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‫جامعةالسلطجن اوالي سليمجن‬
Université Sultan Moulay Slimane
Faculté des Sciences et Techniques
Département de physique
Béni Mellal
‫كليعةالملومةوةالتقنيجت‬
‫بنيةاالل‬
Année Universitaire 2016/2017
Examen d’Electricité
Parcours MIPC section B
Génie Electrique/ Génie Mécanique
Epreuve : Electricité
Date : 9 Novembre 2016
Durée du sujet : 1h45mn
Barème : questions de cours (2pts), Exercice1 (4pts), Exercice2 (6,5pts), Exercice3 (7pts),
Présentation : (0,5 pt)
Questions de cours :
Présentez les concepts suivants :
- Champ électrostatique
- Théorème de Gauss
- Loi de Biot et Savart
- Loi de Lenz.
Exercice1 :
Six charges ponctuelles sontplacées sur le périmètre d’un cercle de rayon R comme indiqué sur la
figure ci-contre. On donne : q1= q2= q3= q4= q5= q6= q (q> 0).
1. Exprimer dans la base (𝑖, 𝑗) les vecteurs
champs électrostatiques créés par chacune des
charges au centre O.
2. En déduire le champ électrostatique total au
point O.
3. Donner
l’expression
du
potentiel
électrostatique crée par l’ensemble des six
charges au point O.
4. En
déduire
l’énergie
potentielle
électrostatique d’une charge ponctuelle q
placée en O.
Exercice2 :
Un segment 𝐴, 𝐵 de l’axe (Ox) porté par le vecteur unitaire i , est chargé uniformément. Il est
caractérisé par sa densité linéique de charge λ, les points A et B étant situés à une distance a du point
o. On note 𝐸 (𝑀) le champ électrostatique et V(M) le potentiel électrostatique créés en un point M de
l’axe (Ox) et situé en dehors du segment chargé.
1. Quelle est la direction du champ électrostatique 𝐸 (𝑀) ?
2. En repérant la position d’un point P de la distribution de charge par son abscisse xP, exprimer
le champ électrostatique élémentaire 𝑑𝐸 (𝑀) créé en M par la charge élémentaire portée par
l’élément de longueur centré en P.
3. En déduire l’expression du champ 𝐸 (𝑀) en fonction de λ, a et x.
4. En repérant la position d’un point P de la distribution par son abscisse xP, déterminer
l’expression du potentiel électrostatique V(M) en fonction de λ, a et x.
5. Retrouver l’expression du champ électrostatique 𝐸 (𝑀).
6. Analyser le cas a≪ 𝑥.
Exercice3 :
Un conducteur parcouru par un courant d’intensité I est constitué de deux fils rectilignes semi
infinis F1 et F2 reliés par un demi-cercle de rayon a. Le repère (O, X, Y, Z) est rapporté à la base
(i, j, k).
1) Déterminer par des considérations de symétrie, l’orientation du champ magnétique crée par le
circuit de la figure en O.
2)
a) Déterminer en utilisant le théorème d’Ampère, l’expression du champ magnétique crée par
un fil infini en un point M situé à une distance ‘’a’’ de celui-ci.
b) En déduire le champ magnétique créé par les deux fils F1 et F2 en O.
c) Déterminer le champ magnétique créé en O par la demi spire ABC.
d) En déduire le champ magnétique créé par l’ensemble du circuit en O.
3) Une charge q>0 animée d’une vitesse 𝑣 se déplace dans l’espace. Donner les caractéristiques de
la force exercée sur q lorsqu’elle se trouve en O. On distinguera les cas suivants :
a) 𝑣 = 𝑣 𝑖
b) 𝑣 = 𝑣 𝑘
Y
F1
I
A
Z
B
F2
I
C
X
‫جامعةالسلطجنمواليسليمجنة‬
Université Sultan Moulay Slimane
Faculté des Sciences et Techniques
Département de physique
Béni Mellal
‫كليعةالملومةوالتقنيجتة‬
‫بنيةاالل‬
Année Universitaire 2016/ 2017
Examen d’Electricité
Parcours MIPC Section B
Corrigé de l’examen
Questions de cours :
Champ électrostatique : dans une région de l’espace où existe une charge Q, elle produit un
champ électrostatique 𝐸 dans cet espace, mis en évidence par la force que subit une charge q
placée dans ce champ :
𝐹 = 𝑞𝐸
𝑘𝑄
𝑢
𝑟2
𝑢 : vecteur unitaire ; 𝑢 =
𝐸=
𝑂𝑀
𝑂𝑀
et
𝑘=
1
4𝜋𝜀 0
: une constante
𝑟 = 𝑂𝑀
Théorème de Gauss : Le flux d’un champ électrique 𝐸 à travers une surface fermée (Σ) est égale
à la somme des charges délimitées par cette surface (Σ) par 𝜀0 :
𝐸 𝑑𝑆 =
Σ
𝑄𝑖𝑛𝑡/Σ
𝜀0
Loi de Biot et Savart : Une portion 𝑑ℓ d’un conducteur centré en P parcouru par
un courant I produit en tout point de l’espace un
champ magnétique élémentaire 𝑑𝐵𝑀 tel que :
𝑑𝐵𝑀 =
𝜇 0 𝐼 𝑑ℓ∧𝑢
4𝜋
𝑟2
où :
𝑢 : vecteur unitaire ; 𝑢
=
𝑃𝑀
𝑃𝑀
et
𝑟 = 𝑃𝑀
Le champ total créé par tout le conducteur est :
𝐵𝑀 =
𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟
𝑑𝐵𝑀 .
Loi de Lenz : L’induction crée des effets qui s’opposent aux causes qui leur ont donné naissance.
Exercice1 :
1) Les champs créés par les différentes charges en O s’écrivent dans la base 𝑖, 𝑗 :
𝐸𝑞1 =
𝐸𝑞5 =
𝑘𝑞
𝑖;
𝑅2
𝐸𝑞2 = −
𝑘𝑞 cos 𝛼 𝑖 −sin 𝛼𝑗
𝑅2
𝑘𝑞
𝑖 ;
𝑅2
; 𝐸𝑞6 =
𝐸𝑞3 =
𝑘𝑞
𝑗 ;
𝑅2
𝐸𝑞4 = −
𝑘𝑞 −cos 𝛼 𝑖 +sin 𝛼𝑗
Où 𝑘
𝑅2
2) Le champ électrostatique au point O est 𝐸𝑜
=
𝑖
=
𝑘𝑞
𝑗
𝑅2
1
4𝜋𝜀 0
𝐸𝑞𝑖
𝐸𝑜 = 𝐸𝑞1 + 𝐸𝑞2 + 𝐸𝑞3 + 𝐸𝑞4 + 𝐸𝑞5 + 𝐸𝑞6 = 0
3) Le potentiel créé en O par l’ensemble des charges est :
6
𝑖=1 𝑉𝑖
𝑉𝑂 =
Où 𝑉𝑖 est le potentiel créé par la charge 𝑞𝑖 en O.𝑉𝑖
6𝑘𝑞
𝑉𝑂 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 + 𝑉4 + 𝑉5 + 𝑉6 =
𝑅
4)
L’énergie potentielle de la charge q en O est :
𝐸𝑝 = 𝑞 𝑉𝑂 =
=
6𝑘𝑞 2
𝑅
𝑘𝑞 𝑖
𝑅
.
Exercice2 :
1) Un élément 𝑑ℓ centré en P de charge dq situé à xP de O crée en M le champ élémentaire :
𝑑𝐸𝑀 =
𝑑𝐸𝑀 =
𝑘 𝑑𝑞
𝑃𝑀
2
𝑖=
𝑘 𝜆 𝑑ℓ
𝑥−𝑥 𝑃 2
𝑖
Où 𝑑ℓ = 𝑑𝑥𝑃 Soit :
𝑘 𝜆 𝑑𝑥 𝑃
𝑖 . Tout élément 𝑑ℓ du segment 𝐴, 𝐵 crée en M, un champ élémentaire
𝑥−𝑥 𝑃 2
porté par 𝑖, donc le champ résultant sera porté par 𝑖.
2) 𝑑𝐸𝑀 =
𝑘 𝜆 𝑑𝑥 𝑃
𝑖
𝑥−𝑥 𝑃 2
3) Le champ total créé par le segment 𝐴, 𝐵 en M est :
+𝑎
𝐸𝑀 =
𝑑𝐸𝑀 = 𝑘 𝜆
𝐴𝐵
−𝑎
𝑑𝑥𝑃
𝑥 − 𝑥𝑃
𝑖=
2
2𝑘𝜆𝑎
𝜆
𝑎
𝑖
=
𝑖
𝑥 2 − 𝑎2
2𝜋𝜀0 𝑥 2 − 𝑎2
4) Le potentiel élémentaire d𝑉𝑀 en M créé par l’élément 𝑑ℓ centré en P de charge 𝑑𝑞 =
𝜆 𝑑ℓ = 𝜆 𝑑𝑥𝑃 est :
𝑑𝑉𝑀 =
𝑘 𝑑𝑞
𝑃𝑀
=
𝑘 𝜆 𝑑𝑥 𝑃
; on en déduit le potentiel créé par tout le segment :
𝑥−𝑥 𝑃
+𝑎
𝑉𝑀 = 𝑘𝜆
−𝑎
𝑑𝑥𝑃
𝑥+𝑎
𝜆
𝑥+𝑎
= 𝑘𝜆 𝐿𝑛
=
𝐿𝑛
𝑥 − 𝑥𝑃
𝑥−𝑎
4𝜋𝜀0
𝑥−𝑎
5) On a : 𝐸𝑀 = −𝑔𝑟𝑎𝑑𝑉𝑀 , 𝐸𝑀 et 𝑉𝑀 ne dépendent que de la position du point M donc de 𝑥, il
vient par la suite :
𝐸𝑀 = −
𝑑𝑉𝑀
𝑑𝑥
𝑖
En dérivant l’expression de 𝑉𝑀 par rapport à 𝑥 on trouve pour
l’expression de 𝐸𝑀 :
𝐸𝑀 =
𝜆
𝑎
2𝜋𝜀 0
𝑥 2 −𝑎 2
6) 𝑎 ≪ 𝑥 ⇒
𝐸𝑀 ≃
𝑎
𝑥
𝜆
𝑖. On retrouve l’expression trouvée précédemment en 3)
≪ 1 d’où les expressions suivantes :
𝑎
2𝜋𝜀 0 𝑥 2
𝑖
Et 𝑉𝑀
=0
Exercice3 :
1) Le plan (O,X,Y) est un plan de symétrie donc le champ magnétique 𝐵 créé par le
conducteur est orthogonal à ce plan on en déduit : 𝐵 = 𝐵 𝑘, le champ est porté par le
vecteur 𝑘 .
2) a) calcul du champ créé par un fil infini en un point M située à la distance 𝑎 du fil.
On a une symétrie cylindrique, on utilisera ainsi les coordonnées cylindriques de base
(𝑒𝑟 , 𝑒𝜑 , 𝑒𝑧 )
Le plan passant par M et parallèle au plan (𝑒𝑟 , 𝑒𝑧 ) est
un plan de symétrie ⟹ 𝐵 ⊥ à ce plan ⟹ 𝐵 est porté
par 𝑒𝜑 de plus une rotation d’angle φ ou une
translation suivant 𝑂𝑧 du point M laisse 𝐵 invariant,
donc en conclusion 𝐵 ne dépend que de la distance au
fil. On utilise le théorème d’Ampère :
𝐵 𝑑ℓ = 𝜇0 𝐼.
On choisit pour Γ, un cercle de rayon a d’où :
Γ
𝐵𝑑ℓ =
Γ
𝐵 𝑑ℓ = 𝐵
Γ
𝑑ℓ = 𝐵 2𝜋𝑎 = 𝜇0 𝐼
Γ
𝐵 est constant sur Γ; 𝐼 est dans le même sens que la
normale à la surface qui s’appuye sur Γ
D’où : 𝐵
=
𝜇0 𝐼
2𝜋𝑎
b) F1 est un fil semi infini (moitié d’un fil infini), il crée en O (d’après les résultats
précédents), le champ 𝐵1 tel que : 𝐵1
=−
𝜇0 𝐼
4𝜋𝑎
En utilisant le bonhomme d’Ampère pour le sens de 𝐵1 on aura :
𝐵1 = −
𝜇0 𝐼
𝑘.
4𝜋𝑎
De la même façon on aura pour le fil F2 qui crée le champ 𝐵2 en O :
𝐵2 = −
𝜇0 𝐼
𝑘.
4𝜋𝑎
c) Champ créé par la demi spire en O
Un élément 𝐼 𝑑ℓ centré en P crée en O, le champ
élémentaire 𝑑𝐵𝑆𝑝 tel que :
𝑑𝐵𝑆𝑝 =
𝜇0 𝐼 𝑑ℓ ∧ 𝑢
𝜇0 𝐼 𝑑ℓ
=−
𝑘
2
4𝜋 𝑃𝑂
4𝜋 𝑎2
𝑢 un vecteur unitaire : 𝑢
On a : 𝑑ℓ = 𝑎 𝑑𝜃
D’où : 𝐵𝑆𝑝
=
𝜇 0 𝐼 𝑎 𝑑𝜃
4𝜋
𝑎2
Ou en vecteur : 𝐵𝑆𝑝
=
=−
𝜋
2
𝜋
−
2
𝜇0 𝐼
4𝜋𝑎
𝜇0 𝐼
4𝑎
𝑑𝜃 =
𝑃𝑂
=
𝑃𝑂
𝜇
𝜇 𝐼
0
⇒ 𝑑𝐵𝑆𝑝 = 4𝜋0 𝐼𝑎𝑎𝑑𝜃
2 = 4𝜋𝑎 𝑑𝜃
𝜇0 𝐼
4𝑎
𝑘
d) Le champ magnétique créé par l’ensemble du circuit est 𝐵𝑂 tel que :
𝐵𝑂 = 𝐵1 + 𝐵2 + 𝐵𝑆𝑝 = −
𝜇0 𝐼
2+𝜋 𝑘
4𝜋𝑎
3) La force qui s’exerce sur q est :
𝐹 = 𝑞𝑣 ∧ 𝐵𝑂 ⇒
𝐹 = 𝐹 = 𝑞 𝑣 𝐵𝑂 𝑠𝑖𝑛𝛼
a) 𝑣 = 𝑣 𝑖 ⇒ 𝛼 =
𝜋
2
⇒ 𝐹 = 𝑞 𝑣 𝐵𝑂 =
b) 𝑣 = 𝑣 𝑘 ⇒ 𝛼 = 𝜋 ⇒ 𝐹 = 0
Où 𝛼
𝑞 𝑣 𝜇0 𝐼
4𝜋𝑎
= (𝑣, 𝐵𝑂 )
2+𝜋