5 décembre 2011 A#11 Nombres Parfaits Un nombre entier naturel est dit parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs positifs stricts (autres que lui-même). Exemples 6 est parfait car 6 = 1 + 2 + 3 ; 28 est parfait car 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. ______________________________________________________________________ Ex 11.1 Montrer que 496 et 8 128 sont des nombres parfaits (résultats découverts par le mathématicien grec NICOMAQUE). ______________________________________________________________________ ( ) Ex 11.2 Montrer que, si 2 n − 1 est premier, alors 2 n −1 2 n − 1 est parfait (EUCLIDE, Éléments, Livre IX). ______________________________________________________________________ L. EULER (1707 - 1783) a montré réciproquement que : ( ) "Tout nombre parfait pair est de la forme 2 n −1 2 n − 1 , où 2 n − 1 est un nombre premier." Cela nous renvoie à la recherche des nombres premiers de la forme 2 n − 1 , appelés nombres de MERSENNE (voir la fiche suivante). On ne sait pas encore s'il existe des nombres parfaits impairs (mais s'il en existe, ils sont supérieurs à 10 300 ). Voici les 7 premiers nombres parfaits, correspondants aux sept plus petits nombres de MERSENNE : 2n − 1 n 2 3 5 7 13 17 19 3 7 31 127 8 191 131 071 524 287 ( ) nombre parfait : 2 n −1 2 n − 1 6 28 496 8 128 33 550 336 8 589 869 056 137 438 691 328 Un nombre entier naturel est dit abondant s'il est inférieur à la somme de ses diviseurs positifs stricts et déficient s'il est supérieur à cette somme. Ex 11.3 Classer les nombres entre 1 et 100 dans l'une des trois catégories (nombres parfaits, abondants, déficients). ______________________________________________________________________ Deux entiers naturels sont dits amiables si chacun d'eux est égal à la somme des diviseurs stricts de l'autre. Ex 11.4 Vérifier que 220 est amiable avec un autre entier. Ex 11.5 Un entier naturel est dit semi-parfait s'il est égal à la somme d'une partie de ses diviseurs stricts. (On peut les prendre tous s'il le faut : un nombre parfait est donc aussi semi-parfait). Par exemple 12 est semi-parfait puisque 12 = 2 + 4 + 6. a) Déterminer les entiers semi-parfaits compris entre 1 et 50. b) Montrer que tout multiple d'un nombre semi-parfait est semi-parfait. c) En déduire que les nombres 42 ; 500 ; 1998 ; 2044 sont tous semi-parfaits. Lycée A. Dumas – Port au Prince – Haïti -