-at par l a suite par d'autres auteurs tala SAIMUTIX
Qi^ , £a¥ at Dtfg<af fai^ , au TALBO (J3Î).
I I aat intéressant da oanatatar qua l a s expressions 4a eorrélatians da
densité, ami jeuent un role fandaamntal pour l a diffaaioa daa ansae at 4aa partiattlaa, aant • imparables anx expr*salens uauallaa donnaaa par MQMUMWnT [ia) dana la
llaa-t* a* la ahamp axtariaur a*annula.
La oaloul eonplet daa tarama 4a frlatiaa par palarlaatian at am diffusion
eandamt à I'aaauitian alsmtlqam du syaaaam aama plaaam.
P'iammrtantaa amdifioatiana aamaraiaaant laraqna l a amaaa daa ions taad
Tara l*i»riml. m off at, la taram 4a friatiam mmL apparaît dans a* «as aat 14aatiqwm
à aalul abtanu paur la madala pi a ana d'alaatrana, aaTalappa 4ao* l*anamnaiaa HZ [t}i
1
7
- 59 1
par cantra, l in traduction d'iona diaerata ajouta una oorraotioo au tara» da diffu­
sion. Caai aat natural* car laa iona iaanbilaa nm pauvant paa contribuer 4 l a polariaation, aaia participant k l'aawrtiaaaawnt resultant daa correlations daa forcaa
qui aciaaant aur l a particula taat obaarWa k différants instants fjsf) •
L*equation oinatique, qui aat du typa Pokkar-Plaaok, apparaît eoaaw una
ftna'paliaation k un plaaam eonpoae' d'alaotrona at d'iona an intamction avao un
cheat» extérieur da 1'aquation obtenue pour un plaasw d< electrons dana l'appendice III
c e l l e - c i étant alle-ata» una ganaraliaation da l aquation da Baleacu-Lanard.
Toua oea résultats aeeiblent indiquer qua oatta théorie cinatiqua atochaati­
qua peut rendre da cranda aerviees pour l a ooaprabenaion daa phanoaenea qui apparaiaaaait da— 1'lKteraction d'un plaaam aree una onda alactroaagnatiqua intense, at partieulieresMnt daaa la oaa da l'interaction d'un puiaaant faiacaau laaar arae un
1
APPENDICE I
CALCUL DES CORRELATIONS BE DESSITE.
On aa propoaa da résoudra la ayataaa d'iquations coupKaa qui gouvarna laa
oorralationa conditionna*.laa at laa uoj,-4.£lationa da danaitâ.
A.1.1.
Corr<la.tiona cowdltionnallaa.
En faisant a * 1 at A « • d
a 1«aquation (3.32) «t an utiliaant l'hypo-
tfcaaa eoncarnaat la auacaptlbillta loniqiM (x^ « 0 f n f 0) on raatarqua qua la tarda O * aat tUfligaabla quand p / 0 tt qua laa equations devolution da G * at G**
Q
aont coupltfaa Î
(A.I.1)
an an faisant *i • -A» • a on obtiant t
,
o
<&-^4 > .:<vv>v»2>
««>
n
pj(l) o <», . p . , Î , . Î J
(A.I.2)
+
qui M r e * t i t ML tCTC* Ml 0 * .
Q
Le calcul du t e r m G*J e s t iMcfdlct, 11 s u f f i t de reporter (A.T.2) dans
(A.I.1) >
•3)
51 on regroup» l a s t a m e s dans (A.I. 3 ) , l e coefficient de G _ qui apparaît,
,.30111. ! ( , ) ! ( , ) - ! !
i
n
-n
.
( 1 )
D
.
=
(
1
)
D
i
(
2
l
)
(A.I.4)
K(1)
en remarquant que :
1
(A.I.5)
* ( t ) I il ) = J \
n
n
en en utilisant la propriété ^
e
jj /
e
J
-n\
2 — /
J*(1) = 1
Le terve :
K ( , ) =1 + % i ( , )
(A.1.6)
n^y
n'est autre que la fonction diélectrique du plaa«a modifiée par la présence du champ
extérieur.
Cette quantité joue le Mena role que le dénominateur de Landau et
* ( ' ) / " (') = ° n'aat autre que l'équation de dispersion trouvée en premier lieu par
Silin pour un plassa «n présence d'un enavp électrique HT extérieur.
Coapt* tenu de ces remarques le terme G ? devient :
"o* *
ei
De Btwe à partir de (A.1.2) e t (A.1.7) :
q t « . ++
W, + q
%
(A.i.a)
V"l
En faisant Maintenant a = A = i dana (E.32) at an utilisant l'hypothèse concernant
l a s Ions, on reamrque qua G ^ eat négligeable pour q ji 0 e t que l e s équations d'évolution de G e t G - sont couplés :
K
a
«SO^AX'-^,
„ *n<> <#< V W » * >
°
(A.I.9)
"t. - K -u.
e
Si l'on fait Maintenant a = e et A = i dans (E.32) on obtient G „ en fonction de
*(vvs.4)-|g
ol
£ ^.-A») . . ( v i A - î > - ê o Is ^s-n • % + s
T
.S..SJ
2 -"&-"T-1
*'(2)
0
>
" 2*"%'*t-»lJ
(A.I.10)
puiaque G - eat négligeable si s ji 0, et en reportant (A.X.10) dans (A.1.9} on
obtient :
Les expression* (A.1.4) de G*JJ, (A.1.8) de G®° et (A.I.II) de G^J vont perwttra le
calcul des corrélations ioniques et électron-ion.
A.I.2.
Corrélationa da densité.
L'nypothese concarn&at la susceptibilité Ionique montre qua :
est négligeable ai p j£ 0 et q jÉ 0
QJ*
A. 1.2.1.
Corrélation» de ^ns£té^on:^ua^t_éleçJron-ion.
Las correlationa da densité ionique ;
dut —
<C|(1,2) = - I * —
„i
n
( l )
n-p
%• - H
]
"nq*
— —
"oD^D
M
(A.1.12)
sont couples aux c o r r é l a t i o n s
"w
k
tflectron-ion
0
Djd) J "
»*(1)
P
v
V
:
1
M
, •..*-„ •Î..TSÎ
i.
<
(
'
. i£(i) 7
i.
La» teraes G * sont négligeables pour q = 0 at G
Il suffit donc da calculer Q~~ pour p / O it Q
q"(i ,2) - - i du* -!
est donnas par (A.Z.11).
:
3
*
* V^ ^
(A.l.U)
puisque X~ négligeable pour p •£ 0 , ce qui conduit a. :
. «lus r J
V
2
7
»i
I <
i«
)1
**(2)
)
,
(
«c.«» - t W K . " ' » - A » " -^ ;fc>^ 'p/o
*
s)
r
(A.I.15)
- 6
Le calcul de Q
5
procède de la atlas Méthode
^•"-tTÎïï
w**™
^.0.2)
1
_-i
!
ï-lll
o D^l ) *<*)
> T ( 2 ) I (2) -fi—- D (1.2)
nTÏ
' " * ' ;{2) " ' '
n
V
l
D
(A.1.16)
I l «at donc n<c«asalr* d*eValuer laa eorrelationa dlectron-ion Q* à l'aida de
l'4quation (A.I.13) dana laqualla Gla„ a i t e reaplace par acm expraaaion (A.Z.7) :
al
,
2
v - '--n .
o D
(1
îftr » „. v -
( 1 )
D«d) lés »-! ,D
+
1
» *Î(1) _
• •*- - — • I
E
pula 0
a)
(a)
11
la
i
a
<S<1- >
+
4
0 ) o
1
1
2
*-p «oo* " >J
(1 >*)
(A.I.17)
pax aon expraaeion (A.I.15)
al
1
1
#
A *£( ) V
1 '
- — - — • «- i Ii) ir (i,2)
o D*{1 )
™
p' '
E
n
n
n
i
En «liacLnant Q*^ antra (A. 1.16) at (A.1.18) on obtient :
(A.I.18)
O'.*)
1
8
J.
s «V*fo>
ïHr-rrV F
A*,, (i*t,i
l »' ' iv'^**"'
i " . "to"'
„± »
1
1
D
•i
.
i.
«i(.\»l/,\
V
(1)
w
*J(i!) 0* (1,2) I
«i
i.
«i
i.
*„(') 0C(a)
j
p*
(A.Z.19)
Saul la tare» Q*
da correlation électron-Ion raata à calculer. Pour cala on utili-
sera l'expression (A.1.1 ) de G " an es souvenant que G _ e»t négligeable pour q je 0,
at an utilisant la propriété s
1
due à l'hypothèse Q ^ négligeable el p / 0 et q jt 0 :
ei
1
jf (1 )
2
le
,.
V - ' " ^ Ô ^ "qpo
P
.
(,,a>
«f (1} _
l
ie
1
,)
.
<,
" t fe . ^ "i. -'
)
P
(A.1.20)
A.1.2.2.
Corr<^tiOM_de_d<neitj_jlectronlque.
Les correlations doublée de densité électronique Q* = (1
sont couplées aux correlations electron-ion Q * :
avec OC • A > e
67 •
«*,(o
ia
la
£ ^-i ' W 1
1
la
i , + I
la
( 1
~|
1
-P >
2
V ' '
*S«'
(A.I.21)
I u t l l i a a a t laa axpraaaiooa (A.I.18) da «JJ (A.I.20) d. « ^ (q / O)
(A.I.») da o " l a tana, da correlation doubla da danalt* llactroniqua
t'écrit
<,,
)
1
« ' "-sL^)l§iT5LT- -*
».
,)
D
»;d >»;<*)
. A r
9
1
"JO "J**) M
>»
2 )
(
! (!) I (2) o (1 , )
/
2
"OD;<I)DJ<*) h*
«£(!)«!(*) V
* -î—î -^ A
< ,
I ^T ^ '
"-*
-*
"•
la
la
„
i- ID I.J;*) <^î(i.»)
* '"*
( ^ - 0 a i a a t a aoat dlffaranta da aa"ro
«J*
don»* oar (A.1.15) al n i 0
«Ji
daa»i< par (A.I.1J).
(A.X.2X)
, COMUBLAXX0M1 DB DWITTT 1AXI CHAW ULTiRJJPJH.
On a ' i n t a r a a a a l o i a u caHportaaant daa d a n a i t â a « p a o t r a l a a quand l a obaap
axtarivwr X
Q
e o a <*I t
Q
•*annula.
C o n a t a t o o a t o u t d ' a b o r d qua :
_
»*
/ 0 Pour n jf 0
11 p o u r n « 0 •
quand I
» O.
Alora l a fonotiflo dlalaotriejoa n a n - l l n a a l r a F daviant :
I (
, ) . , ; ^ E 4 ^ _-•..-, •..êw. smnl'(t),
D*(1)
D*(1)
O* I
D(1) . 1 • x ' d )
+*"(1)
• a t l a fonction dialootriquo t o t a l * du planaat
Bn u t i l l a a n t o t i n a u w i a a , on obtient à,partir do (3.40) *t (3.43)
avao a ^ p
Dana l*axpraaaian da Q
t
OO^ ' » * '
W . + W.,
- 70 Enfin, on pout obtanir par tranafornation da Fouriar-Laplaca lnvaraa t
-_
f »*.
"«a
°"i d**»
r - ..
-
-I
-
«"(if,.*, .f,.t,) - j ^ J ^J*J «J- ^ « ^ K k , . , , «-kj.y, *«.,», . , ) ]
V
0*1'"l '
W
OK paufc fair* l'hypothaaa habitualla an ohanp faibla qua toutaa laa aingularlttfa da 1/D «ont aawrtiaa axpon*ntialla«ant qumnd la tanpa daviant I n f i n i .
Dana uatta hypothaaa aaynptotiqua l a aaula contribution qui roata proTiaat da .
rt.| + u» • 0
2
Alora o« obtiaat pour Q
^ _
m
dana oatta l i a i t » i
«""(r,,*, I r , ; V « - ) . lj^jj $ ; . « * { 1(4".? •«,,-)
06. y • y, - y- at o« la qwantita Q
prand la Talaur :
«*"<*,«>) - J ^ L .
'"«f"
«"(ic.o)
, J, F V if)
(
|»(«,-)|'
E)
''
ok l'on a atlllaa laa ralationa Q»5)i
if (k,W) . *5*(-k,-u)
O^k,») t C ^ • * , - * ) - 2iB F«(- g)
m e t " donna par l'aaoatloa (3.16).
Flnalanant, al on rapbrta «""(k,») dana (3.M) en o b t i n t laa danaltaa
apaatralaa 4aa flaotaatloaa da danaita dana la H a l t » E - » 0.
g
Oa raanltat n'aot paa autra aboaa ana la raaultat olaaaiqua pour un plana*
alaatraa-iaa nana ohanp axtarlaur, donna par axanpla par MWraOHHtr ( i a j .
APHKŒCK I I I
Praadara Fartia
STocauTzc KZNITZC n o o n c r tnwiw VAVX-PLASHA IKTXIUCTIOH.
a. 01 BONA and C. MAJSELOT
Coaatfaaariat à l'Bnargla Ateaiqu*,
Cantra d'ltadaa da Li.Mil - Villatiauva-Salnt-Oaorgaa
(rioavuto i l 19 N w l o 1971)
Va ooaaldar th* intaraotion of an olaetron plaaata with a atronf alactronagaatio wava In which tha alaotrona aequira an anarry graatar than or aqual to thair
tharaal amargy, ¥ • aaataaa alao tha wava fraquanoy u) t o ba graatar than or aqual t o
tha plana* fraawancy <*J .
tlanj antaara hmva boon Intaraatad in thla problan and thay uaad tha fraataworfc of olaaaloal tbaory t " ' .
Va approach thla probla* ay naana i f ' i diffarant nathed uain* «toohaatlo
praoaaaaa. ¥a aaaan» aba nana trajaaterlaa of alaatrona to ba drivan by tha wava
alaetriaal flald* Tha intaraatiana batwaaapartloi*a giva riaa t o fluetuationa
about thair naaatrajaatoriaa.
- ttoaar thaaa eanditlana. tha aquation for tha alaatron notion i s
1
(D
3
i . V d . t ) +«K|,t)
w i t h » . ( 1 (paaltloa u a n l M i t r o f <oa . l . o t r o n ) ,
»°<*,t)-|
.jl <omt
0
)
I
«•»>
ir(*.t)
l-*»(*>t)i
vhara. ( a / « ) l « w w i l a tha largo dataxalniatie foro» oonnaetad with tha axtarnal
alaatriaal fiald i » l ( • / • ) X ( x , t ) ia- tha «wall atoohaatlo foroo dua t o tha intaraatiana batwaaa partiolaa.
fl
(1) T.F. 1TLI11 1 l u m . Ilcan. Taor. F i « . , «£, 1510 (1965).
( I ) T.X. IAV and A. SALAT I Fhya. Fluid., 11., H 3 (196») 1 A. 9ALAT and P.K. KAV I
Tty
Fluid., H, 3kt (1«69).
<J) J.F. hAJOal-FHXXMAC I aukaittad ta Fkya. Fluid..
Tka «Tolutlon oquatio* for oaa-portlela distribution function I s darlvod
f r o - ayatoa ^' ay • » • » • of tha atrktanlvlah awthod W canoraliiod by KAM-CHUBK
SO * * a** «KWUIU * ' . In tha apatlally koaacanaoua oaao va obtained tho f o l i o wine aajuatlaa. t
5
6
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(*)
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« • -*-f$ Q<l(x,'t)||(0) . A> f ] • £ D £ f.
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(J)
r
t r l i I
„ ),, ^ ,
t
i
> [ l > V 3 " *"* »l»otriaal-fiald a»rr»latioj> m u a i ,
Xa a firat-attawrt ta tlw aaaaatatlaa «f an appraziamta diffusion ooaffloiaatp wa aaa» taa fallaving-draatia aaaaaattioaa i ta» aioraaaopla eaarfa daaaltr
la (Ivan ay taa XliavatoTioa partlola daaaltlaa ' ' , «a. plaaaa l a l a i t l a l l y 1°
laaia»djaiaa>al aaniliarlaai and taa aaara a t a t l a t l o a l avaracaa ara takaa orar c o ordiaata» aaa aaaaata at taa i n i t i a l t l a a .
l a tbaaa côndltiaaa, tb» «ifruaiaa aa»fflai»nt l a found to D»
7
, . » * [ ( . / » « ) * T • ( « E > ) ( . l a art..!», t
«>
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W
| T + M > ) ( » U t-.iawt,)|
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9
'
?
JJSj-
At tall point, taa liait, or taa lntazral auat ba dlaoaaaad. On taa oaa
hand, taa alaetrloal'-fiald eorralatloa fuaotlon aTttX^Jla aaro for any tlaa into*—
val araatar taan ar aaual to taa correlation tlaa T . On taa otaar aaad, tali ealoulatlan la Valid aaly aatwaan twa strong oallialana, Tau», ta» llanta of ana Integral lu' (a) earraapand ta tfca Daava aor»»aing langta a^ aaa taa alataaaa of alaaaat
approaaa » , la taia oaa», wa obtained
Là-
10* A
Vltk
A m £.
(6) J. oaOaUHs i *ium> Olaonto, 691. 10 (1*70).
(7) TV. L. aUMMTOrXOH I I t a t i a t l o a l Tnaar» af Xeaequilibriun Proo»a»aa l a i
Plase» (Oxr»rd, 1967).
73 Va Mto «hat thla diffaaiaa aaaffiaiaat la aiaaMar to ttaa on» «Ivan by CHAMCRASHOUIt
f
aaaapt far a aiadifioatiaa af tka valaaity a r g w m t du» to tba praaanea of tba
atraac ala*traaa#»ati« «•*•*
PIMM aad M M **' palatad amt that th* apbara of lnflwanoa of a taat parU a l a l a raéaaad «ham i t a apaad iaoraaaa». Slaaa tha alaotrona uadar tha action of
•ha aiawa»t*a1 «statuai f l a l d raaah parladiaally a apaad oloaa to tbair «banal val a a i t y , «hair aaaaa af iaflaaaaa ahriak and tha eorralatioa tia*. c l« l/^> rathar
thaml^.
Oawally tka aalf-flald af a tant partiel* la diaraaarrtad in tha diffusion
•aaffiaiaat aalavlatiaa I ' , whlak la uat «a i f th* correlation tiaa ia ahortanad.
Va plan ta imiirtnTrr a Mara aaaalata aalawlatiaa it tha diffu -em and f r i c t i o n ooaffiaiamta, aaaaiaariac tha plaaaa aa a dialaatrio whioh w i l l lt>ad to oollaativa
•ffaota*
Q
1 0
Tha anthara wawld liha ta thaak ». OUXUAMItJX for nurrroua halpful di«aaaalaaa and far a c r i t i c a l raadiac of tha aaawaoript. Dit uaaiona with D. DOLOHBAMT
ara alaa ahaawadaad»
(a) I . CWIMUaaUR t Priaaiplaa of M « U i r Dyaaaios (Ohioaca 19**) f aatrophya.
Jaara,, J2» »55 (l»*3) I L. t r i l l — , t Payaiea of Fully Ioniaad Qaaaa (Haw Tork,
P
(9) D. m m aad D. Matt r thym, llav. &,
(10) J. MUKUD i Praa. key. Sao., ^ J f e ,
33« (195*).
1 1
* (1*61).
Seconde P a r t i »
STOCSASrXC «XXBTXC TMtOMT OP SVSOHG WAVK-PLASMA INTERACTION ( * ) .
I.- Xlnatie Equation*.
G. DI BOHA and C. KASSELOT (•*)
CoaaU.aaariat à l'Energie Xtoadqua
Cantra d'Ktudaa da Liaeil -.Villeneuve-Saint-Georgea
(rioevuta 11 29 Febbraio 197% I nanoecritto reviaioneto rlcevuto 1*8 uiugno 1972)
I g a j Q . - Tba interaction of an alactron plaaam with a atrona; highfrequency alectroaagnetic fiald ia atudiad by Mane of th> Stratonovich.
atoebaatio Bathed. A hierarchy of aquations ia carried out. An expansion
In pe*era of a aamll diaieaaioBleaa paraawtar ia uaad to braak tola h l e rardky. A aat of two kinetic equationa caverninc tha ayataai ia obtainad.
1 . - Intradnotien.
Ve study tka interaction of an alaotron plaeete with a strong eleetroaagnat i c wave i a «kick tka alaotrona aequira an energy V greater than or aqual to thair
tkeraal energy. KT.
Va caataaa' also the wava tr
m o y « t o ' b e t » a r and above tba plasm* f r e quency *L. Savaral antkora kav* baan intereated in thia problaai and they uaad tba
fraaawark af c l a s s i c a l deterministic theory ( * ,
Va arnraaoh tkia probleei by amans of a different method using atochaatlo
prooaaaaa. Va eonaidar a ayataai of X idantloal eleotroms i n a voliaaa V, with a uniform asttfcgrea* af immobile poaitiva oharcaa. «etwean two bard colllaiona their trajecteriaa are drive*, by tha local f i a l d .
£
1 - 3
(*; Ta speed an pmblioation, tka authora of thia paper have -^re-d ta not receive
tka acaafa far correction.
(*•) Aloe at "Imatitat Universitaire da Teobnologie", Caches.
(1) T.». m n t Zun. Skap. Te or. Via., Ig, tt5* (19**) (lagliah translation t
«ev. Paya. JSTP, 22* 15"> (1963) t A Survey of Pkanaawna in Ionised Oaaaa
(Yieenu, 1 » f t ) , p- 105.
(I)
P.K. KAV end A, SALAT I Pkya. Fluida, 11., M 3 (1966) 1 A. SALAT and P.Ï. XAV t
(3)
J.*. lAMNAITIM t Phya. Fluida, l^» 1 M 3 , 1523 (1970).
Pays. Fluids, j£, 34*, (196?).
- 76 The solution of this problem is very difficult and we have tried to search
for a simple model. The presence of the external high-frequency field leads to oscil­
latory Motion of the plasma electrons. If the plas-^a particle velocities are small
comparod with the speed of light, we «ay neglect the force arising- from the corres­
ponding high-frequency Magnetic field. The effects caused by the nonufornity of the
high-frequency field are also supposed to be negligible.
The "unperturbed" Motion is given by the large deterministic force arising
fro* the external electrical fieJrf while particle interactions cause a snail sto­
chastic' force. The ord - " of Magnitude of +his stochastic force is given by the pro­
duct of the usual «Mall parameter t = t/nAr « 1 used by ROSTOKER and ROSENBI/JTH * ',
1
-where nUz. is the number of particles in a Debye sphere, and £. = (KT/lW_)£ « 1 ,
a 2
a
b
where *
E
= e*E° /2mw .
Using the Stratonovich Method ''^ generalized by KAM-CHUEN SO ' ' and
w
OGUNLANA
t * have obtained a hierarchy of evolution equations for the distribu­
tion functions of the electrons.
This chain of equations is then broken by using an expansion of the dis­
tribution functions in powers of E. = £.
^(^A
1
) . Finally a sat of two kinetic equa­
tions governing the system is obtained.
2,— Theoretical model.
2.1.
Th«_theoretlcal model and the expansion_parametera.
Ve assume that, in firwt approxiMation, the electron trajectories are si­
nusoidal and that, in second approxiMation, there are fluctuations about these tra­
jectories, tinder these condition the equation for the 4-th electron is
0
(2.1)
S, = F ( « j . t ) *
l'A
with § j = t
F(ij,t)
/sjt\
I* I
; the position and the velocity of the electron are
J / \Sj2
/
J
(2.2)
•:»"«'»*l
J
'
E
\-t <=j,t),
(4)
N. ROSTOKER and M.N. ROSESBLUTH : Phys. Fluids, 2., 1 (l?6o) ; N. ROSTOKER :
(5)
R.L. STRATONOVICH
(6)
I.C. SO : Generalized stochastic equations and their applications to plasmas.
Phya. Fluids, Jr 491 (1964).
TJIC» in the Theory of Random Noise (New York, 1963).
Ph. D. University of Illinois (1967), unpublishsd ; X.C. SO and K.C. YEM :
Journ. Phys. A. 1., 447 (1968).
(7)
J. OGUnXjiKA i Nuovo Cimento, 62.B, 20 (1970).
where E
is the sinusoidal field amplitude in vicuus, eE
cos tut is the large deter-
ministic force connected with this external electrical field and eE(x.,t) is the
snail stochastic force due to the interactions between electrons (e and m are respectively the charge and the mass of the electron).
By normalizing eq. (2.1) ve can introduce the already mentioned expansion
parameters
r
/ * - *E * .
(2.3)
) v = v v*
£
( « = OAOt*.
where x_ = «E°/m«r and v_ = eE°/mi6.
The system (2.1) becomes
(=.<.)
- (E°/E°) co. t* - £ ^
*
>
,i
*
* i
and
(2.5)
= V£^£
z
\e.
with
= IAAJ,
( £> = ( K T / 2 W )
E
2
,
V H can assume that £ « 1 if iu»w , or if«/i*
with t.Ê,'
T
h
U
B
v
e
is not too large compared
have introduced a small parameter which takes into account the
plasma collective properties through £. (£. « 1 swans many particles in a Debye
sphere) and the strength of the external field.
2.2.
Distribution functions.
t j e t
x
it = ( i
f) °* * eix-dimensional vector corresponding to the j-th
particle and we introduce (cf. V ' » ' )
r
6
X
8
9
iV*.^ =••• ' W
as the probability density of finding the ^
Here ]i. ...,)i,
w
particle in £
at t. (k = 1, ...» j ) .
are a set of J numbers taken into the set 1, 2, -.., K.
(8) R.L. LIBOFF : Introduction to the Theory of Kinetic Equations (New York, 19Ô9),
p. 103.
(9)
K.C. SO and C.H. LIU : Journ. Phys. A, 2, d05 (1969).
If va considar only ayawtrical distribution», w* can aupprasa the subacripts u . ..., u
t
whenever they ara dietinet,
for axaâpla
D
*i -h-
i.i,!<*i-
* ' •*>• ' a ) - » , » » ^
2
ia tba probability of finding tha partiel* 1 in d L about f
at t and tba partiel* 2 in df- about f_ at t..
at t., in df. about f_
1
2
How wa defin*
"V,
^
^a,.*,'—»!,.*/^'*!''-'^'*»' D
_ IH
Vh
1
^"i-*!
i
t
'••• ^j- j
\.... l?',-<
••*',•<
•-•••
a* tba conditional probability danaity of finding tba u particle in J
{•si,
..., j) givan that th* u
n
*ls\1
•••••••<•<)
v
at t
partiel* ia in j£ at t ' ( n = 1 , ..., k ) .
Aa above, w* can auprasa tha subscripta u
and u_ whan they are all dis-
tinct*.
For «xaapl*
D
1/2
( f , . t,/» , t )dt,d*
2
a
a
ia th* probability of finding tb* partiel* 1 in df about §., at t., given that particle 2 ia in d f about f at t
1
2
2
2 >
It ia convaniant to introduce tb* J-particle distribution function
fj»,.
t,;..., i
y
tj).»lD»
i r
t,,.„; jr
Jf t
j
)
(J<«).
In tha aaaw way wa define tha conditional distribution function
* j / k « f * 1 ' - " * *J-*j/»a-*i*"-« »i-*i>
,
•V*D(i ,t .„,S ,t /f ' t ,... j; t;)
|
l i
J
J
1
f
1
î
-
(j + k < N ) .
3.- Th* hierarchy of aquation».
In order to solve eq. (2.1)
we ataJc* ue* of th* Stratonovicb M t h o d generalized by KAM-CHOEN 50 and OG0NLANA.
Firet we look for an appropriate transformation in order to get a new ayateai auch
ij =*?<lj.fl-
Aftar carrying- computation» in tha Stratonovich fraataworlc va aha.ll COM*
back t o tha i n i t i a l Tariablaa.
3.1.
Solution of _tb« ^unparttirbad" ayataa..
Lat S ( t , t . J * ) o* *ba aolution of tha aystaa
0
* j - »"«.•*>
«"h S(t , t , |
0
0
J O
) - *,„.
V. find . t a l l y
X
(3.1)
S(t, t ,
f
0
J O
ï
t
t
JO * J o < " o )
"
E
o ( ' ' *,<
5,(1, t„.
«„>
iJ
3
)
vlth
0
E ( t , , t ) « - («E /» ) (ain ">t, - aiJi ™t )
(3.2)
0
2
2
«id
"COB
«t,
:
(3.3)
!„(*,, t , t ) - - (.E°/-"»[
2
3.2.
- CO» »*t
0
+ (t, - t )
2
3
ain-tj.
Canon±cfc±_tranaforamtion.
I f va hav»
lat ua dafina
^ - s(
V
t, f,) . s - V , t , Sj).
Xj - («-*„) *j
(3.4)
0
* «o'*' *«• »'
<(t. t , J )
0
S-'ft, t . Jj)
0
L ' j - ••<«• *o>
V . not» that
{1-1,2.
(3.5)
vhara,j.
valy.
t
S , S~ » *?l]i " 1-2) ar» tha coaponant» of $,, S, S~
and F°, raapactl-
'
Va can walca tha following transformation on »q. (2.1) ]
[ t . T,
(3.6)
\l
-8(t. t
t
1
, j ) , ,_, . S - ( t , t
0 1
o i
J,).
V« o b t a i n
(3.7)
>-i*t,j*J.
2
(3.8)
J s
-1
"3^<1,. T> - ^ * <Hj. T)
(3.9)
VV
T
> "',,(?<*• t . i ^ J . T ) .
Thus t h a atotion of e a c h p a r t i c l a l a d a a a r i b a d i n a fraate which moves w i t h
i t a l a r e * unparturbad a t o t i o n . Than, t h a a i o l l o n o b s e r v e d in. t h i n fraaw i s i t s
sto-
c b a a t l c M o t i o n . Under thaaa c o n d i t i o n » w* « a t back tha s i t u a t i o n s t u d i e d by
STKATOKOTICH.
3.3.
StratonoTich aquation.
Tha «volution aquation of the probility danaity D{n., T ) to be used as a
starting point An the present calculation has been derived by KAM-CHUEN SO "• '. By
•wans of oq. (3.7)
f
thia generalized aquation can be written
T
(3.10) f p D ( V > «
-I
O
wbera
*). la tha u-th ccenjonent of the vector «faring to tba particle 1
the subscript o" on t^ iMpliee tbat the funotion ia evaluated at t + er,
K is the correlation funotion K(cc,p) = <0£> - < a > < p>.
t
r
<
r
r
t
Lat us note that the average* like ^ / \\( )
v
Q
r
>
~ \\'
**• obtained by
n
Means of conditional probability denaitiea and are averages of 3f* given 1i(t )= « •
0
By awans of (3.8) and (3.9), it ia eaay to show that
(3.11)
&r=
|"(T - t ) .E/M~J
Q
which allowa m. to evaluate the laat four terae in (3.10).
3.4.
Inyaraa _tranafornmtion.
We are interested in tfce afayaical variable* $ and wa axiat now perfora the
invar»* tranaforawtioB
| , . t .
TIM probability danaity oui b . w i t t a n
T
D ( V > .D(s"'(t, t , U , t) * Mi,
t).
D
vbara J is tk. Jacobian.
In thia caaa it is aaay to ahow tllat J = 1 and conaaquontly
)P(t,,t)
- é »«..*)• "i sir-î«°-îïr—Subetitutinf (3*11) into (3.10) and perforai»* the inverse transformation
(3.13) ^
f , » , , t,) * r , j ^ - - J E» oo. wt, j ^ K
ï ï L f ' V Ï i «•)-«,> M
*(*f ^{/<i%V*.<«o-«.)'-'i]-
l-t,
-(:)'
S^{[F^<
V*,«» - v ] [<B ^ (o)=v'»<*,j
J
ft
1
attétt-
vhere va bava aeeuned t - 0 and where x.g.and v - danota respectively thé a-tb couponant or ta* Taotora JL and r. (a - 1, 2 , 3) (in aq. (3.13), et and |3 are to ba
auejejed froai 1 through 3).
We new saeaify what ia tba seaming of E^,. By definition va bave
a
C
«<V 1> -»&<*!• *."1l>' * 0 '
and by p«rforeu,nc tba invaraa transformation va obtain
E
T
1
«0- " f r i • i + < r ] - ï [ s - ( t . V
t , ) . ^ +<r)-E[s(t
1
1
1
+cr t s- (t t | )),t +o9.
l
o i
1 t
o t
1
1
Proai (3.1) and (3.4) ono can aee tbat
- ^ + T,*-- E (
Q
(3.14)
S(t, + fl-, t , S ' V , ,
Q
t l
+0-, t , , t , ) "
t ,<r))
o
v,
+ E (t
Q
1
+<r,
t,)
Eg. la tba Couloab fiald at'tiaw t +f and at the point when tba considered
partiela vould bava bean at tbat ssjea tiaw if it had follovad its unperturbed
b
— H i r M f rflMti"fl-
L
b.i.
«etion.
.
Introduction.
In the present Section «• shall derive tba évolution aquation for the oneparticle distribution function. This derivation can be stralsbforvard i f va nota
tbat the probability density ( ( | Î *\J%%* *j) obey» tba generalized Stratonovicb
aquation.
Under tbea* conditions g, ,y ( 1 , , tj/ftg, t ) s a t i s f i e s aquation (3.13)
provided tbat the extra condition J_(t_) '* fc_ i s iatposed on a l l the averages :
n
a
(».« )
(
* -
>
^ C , (|, , .,/*,, «,) • v, ^ A - 3 Ï - „ . <*, JfiÛ .
t/
2
^
.[ ( K £ V * I < ° > " V *2<*2> - * ) ° - *••«,/, a
- <5>* »T,^»x,
p
(
* ***&^
tt
l
<
jf *L" «V»i< » - V*2<«2> " * î > """«./I •
j[ <Vp/*,(°) • V*<«2> -S2]"'"-«i/i t
In tba aajaii way aa cooid obtain arolutlon aquatlona for g. ,~ a*. » - . . . . •
Ail thaa. aquatlona ara not indopandant aad «a obtain a h~ararohy or aouationo.
Tmla chain of aquatlona oaa now b» brakan by ualnff an axpanalon of tba
alaotron dlatributlon funotion In powara of tba aaall paranatara* Vl-gn.
t
•t.1.1.
Cluatar axpanalon*
Lat ua introduca a oluator axpanalon for probability danaltlaa
' < • . • * . ' * « • * « ' - » « i •«! W f j . t . ) + P ( » , , t , l f j . t ) ,
2
(t.!)
»(f,.t, i * , . t , i | . t ) - iTndi.^) • £
3
iXti.tilPdj.tj i f,,.^) +
3
1.1 .k
i/J«k
* K ï , . t , >S .«» I f j . « ) .
2
3
Va aaauaa that 1* la of ordar f. whlla T la of nlghar ordar than P. Va
aball nota that to aaroth ordar
(».3) '
'»it .t -"l| .t,) - »(f,.t )D(t,.t,),
1
(«.»)
I
1
*(f,'.ti I l î . t j . ) - f ( f . , t , ) f ( l , t , )
1
<*-î)
<*.«>
1
1
a
i
,
« , / , (*, • * , / ) « • V> . y D(f, , t , ) - f, (J, , t , ) ,
»,/,«,.*,
1 l î . t , ' ) - » ( » , . t , j o [ x , ' - x, - v.ft,' - t , ) t « . ( t , ' . ^ , * , ) ]
— '-••-••-•'•„:.•
4.1.2.
.
..[v." - v , - v i ' * i > ] -
Expansion o€ tba ooa-partlela dlatributlon funotloa.
In firat approximation wa bava aaauaad that tha alaatron trajaotorlaa
vara alnuaoidal.
Lat t. ba tha ona-partiola dlatributlon function oorraapondinf to thia
caaa and l a t ua nota by ff, tha perturbation du* to fluctuatlona t
f
<*•'>
f
+
f
1 " 1° ' 1 -
In tha aaaa way
(•>.»)
r
!
«i/i - . ' • « i / i •
vharo wa amvo uaad (fc*5).
Ya asawaa that If, and tt^/y, •*• of ordar ft.
k.x.
f
5ï2ÎïtiS5_«aS»£iS5«.S2E i *
Mav taklBC i*>to aooount tha spatial howofanaity, wa aan writ»
Ttean wa kava
>
,».„)
x
J ^- ,1
)
f)(
,,
j
t)d|lj
.o,
Vlthia. tkl» approximation wa oui otudy tha ordara of aacnituda of th»
various t a n » im aq. (3.13).
' Ta f l r a t ax-dar wa obtain
vhara wa fccva a*da D M of th» aaataaptioa. that tba partiel** ara indiatinguiahabla.
SinUarlTf to f i r a t ordar
c.i«)
(*>* < I«VJM<» - V
1
r
-'«* (!** -, * A*
**** ftp
(0)
• °s ) "
1
••
m
j
? -^T*
%
• *f(!»-*i +<r)S« /,(l j.t *4.t
1
:
1
1
•
•o-Jdtjdt, +
- 85 -
Wy «ainc (4.11) wa ••« that
la a aaoond-ordar tara and oonaaqttantljr wa oan nafflaot i t * Aa a raault and to f i r a t
ordar tfca avolution aquation for fj raada
*f,(»,,t ) .«J
af,
f
- . J ^ ; <V», (•>-«,>', • 1 ^ V ' i ) J % i •
wfcara
Va bava raalaoad tha lowar H a l t ( - t ) of tha intagral by -•» ainca wa ara
intaraatad In tla»a lone ooatparad t o tba oorralatlon tlaw.
*»3" frg^*i*g -*3Bg*i25..îSE *i/i*
r
Va proeaad aa abova In ordar to obtain toa ordar of aacnituda of tha various tanta in aq, (4.1).
To firat ordar wa obtain.
(».i«)
*<i«/|,(o) . «,. ,J,(t,) -»,> -« %- k'(o) - < » tj(tj) - f ï ) .
e
*
- f*
*
*/** j K
- /.a* • * a.*\*i
"lit
t
/ t
• s ' J ^ r O ' & « t / t « 3 - i ' « • ° > • s . ^ . d j . t ^ j . t . g d», *
.• : Cs; '[*i-*.-»»<*t-V * y vy"*»8 •. -
-Msimilarly» ta firat ordar, va oan ahew that
<î>* < Vp«*i«» - V»»<V "h> • ®* « V ^ t l » ) • S > >
t&lok li tivan by (*.1«).
Oa* oan •«« also that ta first ordar
<î>* « V*i<°> - V t,<V - 1 , > < V * i
< 0 )
" W ' » > " **>
ia na»ll»i.bl«.
Finally to f i r a t or<1ar va obtain for t^ A
<».'S)
jij- «,,,«, ,t,/t,.t,) + r £j/L - !ÎB- oo.«,t, £ l A .
1a
r
" î i ^ < w i -«s >*«<**> -Ji> i • H ^ V Î ^ V
•y uaiiw ( 4 . 8 ) , (4.11) and ( « . l a ) , aquation («.15) baoonaa
Va fhua coaw to tb» eonoluaion that, to f i r a t ordar, ta* i n i t i a l hiararohy
oan ba axpraaaad ma a oloaad aat Df.tîU. two aquation (J*.13) and (4.16)*
j - gajgliigfton,.
4
At thia point aana eg—inti sight ba nada on tha approach wkioh baa baan
followed In tfcla arttola eonparad to sowa othars. I f va ara intaraatad i n tha atudy
of tha lntaraotion of a plaaKZ. with am alao*roaja«aatie wava. aavaral waya ara of f a rad to u s . Tha foramlian* arising fro* B.l.a.K.T. hlararehy or from thé Vlaaov
aquation ara wall aultad to thia atudy whan tha alsotroaagnatic wava l a waak or nodaratly strong. Amotbar interesting way orlginetea fron tha Pokhar-Planek aquation,
but thia appraach navertheleaa praaanta aoan» d i f f i e u l t l a a whan tha fqroe flalda ara
•elf-asnaistont. In partioular, for Coulomb flalda. tha aoraaning oonoapt i a hard
ta intreduae.
Tha atoahaatlo darivatlon whioh ia uaad hara oan be applied f r u i t f u l l y i f
tha external flald i a ae a.trong that i t beoones pravaillng over tha othar forçai.
Furthermore, i t f i t a wall with tha eelf-ooneistent f i e l d through tha conditional
averages. Finally, the writing of tha hlararohy obtained ia aaay in ao far «a a l l
tha a valut ion equations of ona-partiola di attribution funotion, aonditional or not,
hava tha same struotura.
l a tha case ef the interaction ef a plaeem with a etronf alectrg—çnetio
wave, i t ease» reasonable to assena) «hat tha aaan trajectories of tha alaotrona ara
aiaweefdal, l a flrat aana-saiaatiaa, aad that tha intaraotiona batvaan partiela• give
riaa ta flvsjtemtleaa areund thair average a* tien. Aad in fact, thaaa hypothaaaa ara
expressed eeaveeiently within tha ataahaatie foraaliaai uaid hara, Tha avolution
eejemtlea far aha awa particle distribution fwawtioa vhloh l a obtained here baa a
atraoeare aiemlar ta a Pehher**leMk equation. Sut contrary to tha olaaaioal FokkerPlaaek eqwatle* where «ha ooeffioieats ara average* an forcée without any axplieit
iaejsasd «eadltieM, hara tha coefficients ara conditional averages of tha atoohaatio
faraa which taha into account tha aeaeibility of aorrelatione t«twaan tha Couloab
f i e l d end tha i n i t i a l s e a l t i e n . Tha conditional density probabilitiaa VAlob appear
l a theee generalised ataahaatie equations ara tha atatiatioal langes of tha physical
eeaeeat ef «ha <j • • • s e a l screening er af tha taat partiel* introduced by XOSTODRC ),
Thus screening af particles cones in naturally, whereas i t ia usually, introduced
relieving phyaioal aaaaldarationa In tha noranl Fokker-Planok aquation ' ' .
1
1 0
Finally» vainc thia f e m a i l en, we have obtained» to f i r s t order, a aat of
two kinetic equations governing tha evolution of tha systeis. A further atep of tbla
study la to «at the aalutlan of the aat of eqa. (%.13Ï end (4.16) in ordar to obtain
the tin* evolution of the ene-pcrtlole dia tribut ion function. Than the f r i c t i o n and
diffaaiea tenaa vhieh appear in tha right-hand aide of aq. (4.13) v i l l be computed.
Thia work w i l l font tha subject of a following paper»
This epprjaoh w i l l alee-he extended to an eleatron-ion plasma ao aa to
study the eleetree«gaetlc**energy transfer t e the ioa population.
¥e wiah to express atir aiaeere thanka t e ». 0UX1XAHEUX for h i s constant
interest and far several helpful discussions during tha present work and to
D. OOLOlaVMT far hia valuable eaeawnts and discussions, and for hia a s s i s t anas in
the préparation ef thia nnnuacript.
(10)
J. •0»aUhl> t Froo. aoy. l o o . , *60 A. 11» {1961 ) .
Treiaieae Parti*
(à paraîtra dana tfttovo Ciaento B)
tKOKAjnc rame TmÈorr FOR PLASMA, XH smona RJcnw*ua»f«Tic raun
H . - Friction and diffusion
tint.
C. MAXatLOT* and O. DZ *OHA
rii—îlaaai l a i à l ' X n e r f i e Atomique,
Caatra d'Itudea da Liaeil - Villeneuve-Saint-r-»orfe s
JajajajajQ.- l a a forawr work* by —ana of a atocbaatxc as*hod we obtalnad a
•at af two kinetic equations governinc l a the f l r a t order, tbe interaction
af am. alaetraai plaaai with a atronf alaetroaamnatie wave. Tba aolutioti of
t h i s aat af equatiaaa leada to the oeapwtation of tba f r i c t i o n and d i f f u eioa t e n » af tba evolution aquation for tba on-^-par t i d e diatriNition
function. Tbia evolution equation turaa into tba Belesou-Lenard quation
wbaa tba axtaraal f i e l d i a aat equal to aero.
1 . - latraacatiaai.
v
l a a preview* paper '» baraaftar referred to aa 1, a nodal bae been
propoaad wbleb allowed «a to carry out it theory that can be applied to tbe interaction of a a treat; alee treaaaae t i e f i e l d witb a c l a s s i c a l , noa-quantua and non-relatiTiatio electron plaeaa aad particularly to taa laeer-aatter interaction. Extending;
tbe aTfUTOHOVICfl atoobaatio aethod ' * ' (enerallaed by SO * ' acd OtXiNUXA. * ' , we
obtained a hierarchy of equations. Thia hierarchy oan be broken by expanding probab i l i t y fanetioaa with reapaat to « aaall paraaeter which takea into account tbe
plaaaa e l l » t i v e propartlea and the strength of tbe external f i e l d and by asking
wee of t cluster expansion for tbe correlation functions. Thus to f i r e t order, a
aat of two kinetic equatlona governing tba ayatea waa found. We recall tbeae eqv^tieaa i a Snot. *,..
3
1
The .Vs i ' the preaant paper ia to get tbe solution of tbeae t*o eq- ".ens
l a order to obtain the tiae evolution of the one-particle die tribut ion function In
order ta do that, i t l a neeeaaary to auke the proper chance of variable• and to uoe
Pewrler-Lapleee tràÀaforae for tbe aacorl equation. After having «oaputed the f r i o (*/
Alao at I n s t i t u t Universitaire de Technologie (Unlvereice d'Orsay, Parla H )
94 - Cachan (Franco)
tion and diffusion tarais, va shall be able to write down the evolution equation for
the one partiels distribution function and, fro* this point, we sball ahow that,
by taking tha asternal field equal to zero, this aquation turns into the BalescuLenmrd aquation.
2.- Kinetic Equations.
The s a M notations as in I will be uaed throughout the entire paper. However wa recall that f, is the one particle distribution function (to zeroth order in
£ , we have f (v ,tj = C°(v^,t)
)
1
and that J« /| i« defined by :
« i / i * i ' * i * * * *a
t
}
=
f
(
i * i ' *i
J
+
s
t t
t
*i/i i' V ^ V
2
î
where '«./. i» of first order in 6, and g. *. is the one-particle conditional distribution function.
V* had also defined :
* E° : amplitude of the external electromagnetic field E° cos ut in vacuum.
^
r cos u>t
*W
*a» V
-
i
" <••'•"> L
E*(t.,, t ) = - (e"E°/"«)
0
->
- coa cdt
3
T3-
* + (*t - * ) "la-tjj
a
(«mat, - ainwt )
2
(2.2)
2
As found in I, the two kinetic equations are ;
1
tfV.
&V
»T.
1
«Ï.
(2.3)
with the following: vector and tensor notations ;
•£-.*,<*,. v-Z?
oc=i i^" 1a
^
where v.
.*<»,. t , ) .
.
a
A
,—s^
represents the tt-tn component of the vector v,.
^
/
- 91 s.
rapraaanta a friction tara and ia aqual to :
,
r
" ®afi
s
<
t
Ttt 'V 1> ' '
, / -
> < V*1<°> " «l >
«Pre»*nts * diffusion t*r* and i t a expression i s :
T
«pt i'«i) - <•/•>* \
<»Ap >
f
d
r
Sï
(
)d
°<V V " ' 1/1 *3- *|/«V V " * 3 ""fi,
r°(6j. t,)at,
(2.5)
Th. aquation (2.3) can ba «rittan in anotnar fora i
- - | - o—ot,
. — . K
- j — - sÇ
dv_
tt-i
10c
a V
v,, t,) f,(v,.
t,)
• 5 * ^ ; * ° ^ . >*>,.«,>
fa
l a th* dynatmical f r i c t i o n
"foc
(5-7)
3*1 represent tba average field at x. due to the "flald pàrticlee" influenced by tba "teat partiel*". This ia expressed by M a n * of the conditiocal distribution function s* /•. for tba "field particles" given that the "teat partiel»" vas in
OL at t K o (bare above we call "test partiels" the partiels under observation whose
distribution function wn wish to calculate and "field particles" the other particle*
in the systew). >K. 1* the friction by polarisation.
If v* look into tb» aquations (2.4) and (2.5) which giva raapactivaly 3j
t
a
and * , wa can asa that tbasa tars» dapand on fig, ,. (f-, o/ i
» °)
a
n
d
Î*. y. (| it./^l-pt,) which ara governad thaasalvaa by j
1
j | - f*l/1<fe' W < »
•>_ »
T
* 2 • « "
S
*1/1 " ^
S
" " " 2 " { f " «1/,
f '»#(J'„-3',)
* ï JT- • j|" » &
- 2, " -, *, * *.<VO.oj) rj(, ,t )
2
(2.6)
a
•V^-I'^Y^.^/!^' V*2- *»)«*, *?»,• '.'
Conaaquantly If, for f. , wa want an aquation frss of «"B,/., • wa_aust solva
aquations (2.6) and (2-7), and carry the solutions found for Sg*/. into ?1 and J&.
It saaaw obvious that a changa of variablaa taking us into an oscillating frasw will
simplify considerably th» computation. Lat us, «aka ths following transforation :
(2.8)
u » v + •
r- t
By this transformation, tba partiels» acv» along,trajsetoria» eowparabl»
to thosa that thay would bava without any external fiald. This suggeata that tha
smthaiitlcal Bathed* naadad to solva tha. sbova. aquation aigth.be tha aaaw as those
usad far ta» casa without-any fiald.
Tfcea we.aaa writa 1 .
n
Tï0(y
' y* ) '
sj(>s.v-£j—J^s»w, .T /y.o)d
i
1
(a
Ih
-
9)
\ri
1 i s tratiBfoXMd into
h -
I
Ma/
(2.10)
\\
(S
I la tranafenaad into
ft
•I
s
*«,/
\ \
Undar tha aaaa tranaforamtion, tha diffusion torn bacos» • t
*ÎK'''»i/i(1 .'T /li,.r
3
1
1
+ ir)d» d
3
7 l )
' ' • . i [ V r îîSçai ^ ^ - v . ^ - " ^ • <>><«i3
"»J. J »?,
aî,
'
3
1
3
3
(a.ii)
Xf va parferai tba transforation (2.8) on tbs aquations (2.6) snd (2.7) •
w* obtain :
"^
. / i ^ l s.,,, „,. ^
.c^
r>2
>
•ncl :
s
(
T
,d,|
r
• ^é • t " t P ' v . v v v « 3 'ffti- i>
.|J
In the above aquations, f. represents the distribution function for non
interactinc electrons In an external field. Its evolution aquation is given by that
of f, to «erota. orders i
'
><(».*)
,y
—rrr
*-*- cos wt . —•
.fftv.t)
=0
(8.1*)
With th* tr.ufor»mtion ( 2 . 6 ) , w« obtain t
ï f f ( u . r ) •'
'
it follows that :
f°{u.r) - f°(u.o) - f°(u)
(2.15)
Consequently, i n the (y, "u, V) frae», tha distribution function f, i s tie» independent. I f ire eoB» back to the original fraaw.(x, v*, t ) . we have :
.f°(>,t) -'*?<.?+ ^ ? linwtl)
Here we «rat back a result which has been found, already v
(2.16)
,'.
3 . - Friction tersu
In ordar to coapute tha.friotion and diffusion, tense, wears soins to usa
Fourier-Laplace transforms on tha apace and tie» variables. Let us state precisely
our own conventions :
Fourier transf o n :
r
1
*(*)•« T - - * I ; .n>(iï.x) ip(k)oi
.»«.£
(3.D
exp(- 1 Î . Î ) f(x)dx
Laplace transform :
ct+ia/
: axp(pt) Y(p)dp
a-ia
i
v
T<p) « /
•J
«xp(- p t ) y ( t ) a t
O.a)
If wa loak at aquation (*.•)» wa nota that wa naad to know
i
**1/1^*'^l^laL *°)
n
s
r
d
l
T
t o
conputa *>• *o» firat of all, wa auat aolva aquation
(2.12) far •(./«•'I** «• carry out tha FouriarrLaplaca tranaforna on thia aquation ;
wa obtain i
• «a
*1
»"*
- „ - « i f - i ï , .<?,-*>,r,)J
••«t/i<VV*'V
o)
', ,
3
3
<->
Latar on, wo shall diaracaxd tha laat tarai in thia aquation whan wa aaauna no corralation at t « o. Lat u» now dirida (3.3) by (p, + A ^-"p) " ^ intagrata it ovar u"„
(3.*)
« [du iI kk . — 2
D(k,p)
,.Ï»
ff
k,p) .
- 1 :..-*
:-.-* j
k
p + 1 k.u
1
u
J
(3.5)
J
i s t h . unial dl«l«ctrle coaffd.ci.nt.
Mow trom aquation (2.9) v . ax. a b l . to w r i t . I
* "o J (2n)
3
2in ~ k f
• O .."•* . ( J ( « )
3
2in kf
pj+iEj.S;
p^ik,.!!,:'
D ( k
i '»i>
D(k,, )
Pl
- 96 In ta* original fraaw (£* ?,
lT
* 1'*l' * " » .
t ) , taia frlotlon tar» road* i
1 J (in)
3
IIS
k*
'
p,*i ?,.(»,« î° .iiKot,/.»)
t.- DirT«aia» t.ra.
Xa ordar to ceaxtuta taa diffusion tox« 36 by a»ana of tha aquation ( 2 . 1 1 ) ,
aa Mist araluata i
«•°K) • «
1 / 1
(I| ,T /| T:
3
1
V
1 +
O-)
Plrst, lot us noto that tho cluator expansion of tho two-particle probability denelty D (1,2), wbere 1 and 2 neans (t , t, ) and ( £ , tg) can bo written :
1
2
D(1,2) • 0(1) »(2) + P(l,2)
-^f,(D
«mora P ( 1 , 2 ) l o of ordar
f,(2) +P(1,2)
(4.1)
.
Purtbamore, by definition o f tha conditional probability danaity va haro :
D(1 ,«) . D(») D(l/2)
f
1
" 7 . < * > «1/11 /»'
,y^[f,<»>
f , ( l ) • e « , ( l / 2 )]
|/
O»-*)
I f we eeapare ( * . l ) and ( * . » ) , ve obtain :
P(1.1) . ^ t
f , ( 2 ) J», ^ ( 1 / 2 )
to flrat ardar ià-£.
•tly, it !• auffieiont to know i
L«t va Multiply aoawtiaa (*<13) by (/ft™»)/**}
*,:it than follows t
a
B
d
P
s r f o r B
* • Fouriar-Laplaoa
- 97 u
P, *(*,,»,.»,"! kj.Uj.Pj) -!><*,,u,,o i tj.Oj.Pj) + i î , . î , POti.ii, .p,-
L
du
,(k
u
; fc,. 2.'P2>
p
"*P 'ffi' • " ^ / 3 i' 3' i •»' W " » )
•o
¥•
Ug,
>S,
-
'
^ ^ * ^ (p^iîj.^Xp^iî,^)
auccaaaivaly diylda (4.3) by ( p ^ i ^ . u ^ ) and intagrata it ovar u^ and than ovar
ira obtain :
a(k,,p, Î Ï^VPJ - j d«, du, p(k,,u,,p, ! k,.u,,p )
2
D l
W._.,.."
".T
2
+i
•
;i
i
i(Pa k - i)(Pi+ S-» >
i
a
V* can not* tnat Q i a cotmactad v i t h tha apactral danaity of danait7 fluctuations
ay tks m i l tawa r . l a t i o n ( - ) ,
, 0
1 2
' - ;~ : »(Jc,.p," i itj.P,) - n* i ( k , , p , - ! k j , p ) + n J <tu''f,(u,p,)<
2
(*.»)
Q
Va obtain
. | * ^ ' K k , .«,-.• i «i.-a.Pa)
fraai aquatian (3-3) >
J
.
^
^
- 1 2 *
n
<
)
V
2
p +i kj.5,
2
Dfkj, pj.)
(4.5)
Substituting this valus i n ( 4 . 4 ) . wa'cat :
Jd», d u , T* Pfkj.Uj.p,
(»)3
i 1CJ.UJ.PJJ)
"V"»
*o
1
1 -•><«, .F, ^ ( - . . P s )
pd^.p,) o(kj.P )
2
f
f »
J (p,+i k,.u)( p
:
2 +
iÇuT
r
By ualnc .aqwatiaata (2.11) and (h.6)
l
i t follow» aftar aoa* obvioua alfabra ;
^ '' ». J(a»P
4- J («in)* P . - » W
Ç
,
f>) du
<*.7)
. ° B<k, .P, )»(-»,.Pj) J (Pj-H^.ÏXPj-lî,.?)
Tnn diffusion torn tt is written in th« original fran* (x, 7, t) 1
*<_ . 0 . 4 fji_ i^Sif v ^
' '
"oJl»)
3
k*
J (Jin)
«»{<*, »,>«,}
:
1
P - i *,.», - i V « V t i » » ! , / »
a
,
*
f
r?(») a»
•
i - =
=-=» ( » , . » , ) "(-kiFP») J ( « , + i f c , . » ) ( » , - ! k,.»)
(*•«)
5 . - sVolntion sonntion for tbo . . . - n n r t i c l n distrUutinn function.
1%» nnova expressions for the f r i c t i o n and diffusion torn* 3C and St do
not depend on •§\ ... Thun ve nro s a l s to ifrito an sirolution aquation for f- vnick
daponda only an f ? i •
• - °- •
±.
±
t
«1
(u, , , 4 J_ f J X *Sl i | l -»fc<V W}
r
.11» I-' V ' >*, ' J (jap »i« I f
+
7
p^ik,.»,
«?(",)
D(k,.P,)
4 J_ /jS_ Î Â »?<».' ["-. S
»o . 3 ,
J (w)
3
k*
»»pfo.(»i**s>] _ j
'
>3,
J (auO*
"(k, ,P, ) * g(-k, ,p )
2
(3.1)
(13)
D(k,.P,)
_ f du r°(u)
J p^ik,.!,
In «he original frajna this aquation raada 1
(5.»)
^r- f, (T, .*, ) - *JE . — t . J - t
(*»)*
f
p.,-1 ^ . ( T , - » " !
(,, ,t, )
0
.imut,/»^
P,*P
D^.P,)
2
-
•.•';
D(-k,,p )
2
(5.3)
In ortar t a caawlada thie «action, wa look now at what happens «ban tfaa axtarnal
f l a l d • * l a aat «g—1 to vara. AM i t la usually aaaiaasd In thla c u t , w« shall
aopfiaa tkat a l l aixvalarltiaa of [l/bfk, •?.,)]
•xponantially daapad whan t —*•
aad that tta anly ra—lalai aamtrlamt'iaai arlaaa froa th* othar polaa,
«Mar tfcaaa eaaaltiama, aha a a n a t o t l c f o n of tha frlotioa t a n la : .
a x m
1
r <», > - - ? J T ^ V T *•' /
t
r
m
•
. J (an)
3
kf
<->
t
-..j)(ii -i..jt ..T )..
|i
1
'^•^R^iF
»(»)
5 4
--.
. f t»<T) . _S(» - *£)<lv
1
(5
-
5)
,
.<*«)
f i M l l r , rraa •«••&.•>• <1.i>), «ml ( 5 . 5 ) , v» obt«in :
nw* f i l e ,
k,
*'(».),
Aa far a* tha diffuaion tarn l a oeacarnad, W find that i t ia aqual to tba following
axpraaaian whan 1° • 0 t
'
Following tba aaaw procadura aa for tha friction coafficiant, va find that tha only
raaminiac contribution ooawa froai P +P * G'-which laads to the following aaynptotic
far of JP i;.
1
(
i'
».j^
IT
2
V
U.
m
«V*V, **,.-*> "("S-a'
. ' / . ' ' " .
(5.9) .
I f «a nawdiaaiaaa tka oaatour of tna p_-intagration toward* tha raal
nxia, wa. cam write -#u • t + i w ( C • *.-T ° . ) u d by néant; of tha Ploawlj fonaula
va obtain i
t
*(v, *,. - 1 P' - 2 ^ v ^
N j (»)
kj
1
3
. A\ | ? _ • «*(*» Î. .7, )
y _ _ " w+1,.?,
^ '
(5.10)
where va have uaa tha ralation
(13) .
u(k,, i ) .i nf-k,, U ) , j£ H- ^)
(5.U)
la r*al, i t ooawa
:
ï , : ^ f jâ_'. -ffi." • rw • ' .
(Tl
1
V '
°, J ( » P
Ijf
|D(k, -i l»)l
Canaaq—.tly whan B° > 0 tha «volution aquation for f^ ia t
a
(5.13)
«f-^rîô,)
. • .' . •(,.,„
>*
where'the ftwtetiom J f ^ ) i » .defined, ay i:
1
m
o J k* (an)
3
1
I D C H ^ I k,.^)! -
•quatioa (3*13) A* nothing- alaa but the Balaacu-Lenard equation. Till» leads to tha
important oanelvaion that for X° - 0 stochastic method gives tba classical resuit*.
6.- Trmliain*Va study tl» interaction of an electron plasma with a atrons; electromagnetic wave ih^whleh tba electrons aequira an energy W_ greater then or equal to ifcair
thermal energy ET. This la ta» anat important assumption of out model and In fact
cosuit'.tutea it if originality. Va assumed that, in first approximation, tha electrons
a*an trajectories vara driven by ta* wave eleetiïc field, and that In second approximation, ^île-interaction between particles give rise to fluctuation» about their
•ma* trajectories, y1
Under this condition*, the system la wall dascribad by means of a «at of
two equation* governing- the oew-nextiele distribution function and *H* coaditlonal
distribution function. Tha usual technique a baaed O K Pouri*r»I<*plac* transforma have
allowed usute aalv* thia «at of aquations. So ma-, have ^m^tt able to compute tha friction and diffusion t a m a taking- imttlleitly into, account the dynamical- screening of
particles whereas in tba other methods it is introduced by means of cut-off «athod*
or by assuming a dielectric behaviour for tha plasma from physical consideration** '
7
Finally if wa caneel the external field; the' avolution aquation previously
obtained far tba one-particle distribution functionto*corns*tha wall-known BalescuLeoard equation. This rasait orna b« regarded as a confirmation of the validity of
tha method tisad harà.
Up to maw sasja authors have been interested in similar problasts, usine
kinetic theory. Some of thorn V * " ^ atard from tha Ylaaaov equation disregarding
correlations betwaett participa. Othar works (9~ ")
B . B . G . X . T . hierarchy in
order te cessait* a aoM-litiear plasma conductivity. Tor that, it is sufficient' to tab* one-time correlations ; .but if wa want to obtain epectral'densities like a
(cf. equation (k,k))
it is neooaaary to know two-tine correlation function and, in
addition for the strong external field/case, wa need non-stationary two-time corralatiens* In order to obtain this latter quantity, it impossible to start from tba
two-time ïi'à.S.K-I. hierarchy like ROSTOBR * ' but wa hava preferred the atoehastic aamreaeh ef STUTOMOVXCH. This method allows us to slmplify the problem,- «a
early «a whan writing tha aquations of motion of each particle, by; soparntiiig: tha
.,str*mg daterministic part from the small stochastic one.;.•>•.1 7
1
u m m
1 9
t b #
Throughout thia work, we have applied the Stratonovich method to the study
of an electron plaema interacting- with a strong- external field. The further step
will be the extension of thia nodal to an electron-ion plasma because it is essential
to regard the iona a* a aat of particles and not as a uniform background of immobile
positive cliargee in order to ahow in particular energy transfar phenomena in a
very
strong electromagnetic field.
Ve wish to express our sincere thanks to P. GUILLAHEUX for his constant
interest and for several helpful discussions during the present work and to
J>. COLOHBAKT for his valuable comment and discussions, and for his assistance in the
preparation of thia manuscrit.
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