Constructions à la règle et au compas. Les mathématiciens grecs de

Constructions à la règle et au compas.
Les mathématiciens grecs de l’antiquité utilisaient la règle (non graduée) et le compas
comme seuls instruments de constructions géométriques.
I Géométrie.
On considère deux points A et B.
a) Construire sur la figure 1 de l’annexe 1, la médiatrice du segment [AB].
En utilisant cette méthode, vous pourrez donc maintenant construire le milieu d’un segment
donné et une droite perpendiculaire à une droite donnée.
La médiatrice du segment [AB] est
Soit C un point n’appartenant pas à la droite (AB). Construire la perpendiculaire à la
droite (AB) passant par C.
En utilisant cette méthode, vous pourrez donc maintenant construire une droite
perpendiculaire à un droite donnée passant par un point donné.
Construire un carré ABDE.
b) Placer un point F qui n’appartient pas à la droite (AB), puis construire le
parallélogramme ABFG.
En utilisant cette méthode, vous pourrez donc construire une droite parallèle à une droite
donnée et passant par un point donné.
c) Construire la bissectrice de l’angle
ABE .
ABE est
La bissectrice de l’angle 
d) Sur la figure 2 de l’annexe 1, construire les droites remarquables du triangles ABC.
Rappeler à cette occasion les définitions d’une médiane et d’une hauteur.
Si votre figure est correcte, les médianes sont concourantes en point appelé le centre de
……… du triangle ABC, les hauteurs sont concourantes en point appelé …………….... du
triangle ABC, les médiatrices sont concourantes en point appelé le
…………………………… du triangle ABC et les bissectrices sont concourantes en point
appelé le …………………………………………………….du triangle ABC.
II Constructions de nombres à la règles et au compas. (Voir annexe 2)
Choisissons deux points O et I. On peut ainsi tracer la droite (OI) et la munir du repère (O,I)
qui nous donnera, une origine O d’abscisse 0, une unité de longueur OI=1 et un sens positif,
de O vers I. Chaque point de cette droite correspondra donc à un nombre appelé son abscisse.
A l’aide de quel instrument peut-on construire les nombres 2, 3, 4, etc… ?
On peut donc construire tous les …………………………dont l’ensemble est noté .
A l’aide de quel instrument peut-on construire les nombres –1, -2, -3, -4, etc… ?
Les nombres …-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4….. sont appelés les entiers relatifs. Leur ensemble
se note . Ainsi on a ={…-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4…}.
Remarque : tous les éléments de  sont aussi des éléments de . On dit que V est inclus dans
 et on note   ℤ. ( On dit aussi que  est un sous-ensemble ou une partie de .)
1
Construction du nombre .
2
Première méthode : construire la médiatrice du segment [OI]. Si l’on note A le point
d’intersection de cette médiatrice et du segment [OI], quelle est l’abscisse de A ?
Deuxième méthode : tracer la perpendiculaire à (OI) passant par O. Placer sur cette droite un
point J tel que OJ=OI. (Il y en a deux mais pour plus de commodité, on choisira celui situé
vers le haut). On obtient ainsi un repère du plan, et comme les axes sont perpendiculaires et
que les unités sur les axes sont égales à 1, on dit qu’il est orthonormé.
Placer sur l’axe (OJ) le point B d’ordonnée 2. Tracer la parallèle à (BI) passant par J. Cette
droite coupe (OI) en quel point ?
1 1
Construire de même les nombres et . On peut donc construire tous les nombres de la
3 4
1
p
forme , où n est un entier relatif, et par suite, tous les nombres de la forme , où p et q sont
n
q
des entiers relatifs, avec q≠0. Ces nombres sont appelés les nombres rationnels. Leur
ensemble est noté .
Remarque :   ℤ.
D’autres nombres constructibles à la règle et au compas ne sont pas rationnels. Par exemple,
on peut citer le nombre 2.
Construire un carré OICD. Quelle est la mesure de la diagonale de ce carré ?
On peut donc construire à la règle et au compas le nombre 2.
Peut-on construire à la règle et au compas le nombre
le construire.
3 ? Si oui, en donner la construction et
Par une spirale, on peut donc construire les nombre de la forme n où n est un entier naturel.
(La plupart ne sont pas rationnels mais sont des nombres réels.)
Les nombres réels sont tous les nombres que vous connaissez, leur ensemble est noté .
Remarque :   ℤ
La question de savoir si tous les nombres sont constructibles a fait l’objet de nombreuses
recherches en Mathématiques, (depuis l’antiquité) et il a été prouvé, par exemple, que le
nombre Π n’est pas constructible à la règle et au compas. (Ce problème a donné lieu à une
expression qui signifie l’impossibilité de résoudre un problème : « la quadrature du cercle. »)
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