Feuille d`exercices

EXERCICES ET PROBLÈMES
Ch. 7 : Calcul littéral - Développement
: Oral
. : Application
? : Approfondissement
Rappels
Réduction
1 Calculer chacune des expressions suivantes
pour a = 2 et b = 1
5 Réduire chaque expression dès que c’est possible !
1. 3a
4. 2ab
1. 2x + 5x
2. 5 − 4a
5. −5(a + b)
2. 8y − 5x
3. −5x 2 + 9
6. 3b2 − 2a
3. 9b − 4b
4. 3x + 2y + 2z + t
2 . Calculer chacune des expressions suivant pour
a = 12 et b = 23 .
1. 4a − 6b
3. 7(a + b)
2. 5a − 9b
4. 2ab
5. −4a + 8b − 9b + 4a
6. −10x + 7y + 5y + 20x
6 . Réduire les expressions données.
1. 3x 2 + 5x 2 − x 2
3 .
2. 7x + 5 + 9a − 6 + x − 6a
1. Développer les expressions données.
(a) 7y (−2x − 5)
4. 10x − 15 + x 2 − 12x
(b) b(−2b − 4,3)
5. 45x 2 − 10x + 35x 2 + 8x − 3 + 2x
(c) (4 + 2y )(−3,5)
(d) 5
3
10
+
2
5x
3. 3x 2 + 5x − 10x 2
6. −7y − 5y 2 + 10y + 3y 2 − 3y
2. Factoriser les expressions données.
7 ? Monsieur Ledoux souhaite faire peindre le
mot BOULANGERIE sur la façade de son nouveau
magasin. Il estime que toutes les lettres de ce mot
sauf la lettre I doivent avoir une largeur de x cm,
que la lettre I doit avoir pour largeur x3 cm et que
l’espace entre deux lettres doit être de x2 cm.
(a) 5a − 5b
(b) 6x − 18a
(c) 42 + 28y
(d) −5a2 + 10
4 ? L’aire d’un triangle est 14x + 7x où x désigne un nombre positif. La longueur d’une de ses
hauteurs est égale à 7x.
2
1. (a) Factoriser l’expression 14x + 7x
2
(b) En déduire la longueur du côté relatif à
la hauteur indiquée.
2. On donne x = 1,5 cm, dessiner un tel triangle en vraie grandeur et calculer son aire.
1. Exprimer en fonction de x la longueur totale du mot BOULANGERIE à peindre, et
réduire l’expression.
2. La façade du magasin de Monsieur Ledoux
mesure 3,22 m de long. Quelle sera en cm
la largueur maximale de cahcune des lettres
peintes ?
8 ? Le cercle C1 a pour centre I et diamètre x.
Le cercle C2 a pour centre J et diamètre 2x, où x
désigne un nombre positif.
12 ? Aïcha achète 5 cahiers, 3 stylos et 2 paquets de copies. Un cahier coûte 0,30 e de plus
qu’un stylo et le prix d’un paquet de copie est le
double de celuid’un cahier.
On note x le prix, en euros, d’un stylo.
1. Exprimer en fonction de x
(a) le prix d’un cahier ;
(b) le prix d’un paquet de copies ;
(c) le montant total des achats d’Aïcha. On
donnera le résultat sous sa forme développée et réduite.
2. Un stylo coûté 1 e. Quel est le montant des
achats d’Aïcha.
Double distributivité
1. Montrer que la longueur du cercle C de diamètre 3x est égale à la somme des longueur
des cercles C1 et C2 .
13 Dans chaque égalité, dire quel terme le
complète.
1. (2x − 3)(x + 7) = 2x 2 + . . . − 3x − 21
2. Montrer que l’aire de la partie colorée en
bleu est égale à celle d’un disque de rayon
x.
2. (x − 6)(9 + x) = 9x + . . . − . . . − 6x
3. (1 − 5x)(2x + 1) = 2x + 1 − . . . − . . .
4. (4x + 1)(1 − 5x) = . . . − 20x 2 + 1 − . . .
Supprimer parenthèses
9 Supprimer les parenthèses de chaque expression puis la réduire.
14 . Développer et réduire les expressions données.
1. (1 + 3x)(7 + 5x)
2. (10x + 9)(10 + 9x)
1. 5 + (3x + 2)
4. 4 − (3y + 1)
3. (−6 + x)(3 − x)
2. 2y + (6 − 3y )
5. 2x − (−3x − 6)
4. (8a − 5)(−a + 2)
3. 3b + (−5b − 7)
6. 5a − (−3a + 4)
5.
3
2
6.
3x+2
5
10 . Pour chacune des expressions suivantes, supprimer les parenthèses puis réduire.
(−2 +
2x
3 )
1. Calculer le produit (7x − 5)(2 − 3x) pour
x = 10 sans le développer.
2. 21 − (x − 3 − 5y )
2. Développer et réduire le produit (7x −5)(2−
3x).
3. −5 − (−1 + x − 2y ) + (3x − 2y )
4. 7x 2 − (9x − 5) + (1 − x 2 + x)
3. Remplacer x par 10 dans l’expression obtenue à la question précédente et vérifier que
le résultat est identique à celui obtenu à la
première question.
11 .
1. Développer les produits : −2(3y − 6y 2 + 4)
et 3(−2 − 4y ).
B = −2(3y − 6y 2 + 4) + 3(−2 − 4y ).
15 .
1. 4x − (3x + 5)
2. En déduire la forme réduite de l’expression
− x (4x − 6)
16
?
On considère le programme de calcul :
— Choisir un nombre de départ.
— Multiplier ce nombre par −2.
— Ajouter 5 au produit.
— Multiplier le résultat par 5.
— Écrire le résultat obtenu.
1. Vérifier que lorsque le nombre de départ est
2, on obtient 5.
On rappelle que toute vitesse se calcule à l’aide
de la formule V = dt , où V représente la vitesse en
km/h, d la distance parcourue en km et t le temps
en heures.
1. Expliquer la formule de calcul de la distance
de sécurité dS.
2. Arthur prétend que, pour n’importe quel
nombre de départ x, l’expression (x − 5)(x −
5) − x 2 permet d’obtenir le résultat du programme de calcul. A-t-il raison ?
2. Calculer, en mètres, la distance de sécurité
à laisser entre deux véhicules roulant à 90
km/h.
3. Sylvie affirme que, pour calculer la distance
de sécurité, il faut utiliser la formule suivante : dS = V × 0,56. A-t-elle raison ? Expliquer la réponse.
Problèmes
17
?
Réduire le plus possible, l’expression
R=
18
n+1
n
−
.
n
n−1
?
Attention à la canicule !
En France, on mesure la température en degrés
Celsius (◦ C) alors qu’en Grande-Bretagne, on la mesure en degrés Fahrenheit (◦ F).
Voici une formule permettant de convertir des
◦
C en ◦ F :
9 × TC
+ 32,
TF =
5
où TF est la température en ◦ F et TC la température
en ◦ C.
1. Quelle température en ◦ F correspond à une
température de 20◦ C
2. Kévin affirme que le record de chaleur en Europe est de 100◦ F ; Gaïa lui rétorque que lors
d’une canicule les températures ont dépassé
ce record et ont atteint 42◦ C. Qui a tort ?
19
?
Distance de sécurité
La distance de sécurité entre deux véhicules en
mouvement est la distance minimale qu’il faut laisser entre les deux pour éviter une collision si le premier véhicule freine. Pour calculer la distance de sécurité entre deux véhicules, on admet qu’un conducteur met deux secondes à réagir en cas de freinage
d’urgence. Elle se calcule de la façon suivante :
dS =
V × 1000
× 2,
3600
dS est la distance de sécuité en m et V est la vitesse
de déplacement en km/h.
20
?
Ne t’emballe pas !
Le débit cardiaque est souvent mesuré chez les
personnes cardiaques ou les sportifs.
On l’obtient par la formule suivante : DC =
F × V , avec :
— DC : débit cardiaque (L/min),
— F
:
fréquence
cardiaque
(battements/minute),
— V : volume de sang ejecté par le coeur par
battement (L/battement).
1. Quel est le débit cardiaque d’un homme
dont la fréquence cardiaque est de 70 battements/minute et dont le coeur éjecte 7 cL
de sang par battement ?
2. Expliquer pourquoi F =
DC
V .
3. La tachycardie est une maladie qui concerne
les personnes ayant une fréquence cardiaque
supérieure à100 battements/minute.
Un homme au repos dont le débit cardiaque
est égal à 5L/min et dont le volume de sang
éjecté par le coeur est de 0,045L/battement
est-il atteint de tachycardie ?
4. Le débit cardiaque augmente lorsqu’une personne a une activité physique, ou est soumise à un stress ou une émotion forte. De
façon quotidienne, au cours de la digestion
des repas, le débit cardiaque augmente car
l’appareil digestif a besoin de sang supplémentaire.
On dit que le débit augmente de 10% environ pour la digestion d’un petit déjeuner et
qu’il augmente de 30% lors de la digestion
d’un repas normal.
Calculer le débit cardiaque durant ces deux
types de digestion chez une femme dont
la fréquence cardiaque au repos est de 75
battements/min et dont le volume de sang
éjecté par le coeur est de 4,8 cL/battement.