Le Plus Grand Commun Multiple

LE PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR
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I]RAPPELS
1°) La division euclidienne
Exemple: Poser la division euclidienne de 342 par 12
diviseur
dividende
342
- 24
12
quotient
2 8
10 2
- 9 6
6
reste
2
On peut vérifier cette division en posant:
(12 28) + 6 = 342
On a donc:
(diviseur quotient ) + reste = dividende
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2)Vocabulaire
Si le reste de la division euclidienne d’un entier a
par un entier b (non nul) est zéro alors on
peut dire que:
- a est divisible par b
- b est un diviseur de a
- a est un multiple de b
- b divise a
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Exemple 1: 35 est dans la table de 7 donc le
reste de la division euclidienne de 35 par 7
est zéro. On peut donc dire que
7 est un diviseur de 35
ou bien que
35 est un multiple de 7
Ou bien que
35 est divisible par 7
Ou bien que
7 divise 35
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Exemple 2:
Donner la liste des diviseurs de 45
Réponse:
1 ; 3; 5; 9; 15; 45
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3) Nombre premier
Un nombre premier est un nombre qui admet
exactement deux diviseurs: 1 et lui-même.
Exemples:
3 est un nombre premier (diviseurs: 1 et 3)
37 est un nombre premier
25 n’est pas un nombre premier
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II] PGCD
1) Diviseur commun
Si a et b sont deux entiers strictement positifs.
Un nombre entier qui divise à la fois a et b est un
diviseur commun à a et à b.
Exemple:
Trouver les diviseurs communs à 12 et à 18
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Réponse:
Les diviseurs de 12 sont: 1; 2; 3; 4; 6; 12
Les diviseurs de 18 sont: 1; 2; 3; 6; 9; 18
Donc les diviseurs communs à12 et à 18 sont:
1; 2 ;3 ;6
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2) PGCD
Si a et b sont deux entiers strictement positifs.
Le plus grand des diviseurs communs à a et à b
s’appelle le PGCD des nombres a et b. On le note
PGCD(a;b)
Exemple:
PGCD(12;18)= 6
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3) Calcul du PGCD
Algorithme d’Euclide.
On utilise la propriété suivante:
Si a et b sont deux entiers strictement positifs
avec a > b alors PGCD (a;b)= PGCD(b;r) où r est le
reste de la division euclidienne de a par b.
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Exemple: Trouver le PGCD de 2277 et de 1449.
Dividende
diviseur
Reste
2277
1449
828
1449
828
621
828
621
207
621
207
0
Donc PGCD (2277;1449)=207
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III] FRACTIONS IRREDUCTIBLES
1)Nombres premiers entre eux
On dit que deux nombres entiers sont premiers
entre eux lorsque leur PGCD vaut 1
Exemples:
PGCD (15;13)= 1 donc 13 et 15 sont premiers
entre eux.
PGCD (15;25) =5 donc 15 et 25 ne sont pas
premiers entre eux
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2) Fractions irréductibles
Une fraction est irréductible lorsque elle ne peut
plus être simplifiée.
Propriété 1:
Si le numérateur et le dénominateur d’une
fraction sont premiers entre eux, alors cette
fraction est irréductible.
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Exemples:
18 et 12 ne sont pas premiers entre eux car
PGCD(18;12)=6 donc n’est pas irréductible.
20 et 9 sont premiers entre eux donc
irréductible
est
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Propriété 2:
Si on divise le numérateur et le dénominateur
d’une fraction par leur PGCD, alors la fraction
obtenue est irréductible.
Exemple:
Simplifier:
PGCD (136;52) = 4
Donc
=
=
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