Master de Mathématiques, Première Année Calcul Formel Feuille d

Université de Limoges
Faculté des Sciences
Année Universitaire 2008-2009
Master de Mathématiques, Première Année
Calcul Formel
Feuille d’exercices no 4
Factorisation
1
Retour sur le pgcd modulaire
Exercice 1
1) Calculez le pgcd de x202 + x101 + 1 et sa dérivée modulo 3 et modulo 5. Conclusion ?
2) On considère P = 51x3 − 35x2 + 39x − 115 et Q = 17x4 − 23x3 + 34x2 + 39x − 115.
Calculez le pgcd de P et Q modulo 5, 7 et 11. En déduire le pgcd de P et Q par le théorème
des restes chinois. Pourquoi ne doit-on pas essayer modulo 17 ?
3) Utilisez l’algorithme du PGCD modulaire pour décider si le polynôme P = (x + 1)7 −
(x − 1)6 est sans carré. Comparez avec l’algorithme d’Euclide naïf. Est-ce que P est sans-carré
modulo 2 et modulo 5 ?
4) Proposer un programme qui détermine le degré probable du pgcd de 2 polynômes en une
variable en utilisant une méthode modulaire.
Exercice 2
On reprend l’algorithme modulaire pour le calcul du pgcd de polynômes dans Z[x].
1) Montrer qu’il y a un nombre fini de "mauvais" nombres premiers pour cet algorithme. Que
se passe-t-il si l’on a choisi un "mauvais" nombre premier ?
2) Comment adapter l’algorithme modulaire de calcul du pgcd sans utiliser explicitement de
borne sur les coefficients ?
3) Proposer un algorithme de calcul modulaire de calcul des coefficients de Bézout (et discuter
son efficacité).
2
Décomposition sans carré
On dit qu’un polynôme P ∈ C[X] est sans-carré si gcd(P, P 0 ) = 1 (pourquoi cette appellation ?). On appelle décomposition sans-carré d’un polynôme Q une décomposition de la forme
s
Y
Q = c.
Qii où les Qi sont unitaires, sans-carré, et premiers deux à deux.
i=1
Exercice 3
[Algorithme de décomposition sans carré] Soit f un polynôme unitaire, f ∈ C[X] de degré
n ≥ 1. On note f = f1 f22 · · · fss sa décomposition sans carré.
1) On pose P1 = gcd(f, f 0 ). Montrer que f /P est un polynôme sans carré.
1
2) On définit itérativement une suite de polynômes Pi par Pi+1 = gcd(Pi , Pi0 ). Montrer que
Pi = 1 pour i ≥ s. Ecrire les expressions de P1 , P2 , . . . , Pss−1 .
3) En déduire un algorithme (itératif) de factorisation sans carré. Montrer sa correction.
4) On pose Q1 = f /P1 puis R1 = gcd(Q1 , P1 ). Montrer que f1 = Q1 /R1 . En déduire un
deuxième algorithme, récursif, de factorisation sans-carré.
Exercice 4
[Algorithme de Yun.]
Entrée : Un polynôme unitaire f ∈ C[X] de degré n ≥ 1
m
).
Sortie : la liste f1 , . . . , fm des facteurs sans-carré de f (i.e f = f1 f22 · · · fm
0
f
f
1. u := gcd(f, f 0 ) ; v1 := ; w1 := ;
u
u
2. i :=1 ;
.
Répéter
.
hi := gcd(vi , wi − vi0 )
(wi − vi0 )
vi
;
.
vi+1 := ; wi+1 :=
hi
hi
.
i :=i+1 ;
.
jusqu’à vi = 1
.
m := i − 1 ;
3. Retourner la liste h1 , . . . , hm .
1) Montrer que cet algorithme est correct et calcule la décomposition sans-carrés de f .
Idée 1 : montrer par récurrence sur i que hi = fi et
Y
X
vi+1
vi+1 =
fj et wi+1 =
(j − i)fj0
.
fj
i<j≤m
i<j≤m
Idée 2 : Dérouler l’algorithme sur f = abc2 d4 avec a, b, c, d ∈ C[X] unitaires, irréductibles et
deux à deux distincts.
2) Pourquoi estime-t-on que cet algorithme est meilleur que ceux développés précédemment ?
3
Berlekamp
Exercice 5
On considère le polynôme P (X) = X 6 + X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + 1 ∈ F2 [X]. Factoriser P par
l’algorithme de Berlekamp.
Exercice 6
On considère le polynôme P (X) = X 12 − 1 ∈ F5 [X].
1. Vérifier que P a quatre racines simples.
2. Montrer que dimF5 {v ∈ F5 [X], v p ≡ v mod P } = 8. Quels sont les degrés des facteurs
primaires de P ? En déduire la forme de la décomposition de P en produit de facteurs
irréductibles.
Exercice 7
Soit q une puissance d’un nombre premier, et f un polynôme de degré n sur Fq . On souhaite
factoriser f sous la forme f = f1 f2 ..fn , où fi est le produit des facteurs irréductibles de degré
i dans f .
2
1. Soit P un polynôme irréductible de degré m sur Fq ; montrer l’équivalence :
d
q
m|d ⇔ P | X − X .
2
2. Montrer que f1 = pgcd(f, X q − X) et f2 = pgcd(f /f 1, X q − X). Comment continuer
et terminer l’algorithme ?
Exercice 8
1) Montrer que le polynôme P = X 6 + X 4 − X 2 + 1 est irréductible sur F3 . (on pourra noter
que X 9 = X 3 + 2 X 5 + X mod P , X 12 = X 4 + 1 mod P , et X 15 = 2 X 5 + 2 X 3 + 2 X
mod p sur F3 ).
2) Factoriser P dans Z[X].
Exercice 9
On considère le polynôme f (X) = X 4 + 1.
1) Démontrer que f n’a pas de racine dans Q, puis qu’il est irréductible sur Q.
Nous allons maintenant montrer qu’il est réductible sur Fp pour tout p.
2) Montrer que f mod 2 est réductible. Quel est son corps des racines sur F2 ?
3) Soit n un entier naturel, on écrit n = 4s + r avec 0 ≤ r < 4, montrer que X n ≡ (−1)s X r
mod f .
4) Soit p un nombre premier impair.
a) Vérifier que |disc(f )| = 44 , en déduire que f mod p est séparable.
On note Vp = {v ∈ Fp [X], v p ≡ v mod f }. On rappelle que Vp est un Fp -espace vectoriel.
p−1
est pair et dim(Vp ) = 2
b) On suppose p ≡ 1 mod 4, montrer que dim(Vp ) = 4 si
4
sinon. En déduire que f est réductible sur Fp . Quel est le corps des racines de f sur Fp ?
c) Faire le même raisonnement quand p ≡ 3 mod 4.
Exercice 10
[Hensel] Soient f, g, h ∈ Z[X] et p un nombre premier tels que (g mod p, h mod p) = 1 et
f ≡ gh mod pk pour un entier k ≥ 1
1. Vérifier qu’il existe a, b ∈ Z[X] tels que ag + bh ≡ 1 mod p.
2. On pose g̃ = g + b(f − gh) et h̃ = h + a(f − gh). Montrer que f ≡ g̃ h̃ mod pk+1 et
que ag̃ + bh̃ ≡ 1 mod p.
3. En déduire un algorithme donnant une factorisation de f modulo pk+l pour tout l ∈ N.
Exercice 11
On donne le polynôme P (X) = X 4 −X 3 +X 2 +2 ∈ Z[X] et son discriminant d = 22 ×3×132 .
1) Factoriser P mod 5.
2) Relever cette factorisation en une factorisation module 25. Énumérer les factorisations possibles de P en produit de deux facteurs modulo 25.
3) En déduire une factorisation de P sur Z[X].
3
Exercice 12
On donne le polynôme P (X) = X 4 −X 3 +X 2 +2 ∈ Z[X] et son discriminant d = 22 ×3×132 .
v
u 4
uX
P 2 ; en déduire la borne supérieure B des valeurs absolues des
1) Calculer kP k = t
i
i=0
cœfficients d’un éventuel diviseur Q de P de degré inférieur ou égal à 2.
2) Factoriser P mod 5. Vérifier que 52 > 2B ; choisir une factorisation de P mod 5 en produit
de deux facteurs et la relever modulo 25.
3) En déduire la factorisation de P sur Q.
Exercice 13
On considère le polynôme P = x4 + 3 x2 + 4.
1) Montrer, en
l’algorithme
de Berlekamp, que la factorisation de P sur F3 est P =
utilisant
2
2
x + 2x + 2 x + x + 2 .
2) Montrer que sa factorisation dans F5 [x] est :
P = x 2 + 4 x + 2 x2 + x + 2 .
3) En déduire la factorisation de P modulo 15.
4) On admet que les coefficients des facteurs éventuels de P ont une valeur absolue inférieure à
7. Déduire de ce qui précède la factorisation de P dans Z[x] en produit de facteurs irréductibles
5) Déterminer la factorisation de P modulo 25. Retrouver la factorisation de P dans Z[x].
Exercice 14
Le but de cet exercice est de factoriser le polynôme
P := X 4 + 4 X 3 + 10 X 2 + 13 X + 12.
On admet que son discriminant vaut 9317 = 7.113 .
1) Démontrer que P est sans facteur carré.
2) Démontrer que P n’admet pas de racine dans Z ni dans Q
3) Factoriser X 2 + X + 1 sur F2 puis X 2 + 1 sur F3 .
4) Factoriser P sur F2 .
5) Appliquer l’algorithme de Berlekamp à P sur F3 pour en déduire sa factorisation sur F3 .
6) En appliquant le lemme de Hensel à X 2 + X et X 2 + 1, en déduire une factorisation de P
modulo 9.
7) En déduire la factorisation de P dans Z[X].
4