1 PGCD
A Diviseurs communs à deux nombres
Définition : Le nombre aest divisible par le nombre blorsqu’il existe un nombre entier cnon nul tel que :
a=b×c
On dit aussi que a est un multiple de b.
Exemples :1 274 est-il un multiple de 49? 1 974 est-il divisible par 84?
1 274 est donc un multiple de 49 (et de 26) car :
1 274 ÷49 =26 (1274 =49 ×26)
On dit également :
• 1 274 est divisible par 49 (et par 26);
• 49 est un diviseur de 1 274 (et 26 aussi).
1 974 n’est pas divisible par 84 car :
1 974 ÷84 =23,5.
On dit également :
• 84 n’est pas un diviseur de 1 974 ;
• 1 974 n’est pas un multiple de 84.
Définition : Soient aet bdeux nombres entiers. Dire qu’un nombre d, non nul, est un diviseur commun de aet b
signifie que ddivise à la fois aet b.
Exemple : 12 est un diviseur commun de 24 et 36 car :
24 ÷12 =2
36 ÷12 =3
Définition : On dit que deux nombres entiers sont premiers entre eux lorsque 1 est leur seul diviseur commun positif.
Exemple : Les diviseurs de 8 sont :1;2;4;8
Les diviseurs de 9 sont : 1;3;9
Ainsi 1 est le seul diviseur commun de 8 et 9, donc 8 et 9 sont premiers entre eux.
Définition : Dans la liste des diviseurs communs à deux nombres entiers aet b, il en existe un plus grand que tous les
autres. Ce Plus Grand Commun Diviseur aux deux nombres aet bse note PGCD(a;b).
Remarques :
• Pour tout entier a, PGCD(a;0)=a.
• Pour tout entier anon nul, PGCD(a;a)=a.
• Si best un diviseur de a, alors PGCD(a;b)=b.
Exemple : Calculer le PGCD de 24 et 36.
Les diviseurs de 24 sont : 1;2;3;4;6;8;12;24
Les diviseurs de 36 sont : 1;2;3;4;6;9;12;18; 36
Parmi leurs diviseurs communs 1;2 ;3 ;4 ;6;12, le plus grand est 12.
Donc PGCD(36;24)=12.