Parallélogramme quelconque

Chapitre 7
Parallélogramme quelconque
7.1 Dénition
C
D
Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses
côtés opposés parallèles deux à deux.
A
B
7.2 Propriétés des diagonales
ˆ
D
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors
I
ses diagonales sont de même milieu.
ˆ
Si un quadrilatère a ses diagonales de même
milieu alors c'est un parallélogramme.
C
A
B
Preuves.
ABCD un quadrilatère et I le milieu des diagonales [AC] et [BD]. Démontrons que ABCD est un parallélogramme.
On sait que (AB) et (CD) sont symétriques par rapport au point I ,
Soit
on applique : si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont
parallèles,
donc
(AB)//(CD).
On montre de même que
(BC)//(AD).
EF GH un parallélogramme, et O le milieu de [EG], démontrons que O est
le milieu de [F H].
On sait que (EF )//(GH) et que O est le milieu de [EG] donc les droites (EF ) et
(GH) sont symétriques par rapport à O et le symétrique du point F par rapport à
O est sur la droite (GH).
De même les droites (F G) et (EH) sont symétriques par rapport à O donc le symétrique de F par rapport à O est sur la droite (EH).
Par conséquent le symétrique de F par rapport à O est à l'intersection des droites
(GH) et (EH) c'est donc le point H , autrement dit O est le milieu de [F H].
Soit
7.3 Propriétés des côtés
ˆ
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors
D
C
ses côtés opposés sont de même longueur deux
à deux.
ˆ
Si un quadrilatère non croisé a ses côtés op-
A
B
posés de même longueur deux à deux alors c'est
un parallélogramme.
Preuves.
Soit
ABCD
I le point
BC = AD.
un parallélogramme et
AB = CD et que
ABCD est un parallélogramme,
démontrons que
On sait que
d'intersection de ses diagonales,
on applique : si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales sont de
même milieu,
donc les segments
[AB]
et
[CD]
sont symétriques par rapport à
I,
on applique : si deux segments sont symétriques par rapport à un point alors il sont
de même longueur,
donc
AB = CD.
On montre de même que
BC = AD.
EF GH un quadrilatère non croisé tel que EF = GH et F G = EH , soit O
le milieu de [EG], démontrons que EF GH est un parallélogramme.
On sait que EF = GH et que O est le milieu de [EG] donc le symétrique de F par
rapport à O est sur le cercle de centre G et de rayon GH .
On sait que F G = EH et que O est le milieu de [EG] donc le symétrique de F est
sur le cercle de centre E et de rayon EH
Par conséquent le symétrique de F par rapport à O est à l'intersection des deux
cercles qui ne se trouve pas du même côté de (EG) que F , c'est le point H , autrement
dit O est le milieu de [F H].
Soit
on applique : si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu alors c'est un
paralléllogramme,
donc
EF GH
est un parallélogramme.
7.4 Propriétés des angles
ˆ
D
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors
C
ses angles opposés sont de même mesure deux
à deux.
ˆ
Si un quadrilatère non croisé a ses angles opposés de même mesure deux à deux alors c'est
un parallélogramme.
A
B
Preuve.
Soit
ABCD
I le point d'intersection
d = ADC
d .
ABC
un parallélogramme et
d = BCD
d et que
BAD
ABCD est un parallélogramme,
démontrons que
On sait que
de ses diagonales,
on applique : si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales sont de
même milieu,
donc les angles
d
BAD
et
d
BCD
sont symétriques par rapport à
I,
on applique : si deux angles sont symétriques par rapport à un point alors il sont
de même mesure,
donc
d = BCD
d .
BAD
On montre de même que
d = ADC
d .
ABC
La réciproque ne sera pas démontrée ici.
7.5 Propriété supplémentaire
D
Si un quadrilatère non croisé a deux côtés op-
C
posés parallèles et de même longueur alors c'est
un parallélogramme.
A
B
Preuve.
ABCD un quadrilatère non croisé tel que (AB)//(CD) et AB = CD, soit
I le milieu de [AC], démontrons que ABCD est un parallélogramme.
On sait que (AB)//(CD) et que I est le milieu de [AC] donc (AB) et (CD) sont
symétriques par rapport à I et le symétrique de B par rapport à I est sur la droite
(CD).
On sait que AB = CD et que I est le milieu de [AC] donc le symétrique de B par
rapport à I est sur le cercle de centre C et de rayon CD .
Par conséquent, le symétrique de B par rapport à I est à l'intersection de ce cercle
avec (CD) qui n'est pas situé du même côté de (AC) que B , c'est le point D ,
autrement dit, I est le milieu de [BD].
Soit
on applique : si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu alors c'est un
parallélogramme,
donc
ABCD
est un parallélogramme.