DIVISEURS D`UN NOMBRE ENTIER

DIVISEURS D’UN NOMBRE ENTIER
X - Décompose les nombres suivants en produits de facteurs aussi petits que possible :
Exemple : 12 = 2 × 2 × 3
18 = ................................................
30 = ................................................
90 = ................................................
120 =................................................
Y - Les diviseurs de 12 et de 18 :
Avec 12 personnes, on peut faire 2 équipes de 6 ou 6 équipes de 2,
3 équipes de 4 ou 4 équipes de 3,
1 équipe de 12 ou 12 équipes de 1.
Toutes les possibilités ont été envisagées.
Les nombres 1, 2, 3, 4, 6, 12 sont appelés les diviseurs de 12.
Ils sont représentés sur le schéma ci-dessous :
Deux opérateurs interviennent : × 2 (opérateur horizontal)
et : × 3 (opérateur vertical)
Procède de la même façon
pour trouver les diviseurs de 18
(où n’interviennent que les opérateurs 2 et 3)
Les diviseurs de 18 sont :
.......................................................................
×3
Z - Les diviseurs de 30, 90 et 120 :
En utilisant le codage ci-contre, complète les schémas :
×5
×2
Diviseurs de 30
Diviseurs de 120
......................................................
Diviseurs de 90
...........................................................................
........................................................................................................
LES FRACTIONS
Les calculs avec des fractions évitent d’utiliser des nombres à partie décimale illimitée dont on ne pourrait
écrire que des valeurs approchées.
Exemple : il est préférable d’écrire
3
plutôt que 0,428571428…
7
n L’écriture des fractions peut, parfois, se simplifier :
Le plus grand facteur commun par lequel on peut simplifier peut s’obtenir de la façon suivante : on
décompose le numérateur et le dénominateur en produits de nombres entiers aussi simples que possible.
Exemple : on veut simplifier l’écriture
72 2
36 2
108 2
54 2
18 2
9 3
27 3
9 3
3 3
1
3 3
1
72
108
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3
2 × 2 × 3 × 3 = 36 est le plus grand facteur commun possible
72 36 × 2 2
=
=
108 36 × 3 3
36 est appelé le PGCD de 72 et 108
Procède de même pour simplifier la fraction :
168
= .......... .................... .................... .................... ........
630
o - Les fractions peuvent s’ajouter et se retrancher :
Il faut écrire ces fractions avec le même dénominateur. Ce dénominateur commun s’obtient, dans les
cas les plus difficiles, en utilisant les décompositions des dénominateurs en produits de nombres premiers.
17 23
+
36 42
36 = 2 × 2 × 3 × 3
Exemple : on veut calculer
36
18
9
3
1
2
2
3
3
42 2
42 = 2 × 3 × 7 les facteurs 2 et 3 sont déjà écrits dans la décomposition de 36
2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 252 est le plus petit multiple commun à 36 et 42
17 23 17 × 7 23 × 6 119 138 257
+
=
+
=
+
=
1
36 42 36 × 7 42 × 6 252 252 252
19 11
Procède de même pour calculer :
−
= .................... .................... .................... ................
40 32
21 3
7 7
p - Les fractions peuvent se multiplier et se diviser :
Il faut cependant penser à simplifier avant d’effectuer les produits .
Exemple :
7 3
7×3
7×3
1
1
× =
=
=
=
(7 × 3 est le PGCD de 7 × 3 et 12 × 35)
12 35 12 × 35 3 × 4 × 7 × 5 4 × 5 20
Procède de même pour la division :
8
9 = 8 × 27 = ............................................................................................
16 9 16
27
PGCD
n - Nombres entiers et nombres rationnels
Un nombre est rationnel s’il peut s’écrire sous la forme d’un quotient de deux nombres entiers.
Exemples :
3
7
π
0, 63 =
63
100
7
3
sont des nombres rationnels.
1
ne sont pas des nombres rationnels.
3=
o - Écriture irréductible d’un nombre rationnel
Un nombre rationnel est écrit sous forme irréductible lorsqu’il ne peut pas s’écrire plus simplement.
On dit alors que les deux termes de la fraction qui le représente sont premiers entre eux.
Exemple :
60
2 × 2 × 3× 5
5
5
=
=
=
48 2 × 2 × 2 × 2 × 3 2 × 2 4
5
est irréductible
4
60
a été simplifié par 12
48
12 est le plus grand diviseur commun de 60 et 48. On dit que 12 est le PGCD de 60 et 48
p - Problème concret
60 m
48 m
Le côté des carrés est un diviseur de 60 et de 48.
12 m
On veut partager exactement un terrain rectangulaire de
60 m sur 48 m en un nombre minimum de carrés
identiques : ces carrés doivent donc être aussi grands que
possible.
Pour qu’il soit le plus grand possible, il faut choisir le
PGCD de 60 et de 48 ; c’est 12.
Chaque carré mesure donc 12 m.
Le nombre total de carrés est :
60 48
×
= 5 × 4 = 20 carrés .
12 12
q - PGCD de deux nombres entiers
Recherche du PGCD de 84 et 90.
a) On peut écrire les diviseurs des deux nombres et choisir le plus grand d’entre eux.
Sachant que :
84 = 1× 84 = 2 × 48 = 3 × 28 = 4 × 21 = 6 × 14 = 7 × 12
90 = 1× 90 = 2 × 45 = 3 × 30 = 5 ×18 = 6 ×15 = 9 × 10
Les diviseurs de 84 sont : 1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84
Les diviseurs de 90 sont : 1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90
Le plus grand des diviseurs communs est 6
Remarque : ce procédé est long et peu sûr !
PGCD(84 ;90) = 6
b) On peut décomposer 90 et 84 en produits de nombres premiers (Procédé utilisant la fiche d’introduction)
Précisions (ou rappels) :
Un nombre est dit premier lorsqu’il n’est divisible que par 1 et par lui-même
Les premiers nombres premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…
90 2
45 3
15 3
5 5
1
84 2
42 2
21 3
7 7
1
90 = 2 × 3 × 3 × 5 ⎫
⎬ 2 et 3 sont les seuls facteurs communs à 90 et 84
84 = 2 × 2 × 3 × 7 ⎭
PGCD(90;84) = 2 × 3 = 6
c) On peut utiliser « l’algorithme d’Euclide ». (Procédé utilisant la division euclidienne)
On commence par la division euclidienne de 90 par 84.
On peut représenter les différentes divisions dans un tableau.
dividende diviseur reste
90
84
6
84
6
0
division
90 = 84 ×1 + 6
84 = 6 ×14 + 0
Dès que le reste est égal à 0, le diviseur correspondant est le PGCD cherché.
r - Applications
a) Écriture irréductible d’une fraction
Si on simplifie l’écriture d’une fraction par le PGCD des termes de la fraction, on obtient l’écriture
irréductible de la fraction.
Exemple :
84 14 × 6 14
=
=
90 15 × 6 15
b) Problème de partage
Un fleuriste dispose de 315 roses et de 135 iris.
Il veut réaliser, avec toutes ces fleurs, des bouquets identiques.
Quel est le nombre maximal de bouquets et quelle est la composition de chaque bouquet ?
Puisqu’on doit utiliser toutes les fleurs, le nombre de bouquets est un diviseur de 315 et de 135.
Pour que ce nombre de bouquets soit maximal, il est donc le PGCD de 315 et 135.
dividende diviseur reste
315
135
45
135
45
0
division
315 = 135 × 2 + 45
135 = 45 × 3 + 0
Ce PGCD est égal à 45 ; le fleuriste peut donc composer 45 bouquets.
Puisque 315 = 45 × 7 et que 135 = 45 × 3 , c’est que chaque bouquet contient 7 roses et 3 iris.
NOMBRES ENTIERS ET NOMBRES RATIONNELS
X - Complète chacune des phrases suivantes:
17 est un diviseur de 51 car…………………………………………………………………………………………………………………………….
143 est un multiple de 11 car………………………………………………………………………………………………………………………….
23 ×18 = 414 donc ……………………………………………..……………………………………………………………………………………….
614 = 17 × 36 + 2 donc ………………………………….…………………………………………………………………………………………….
Y - Effectue les divisions euclidiennes suivantes et écris chaque résultat sous forme d'égalité:
675
131
651
93
675 = …………………………………………………………………………………………………………….
………………………………………………………………………………………………………………………
Z - Calcule les PGCD suivants (la méthode n'est pas imposée):
PGCD(140;84 )= ……………………………………………………………………………………………………………..………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
PGCD(45;140) = ………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….
PGCD(817;513) = ……………………………………………………………………………………………...……………………………………….
……………………………………………………………………………………………………….…………………………………….
PGCD(20;21) = …………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….……………………………………………….
[ - Écris chaque fraction sous la forme d'une fraction irréductible:
221
= ………………………………………………………………………………………………………………………….
255
513
= ………………………………………………………………………………………………………………………….
817
570
= ………………………………………………………………………………………………………………………….
684
\ - Un champ rectangulaire mesure 39 m sur 135 m.
Combien faut-il de poteaux, régulièrement espacés et distants de plus de deux mètres, sont nécessaires pour
clôturer ce champ? (la distance entre deux poteaux consécutifs est un nombre entier de mètres).
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Devoir
X
a) Calcule le PGCD d de 120 et 210.
120
210
b) Calcule les quotients
et
;
d
d
c) Vérifie que ces quotients sont premiers entre eux (leur PGCD est égal à 1).
Y
On répartit en paquets un lot de 480 crayons rouges et un lot de 608 crayons noirs de façon que tous les
crayons d'un paquet soient de la même couleur et que tous les paquets contiennent le même nombre de
crayons.
a) Combien y a-t-il de crayons dans chaque paquet ?
b) Quel est le nombre de paquets de crayons rouges et quel est le nombre de paquets de crayons noirs?
Z
Vrai ou Faux?. Explique chaque fois ta réponse:
a) Le PGCD de 18 et 45 est 90.
b) Si un nombre entier a est un diviseur d'un nombre entier b alors le PGCD de a et b est a.
c) Deux nombres pairs ne sont pas premiers entre eux.
d) Deux nombres impairs sont premiers entre eux.
[
Deux nombres entiers naturels x et y sont tels que : 315 x = 168 y .
x
a) Écris la fraction
sous forme irréductible.
y
b) Calcule x et y sachant que: x + y = 253 .
DIVISEURS D’UN NOMBRE ENTIER
X - Décompose les nombres suivants en produits de facteurs aussi petits que possible :
Exemple : 12 = 2 × 2 × 3
18 = 2 × 3 × 3
30 = 2 × 3 × 5
90 = 2 × 3 × 3 × 5
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
Y - Les diviseurs de 12 et de 18 :
Avec 12 personnes, on peut faire 2 équipes de 6 ou 6 équipes de 2,
3 équipes de 4 ou 4 équipes de 3,
1 équipe de 12 ou 12 équipes de 1.
Toutes les possibilités ont été envisagées.
Les nombres 1, 2, 3, 4, 6, 12 sont appelés les diviseurs de 12.
Ils sont représentés sur le schéma ci-dessous :
Deux opérateurs interviennent : × 2 (opérateur horizontal)
et : × 3 (opérateur vertical)
Procède de la même façon
pour trouver les diviseurs de 18
18
9
(où n’interviennent que les opérateurs 2 et 3)
Les diviseurs de 18 sont :
6
3
1, 2, 3, 6, 9, 18
2
×3
Z - Les diviseurs de 30, 90 et 120 :
×5
En utilisant le codage ci-contre, complète les schémas :
×2
15
30
15
3
6
90
45
10
5
18
9
15
Diviseurs de 30
12
10
24
20
40
2
4
8
6
10
5
1
120
60
30
1
3
6
5
2
1,2,3,5,6,10,15,30
3
30
2
Diviseurs de 90
1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90.
Diviseurs de 120
1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120..
LES FRACTIONS
Les calculs avec des fractions évitent d’utiliser des nombres à partie décimale illimitée dont on ne pourrait
écrire que des valeurs approchées.
Exemple : il est préférable d’écrire
3
plutôt que 0,428571428…
7
n L’écriture des fractions peut, parfois, se simplifier :
Le plus grand facteur commun par lequel on peut simplifier peut s’obtenir de la façon suivante : on
décompose le numérateur et le dénominateur en produits de nombres entiers aussi simples que possible.
Exemple : on veut simplifier l’écriture
72 2
36 2
108 2
54 2
18 2
9 3
27 3
9 3
3 3
1
3 3
1
72
108
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3
2 × 2 × 3 × 3 = 36 est le plus grand facteur commun possible
72 36 × 2 2
=
=
108 36 × 3 3
36 est appelé le PGCD de 72 et 108
Procède de même pour simplifier la fraction :
168 2 × 2 × 2 × 3 × 7 42 × 4
4
=
=
=
630 2 × 3 × 3 × 5 × 7 42 × 15 15
o - Les fractions peuvent s’ajouter et se retrancher :
Il faut écrire ces fractions avec le même dénominateur. Ce dénominateur commun s’obtient, dans les
cas les plus difficiles, en utilisant les décompositions des dénominateurs en produits de nombres premiers.
17 23
+
36 42
36 = 2 × 2 × 3 × 3
Exemple : on veut calculer
36
18
9
3
1
2
2
3
3
42 2
42 = 2 × 3 × 7 les facteurs 2 et 3 sont déjà écrits dans la décomposition de 36
2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 252 est le plus petit multiple commun à 36 et 42
17 23 17 × 7 23 × 6 119 138 257
+
=
+
=
+
=
1
36 42 36 × 7 42 × 6 252 252 252
19 11
19
11
19 × 4 11× 5 21
−
=
−
=
−
=
Procède de même pour calculer : 40 32
2 × 2 × 2 × 5 2 × 2 × 2 × 2 × 2 40 × 4 32 × 5 160
Le déno min ateur commun est : 2 × 2 × 2 × 5 × 2 × 2 = 160
21 3
7 7
p - Les fractions peuvent se multiplier et se diviser :
Il faut cependant penser à simplifier avant d’effectuer les produits.
Exemple :
7 3
7×3
7×3
1
1
× =
=
=
=
(7 × 3 est le PGCD de 7 × 3 et 12 × 35)
12 35 12 × 35 3 × 4 × 7 × 5 4 × 5 20
Procède de même pour la division :
8
9 = 8 × 27 = 8 × 27 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 72 × 3 = 3
16 9 16
9 ×16 3 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2 72 × 2 2
27
72 est le PGCD de 8 × 27 et 9 × 6 .
NOMBRES ENTIERS ET NOMBRES RATIONNELS
X - Complète chacune des phrases suivantes:
17 est un diviseur de 51 car 51 = 17 × 3
143 est un multiple de 11 car 143 = 11×13
23 ×18 = 414 donc 18 et 23 sont des diviseurs de 414. 414 est un multiple de 23 et de 18.
614 = 17 × 36 + 2 donc 36 est le quotient euclidien de 614 par 17. 614 n’est pas un multiple de 17 ni de 36.
Y - Effectue les divisions euclidiennes suivantes et écris chaque résultat sous forme d'égalité:
675
131
651
93
675 = 131× 5 + 20
le reste est égal à 20
651 = 93 × 7
651 est un multiple de 93
Z - Calcule les PGCD suivants (la méthode n'est pas imposée):
PGCD(140;84 )
140 = 2 × 2 × 5 × 7 ⎫
⎬ PGCD(140;84) = 2 × 2 × 7 = 28
84 = 2 × 2 × 3 × 7 ⎭
PGCD(45;140)
45 = 3 × 3 × 5
⎫
⎬ PGCD(45;140) = 5
140 = 2 × 2 × 5 × 7 ⎭
PGCD(817;513)
PGCD(20;21)
817 = 43 × 19 ⎫
⎬ PGCD(817;513) = 19 .
513 = 27 ×19 ⎭
20 = 2 × 2 × 5⎫
⎬ PGCD(20; 21) = 1
21 = 3 × 7 ⎭
20 et 21 sont premiers entre eux
[ - Écris chaque fraction sous la forme d'une fraction irréductible:
221 13 × 17 13
=
=
255 15 × 17 15
(le PGCD de 221 et 255 est 17)
513 27 × 19 27
=
=
817 43 × 19 43
(le PGCD de 513 et 817 est 19)
570 114 × 5 5
=
=
684 114 × 6 6
(le PGCD de 570 et 684 est 2 × 3 ×19 = 114 )
\ - Un champ rectangulaire mesure 39 m sur 135 m.
Combien faut-il de poteaux, régulièrement espacés et distants de plus de deux mètres, sont nécessaires pour
clôturer ce champ? (la distance entre deux poteaux consécutifs est un nombre entier de mètres).
d (nombre entier) est la distance séparant deux poteaux consécutifs (d>2)
d est un diviseur de 39 et 135 or le PGCD de 39 et 135 est égal à 3.
3 est le seule nombre entier diviseur de 39 et de 135 et supérieur à 2 donc d = 3 m
Le nombre de poteaux est :
périmètre 2(39 + 135)
=
= 116
d
3