DM de révisions : Toutes sortes de calculs

DM de révisions : Toutes sortes de calculs
I.
Règles de calculs sur les fractions
 Egalité de deux fractions : Si on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre alors on
obtient la même fraction.
 Simplification d’une fraction :
On fait apparaître un diviseur commun au numérateur et au dénominateur et ensuite on simplifie.
6 3 12 14 24
9 33
3
Exercice 1 : Simplifie les fractions suivantes : 8 ; 9 ; 4 ; 21 ; 64 .
Exemple : 15 =
=5
35
 Multiplication de deux ou plusieurs fractions :
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
3 14 15 14
3
3 5 3 5
3 5
1
Exercice 2 : Calcule les expressions 7  9 ; 28  25 et 21  7
Exemple :  


5 9 5 9 5 3 3 3
 Addition et soustraction de deux ou de plusieurs fractions :
On réduit les fractions au même dénominateur (si ce n’est pas déjà le cas) puis on ajoute ou on soustrait les
numérateurs obtenus et enfin, on simplifie la fraction si c’est possible.
1 1 13 14
3
4 3+4 7
Exemple : 4 + 3 =
+
=
+
= 12 = 12
4  3 3  4 12 12
3 3 1
1
1 3 1 2 4
8
5
3
Exercice 3 : Calcule les expressions suivantes : 2 + 3 ; 5 - 10 ; 3 + 5 + 15 ; - 4 + 2 et
 
4 4 2
 Division de fractions :
Pour diviser par une fraction, on multiplie par la fraction inverse.
Exercice 4 : Calcule les expressions suivantes :
3
3 15
 
Exemple : 25 
9
15
25
9
3 3 5
1

5 5 3 3 5
6
21
3
14
;
2
7
5
3
;
7
9
49
;
15
;
5
7
1 3

2 4
4
5
II.
Règles de calcul sur les puissances
Soient n et m deux nombres entiers positifs non nuls
Produit
a
Inverse
a
Exemple :
a
a
a
a
Exemple :
a
a
a
Par convention a0 = 1. De plus (a×b)n = an ×bn.
a
a
Quotient
a
a
a
Exemple :
a
a
a
Puissance de puissance
(a )
a
a
Exemple :
(a )
a
Exercice 5:
Calculer les nombres suivants :
43 ; (-1)7 ; 53 ; (-2)4; 104 ; 33 ; (-10)5 ; 2-1
Exercice 6:
Mettre les expressions suivantes sous la forme a n :
77
12
7
3 5
A3 3 ;
B  (5 ) ; C  72
; D  712  212 ; E  42  45  (43)2 ;
2 
N=
2 
5 5
4 6
;
O = 25  35  75
 
4
F  52 5
a
III.
Calcul littéral
 Développer un produit, c’est le transformer en somme.
 Il y a deux développements à connaître :
k (a + b) = k a + k b = ka + kb
et
(a + b) (c + d)= a c + a d + b c + b d
Attention : il faut respecter la règle des signes pour les produits
 3 identités remarquables à connaître :
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a + b)(a – b) = a² – b²
 Factoriser une somme (ou une différence), c’est la transformer en produit.
ka+ kb = k(a + b)
ka – kb = k(a – b)
k est appelé le facteur commun
Certaines sommes sans facteur commun peuvent être factorisées à l’aide d’une identité remarquable : il faut
reconnaître l’une des 3 formes développées ci-dessous.
a ² + 2ab + b²= (a + b)²
a² – 2ab + b²= (a – b)²
a² – b²= (a + b)(a – b)
Exercice 7 : Développer et réduire
a. (2x-3)(-x+2)
b. (-4x+3)(2x+1)
e. (5x+2)²=
f. (5-6x)²=
c. 4x²-(-5x+2)(x-3)
g. (3-4x)(3+4x)=
Exercice 8 : Factoriser les expressions suivantes
a. 15x+45
b. -9x+9
c. 4x²+3x
f. (3x-1)(x-2)-(2x+5)(3x-1)
g. x²-6x+9
j. (2x-5)²+(2x-5)(x+2)
k. (4x+5)²-(2x-1)²
IV.
d. (2x-3)(x+5)-4(2x-1)
h. (2x+3)(3x-1)-(2x+5)²
d. 36x²+36x+9
e. 49x²-9
h. (3x-4)²-81
i. (-x+7)(6x+1)+6x+1
l. (4x-1)(-2x+3)-4x+1
Résolutions d’équations
Résoudre une équation, c’est déterminer l’ensemble de toutes les solutions.
Deux équations équivalentes sont deux équations ayant le même ensemble de solutions.
 Propriété :
 Si l’on ajoute ou l’on retranche un même nombre aux deux membres d’une équation, on obtient une
équation équivalente.
 Si l’on multiplie ou l’on divise les deux membres d’une équation par un même nombre non nul, on obtient
une équation équivalente.
Exemple : résolution de l’équation
3
3
⇔
3 3
3 ⇔
3 ⇔
⇔
.
Exercice 9 : Résoudre les équations suivantes
5
x−3 x−2
2(x+1) 3(x−2) 1
a. 3(x+2) – (x-3) = 3 – 2x ; b. 2(x-1) + 3 (x+1) = x ; c.
+
= 5 ; d. 1 –
= - 2x
2
2
3
3
2
4
3x+4
2x+1 x 13
7x 3x−1
2x+11
x+6 2(x+7) 5(x−2)
1
1
1
e.
= +
; f.
=3–
; g.
+
+
= 2x+6 ; h.
=
3
3
2 12
6
2
6
2
3
6
x−1 x+1 x²−1
 Equation produit :
Propriété : Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul.
Autrement dit : A×B=0 équivaut à A=0 ou B=0
Exemple : (
c'est-à-dire à
Remarque : soit
)(
)
ou
équivaut à
ou
,
. L’équation a donc deux solutions : -5 et 2. Notation : S=*
,
équivaut à
, c'est-à-dire à
+.
.
Exercice 10 : Résoudre les équations suivantes
a. (2x-1)² = (x+2)² ; b. (2x-5)² + (x-1)(5-2x)= 4x²-25 ; c. 3x²-x + (3x-1)²=1-3x ; d. (2x+3)² = 25 ; e.
x+1
=0
x−1