- ^ M. PLANCHEREL (Zürich - Svizzera) SUR LE DÉVELOPPEMENT D'UN COUPLE DE FONCTIONS ARBITRAIRES EN SÉRIES DE FONCTIONS FONDAMENTALES D'UN PROBLÈME AUX LIMITES DU TYPE HYPERBOLIQUE § 1. - Considérons un problème de petits mouvements d'un système continu à une dimension, non nécessairement dépourvu de frottement, régi par une équation (1) .2 v a ( a .)U +0 ( a .)g_x(«)_-0 > O ^ ^ l , iâO et par des conditions aux Umites (2) Ui(u)=0, U2(u)=0. L(u) est une abréviation pour Nous supposons que les conditions aux Umites sont indépendantes de t, que a(x)>0, p(x)>0, que a, b, p, q ont des dérivées secondes continues et que le problème (3) L(u)=0, Ui(u) = 0, U2(u)=0 est adjoint à lui-même. On sait qu'une solution du problème (1), (2) est déterminée par les conditions initiales u=u0(x), -r- =uL(x) pour # = 0 . Nous retrouverons cette proposition en ramenant par la transformation de Laplace le problème proposé, du type hyperboUque, à la recherche des valeurs et des solutions fondamentales du problème aux Umites du type elUptique (4) (5) L(v)-(aX2 + bX)v=0 Ui(v)=0, U2(v)=0 où X est un paramètre. Nous montrerons de plus comment le couple uQ, Ui peut se développer en séries de fonctions fondamentales du problème (4), (5). Nous donnerons ainsi la démonstration de résultats que M. BROMWICH (£) a obtenus (*) T. J. l'A. BROMWICH. Normal Math. Soc. 15 (1916)]. coordinates in dynamical systems. [Proc. London 250 COMUNICAZIONI d'une manière heuristique dans un mémoire consacré à étabhr sur des bases sûres le calcul opérationnel de HEAVISIDE. § 2. - La détermination des petits mouvements du type u=euv(x) conduit immédiatement au problème aux Umites (4), (5). Ce dernier admet pour certaines valeurs de X dites valeurs fondamentales des solutions v(x) =£ 0 appelées fonctions fondamentales. Si Xi et X2 sont deux valeurs fondamentales différentes, $i(x), <I>2(x) deux fonctions fondamentales correspondantes, la relation d'orthogonaUté généraUsée i i (6) (Xi + X2) [a<Pi$2dx+ Q [b&i<P2dx=0 0 montre que toutes les valeurs fondamentales sont situées dans une bande de largeur finie, paraUèle à l'axe imaginaire du plan du paramètre complexe X. L'ensemble des valeurs fondamentales est infini dénombrable, sans valeur d'accumulation finie. Les travaux de B I R K H O F F (*) et de TAMARKIN (2) permettent d'affirmer que dans le domaine RX __" 0 il existe un système vL ,v2 de 2 solutions Unéairement indépendantes de l'équation (4), du type Vi = e o M*) + ^ + o ( | ] (?) v2=e° 0 [VM{X)+*&L + O(± Il existe un système analogue dans le domaine RX __• 0. Désignons par G(x, f; X) la fonction de Green du problème aux Umites (4), (5). C'est une fonction méromorphe de X, dont les pôles sont précisément les valeurs fondamentales Xjc du problème aux Umites. L'existence d'un système (7) permet de vérifier les propriétés suivantes de la fonction de Green : a) Si l'on décrit autour de chaque point Xjc un cercle de rayon fixe ô arbitrairement petit, et si l'on désigne par E& le plan de la variable complexe X duquel on a enlevé l'intérieur de tous ces cercles, il existe une constante M=M(ò), teUe que dans __$ M \G(x,t, *)|<nn O^z^l, O^f^l; (*) G. D. BIRKHOFF. On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential equations containing a parameter [Trans. American Math. Soc. 9 (1908), p. 219-231]; Boundary value and expansions problems of ordinary linear differential equations [ibid. 9 (1908), p . 373-395]. (2) J. TAMARKIN. Some general problems of the theory of ordinary linear differential equations and expansion of an arbitrary function in series of fundamental functions [Math. Zeitschrift, 27 (1927), p. 1-54]. M. PLANCHEREL: Développement b) Si f(x) dans Q^x^l d'un couple de fonctions 251 est une fonction à variation bornée, on a, uniformément i é) dXJG(x, S; X)f(i)di=o{^j lorsque les intégrales de contour sont prises le long de certains cercles dont le rayon tend vers l'infini. On peut alors conclure que si Gic(x, f ; X) est la partie principale de G au pôle Xjc, on a ff=^]ßfc, la série étant uniformément convergente en x, f, X dans O ^ z ^ l , 0 _ ^ £ _ : 1 , et Eô. Les pôles de G sont en général du premier ordre. Il peut cependant arriver qu'ils soient d'ordre supérieur. S'ils sont simples, G prend la forme ^ ^ où l'on peut supposer que les fonctions fondamentales &jc sont normées par la condition i (8) f(2aXk+b)<Pldx=l. § 3. - Si f(x) possède une dérivée seconde continue et vérifie les conditions aux Umites Ui(f) = 0, U2(f) = 0, on a i f(x) = fa(x, f ; X)[L(f) - (aX* + M)f]d£. ò Par suite, si v=v(x, X) désigne la solution du problème non homogène L(v) — (aX2 + bX)v = — (aX + b)u0 — aUi Ui(v)=0, U2(v)=0 (9) (10) on peut démontrer que lorsque u0 et uL vérifient les conditions aux Umites i U v- -l-^=-\JG(x, i; X)[L(u0)+ )-L(Ui) + bUi\sdÇ o Prenant alors a positif et assez grand pour que toutes les valeurs fondamentales X]c aient leur partie réeUe inférieure à a, et définissant (11) u(x, t) = J L Jfaçf) ektvdX, I A \=Rn l'intégrale de contour étant prise le long des cercles dont ü a été question plus haut, on aura encore a-+4œ (12) u{x,t)=^-.je^v{x,k)dki 252 COMUNICAZIONI a+iiZ l'intégrale étant à interpréter corame Um / . A l'aide de (1) et des propriétés R-+CO._ a—iR asymptotiques de la fonction de Green, on vérifie encore que a+400 13 ( > kM 5-55 *$/$> = s/-*""» \l\-Bn "-^ h2U en supposant encore que u0" est à variation bornée. —« ne peut pas se calculer dt a+ÏOO par dérivation sous l'intégrale / . On peut cependant, par quelques considé- a—ioo rations simples, vérifier que la fonction (12) est une solution du problème de petits mouvements (1), (2), répondant aux conditions initiales u=u0, ->- ==Ui pour £ = 0 . Nous obtenons ainsi le résultat suivant: Les deux problèmes: P R O B L è M E I. - Intégrer dans le domaine 0 ^ # ^ l l , ^_?0 l'équation (1) sous les conditions aux Umites (2) et les conditions initiales u=uQ(x), -^ =uL(x) pour £ = 0 . P R O B L è M E II. - X désignant un paramètre complexe, intégrer l'équation (9) dans le domaine 0 _ ^ # ^ 1 , sous les conditions aux Umites (10) ont des solutions u(x, f), v(x, X) reUées entre eUes par les formules (transformation de Laplace) a+iœ œ u(x, t)=—- /e kt H x i k)dX, v(x,X)= e~uu(x, t)dt. § 4. - Du développement en série de G(x, f ; X) et des formules (11) et (13), le calcul des résidus permet d'obtenir des développements en séries de u(x, t) et de -TT. Ces développements sont particuUèrement simples dans le cas où tous les pôles de G sont simples ; ils ont alors la forme u(x,t) = ^ex*tAJc<Pk(x) k du du Tt=^Xke^Ap^k(x) k et sont uniformément convergents dans 0 ^ # ^ 1 , O^t^T, cients Ajc sont donnés par ± T fini. Les coeffi- Ak= l[(aXk+b)uo + aUi]<Pkdx o lorsque <Pk est norme par (8). Ces développements se réduisent pour t=0 séries uniformément convergentes u0 = ^Ak$k(x), k Ui = ^XkAk@k(x). k aux M. PLANCHEREL: Développement d'un couple de fonctions 253 Il est donc possible de développer en séries de fonctions fondamentales <Pk un couple de fonctions arbitraires u0, uL possédant des dérivées secondes continues et dont la première a de plus sa dérivée seconde à variation bornée et satisfaisant aux conditions Ui(u0)= Ui(Ui)= U2(u0)=U2(Ui)=0. Il est intéressant de remarquer que l'unicité du développement est vraie pour le couple, mais non pas pour chaque fonction de couple. Ce n'est que dans certains cas particuUers (par ex. b = 0) qu'en groupant les termes correspondant à des valeurs Xk conjuguées complexes, on obtient des développements possédant la propriété d'unicité pour chaque fonction du couple. Si la fonction de Green possède des pôles d'ordre supérieur, les développements en séries de u, TT, UQ et uL sont encore donnés par le calcul des résidus mais sont plus compUqués. § 5. - Si au Ueu des petits mouvements Ubres on a affaire à des petits mouvements contraints, le second membre de (1) est une fonction f(x, t) et il faut ajouter au second membre de (9) la transformée g(x,X)= \e~uf(x,t)dt. De même, si les conditions aux Umites, sans contenir t expUcitement, contiennent T - , i l y a Ueu de remplacer dans les conditions aux Umites du problème II le symbole — par X en faisant figurer au second membre les données initiales. On peut encore traiter d'une manière analogue le cas paraboUque a=0, ô > 0 . Pour plus de détails, nous renvoyons à un travaü d'un de nos élèves, M. W. MAECHLER, actueUement en préparation.