FICHE 1 MULTIPLES ET DIVISEURS On rappelle la signication des notations suivantes : N désigne l'ensemble des entiers naturels. N = {0 ; 1 ; 2 ; 3 . . . }. Z désigne l'ensemble des entiers relatifs. Z = {. . . , −3, −2, −1, 0 ; 1 ; 2 ; 3 . . . }. La dénomination "entier" sans précision signie en général "entier relatif". Dénition Soit a et b deux entiers relatifs. S'il existe un entier relatif k tel que a = kb, on dit que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a . On dit encore que a est divisible par b ou que b divise a . On note parfois : b | a. Exemples Les multiples de 6 sont les entiers de la forme 6k , c'est-à-dire 0, 6, 12, 18, 24, 30. . . mais aussi - 6, - 12, - 18, - 24. . . Il y en a une innité. Les multiples de - 6 sont ces mêmes nombres. 0 n'a qu'un multiple : 0 lui-même. Les diviseurs de 6 sont : 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 6, - 6. Les diviseurs de - 6 sont ces mêmes nombres. Les diviseurs positifs de 24 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Pour essayer de ne pas en oublier, on peut les grouper par 2 : 24 = 1 × 24 = 2 × 12 = 3 × 8 = 4 × 6. Est-il vrai que les diviseurs positifs d'un entier seront toujours en nombre pair ? Remarques a existe et est un entier relatif. b ? Pour tout entier relatif a : a | a, a | 0 et 1 | a. ? Si b divise a et b 6= 0, le quotient ? Si b | a et a 6= 0, alors | b | ≤ | a |. Un entier non nul n'a donc qu'un nombre ni de diviseurs (mais un nombre inni de multiples). ? Si b | a et a | b, alors a = b ou a = −b. Propriétés Quels que soient les entiers a, b et c : 1. Si c | b et b | a, alors c | a. 2. Si c | b, alors ca | ba. 3. Si c | a et c | b, alors c | a + b, c | a − b et plus généralement c | au + bv quels que soient les entiers u et v . ¨ §Ex ¥ 1.1 ¦ Déterminer la liste des diviseurs positifs des entiers : 72 ; 75 ; 83 ; 120 ; 200. ¨ §Ex ¥ 1.2 ¦ Déterminer la liste des diviseurs des entiers : 50 ; - 56 ; - 8 ; 63. FICHE 1 1 MULTIPLES ET DIVISEURS ¨ §Ex ¥ 1.3 ¦ Combien y a-t-il de multiples de 29 compris entre - 500 et 500 ? ¨ §Ex ¥ 1.4 ¦ Prouver que la somme de : 1. deux nombres impairs consécutifs est un multiple de 4 ; 2. trois entiers consécutifs est un multiple de 3 ; 3. cinq entiers consécutifs est un multiple de 5 ; 4. quatre entiers consécutifs n'est jamais un multiple de 4. ¨ §Ex ¥ 1.5 ¦ Un nombre n diminué de 4 est un multiple de 5. Démontrer que n2 − 1 est aussi un multiple de 5. ¨ §Ex ¥ 1.6 ¦ Un nombre n diminué de 2 est un multiple de 7. Démontrer que n3 − 1 est aussi un multiple de 7. ¨ §Ex ¥ 1.7 ¦ Soit a, b et d trois nombres entiers naturels. Démontrer que si 7a + 5b et 4a + 3b sont deux multiples de d alors les nombres a et b sont des multiples de d. ¨ §Ex ¥ 1.8 ¦ Avec deux nombres entiers naturels non nuls, on eectue les quatre opérations suivantes : on les additionne ; on les multiplie ; on retranche le plus petit du plus grand ; on divise le plus grand par le plus petit. La somme de ces quatre résultats est 243. Quels sont ces deux nombres ? ¨ §Ex ¥ 1.9 ¦ Déterminer les entiers naturels tels que : x − 3 divise x2 + 3. Indication : Écrire x2 + 3 sous la forme : (x − 3)(x + 3) + 12. ¨ §Ex ¥ 1.10 ¦ Déterminer les nombres relatifs x tels que : 1. x − 2 divise x + 5 ; 2. x + 7 divise 2x + 15 ; 3. x − 1 divise x2 ; 4. x + 1 divise x3 + 2. FICHE 1 2 MULTIPLES ET DIVISEURS