Cours et activités

CHAPITRE
Quadrilatères
Énigme du chapitre.
Combien de rectangles y-a-t-il dans cette figure ?
13
Objectifs du chapitre.
— Connaître les propriétés relatives aux
côtés, aux angles, aux diagonales pour
le rectangle, le carré et le losange.
— Construire une figure simple à l’aide
d’un logiciel de géométrie dynamique.
I/ Vocabulaire sur les quadrilatères
Activité A. Construire un quadrilatère, TICE
1.
Sur la fenêtre du logiciel de géométrie dynamique GeoGebra, placer trois points
et C .
ABC .
2.
Tracer le triangle
3.
Afficher les longueurs du triangle.
4.
Placer un point D et construire le quadrilatère
avoir des côtés qui se croisent).
5.
ABCD (le quadrilatère ne doit pas
Afficher les angles du quadrilatère.
6. Une diagonale du quadrilatère
7.
A, B
ABCD a été tracée. Laquelle ?
Tracer l’autre diagonale du quadrilatère. Quel est le segment qui constitue l’autre
diagonale ?
8. *** Effacer le quadrilatère ABCD sans effacer les points A, B , C et D (cliquer sur le rond
vert poly1 à gauche de la fenêtre).
Déplacer le point D pour que le quadrilatère ABDC ne soit pas un quadrilatère
9. ***
non croisé.
10. ***
Nommer et tracer les diagonales de ce nouveau quadrilatère ?
Définition
Un quadrilatère ABCD a :
— quatre sommets : les points A, B , C et D.
— quatre côtés : les segments [AB ], [BC ], [CD] et [AD] ;
— quatre angles : ABC , B CD, C DA et DAB .
— deux diagonales : les segments [AC ] et [BD]
[[[ [
Remarque
En pratique, le mot diagonales désigne aussi bien les segments [AC ] et [BD] que les droites (AC )
et (BD).
Exemple
Compléter la figure avec le vocabulaire adapté :
B
A
C
D
Remarque
Pour nommer un quadrilatère, il suffit de citer les sommets dans l’ordre où ils apparaissent en
parcourant, dans un sens ou dans l’autre, la ligne représentant le quadrilatère.
Ainsi, le quadrilatère ABCD peut également être nommé : ADCB ou BCDA ou BADC ou
CABD ou CDAB , . . .
Faire les exercices 1 2 3 F 4 F
II/ Quadrilatères particuliers
Activité B. Les quadrilatères particuliers
Partie A : Le losange
1. (a) Tracer deux quadrilatères possédant exactement deux côtés de même longueur.
(b) Tracer deux quadrilatères possédant exactement trois côtés de même longueur.
(c) Tracer deux quadrilatères possédant exactement quatre côtés de même longueur.
(d) Dans quel cas obtient-on toujours un losange ?
(e) Recopier et compléter la phrase suivante : « Un quadrilatère qui a
longueur est un : : :. »
: : : côtés de même
2. Que semble être un losange qui a quatre angles droits ?
3. Reproduire en vraie grandeur le losange
ABCD ci-contre.
A
D
4 cm
120
B
C
Partie B : Le rectangle
1. Tracer deux quadrilatères ayant chacun un angle droit. Obtient-on des rectangles ?
2. Tracer deux quadrilatères ayant chacun exactement deux angles droits. Obtient-on des
rectangles ?
3. Tracer deux quadrilatères ayant chacun trois angles droits. Que peut-on dire, dans chaque
cas, du quatrième angle ? Obtient-on des rectangles ?
4. Recopier et compléter la phrase suivante : « Si un quadrilatère a
quadrilatère est un : : : ».
: : : angles droits, alors ce
5. Que semble être un rectangle qui a quatre côtés de même longueur ?
Définition
Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur.
Exemple
Le quadrilatère
ABCD est un losange.
B
A
C
D
Définition
Un rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits.
Propriétés
1. Les côtés opposés d’un rectangle sont parallèles et ont la même longueur.
2. Si un quadrilatère a trois angles droits alors ce quadrilatère est un rectangle.
Exemple
Le quadrilatère ABCD est un rectangle :
AB = DC ; BC = AD.
A
B
D
C
Définition
Un carré est un quadrilatère qui a quatres angles droits et et ses quatres côtés de la même
longueur.
Exemple
Le quadrilatère
ABCD est un carré.
A
B
D
C
Remarque
Un carré a ses quatre angles droits : un carré est donc un rectangle.
Un carré a ses quatre côtés de même longueur : un carré est donc un losange.
Par conséquent, un carré est à la fois un rectangle et un losange.
Faire les exercices 5 6 7 8 F
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III/ Propriétés des quadrilatères particuliers
Activité C. Propriétés des quadrilatères
Partie A : Propriétés du losange
ABCD tel que AB = 4 cm et AC = 5 cm.
(b) Tracer les diagonales (AC ) et (BD) et nommer I le point d’intersection.
Le point I s’appelle le centre du losange ABCD.
2. (a) Justifier que la droite (AC ) est la médiatrice du segment [BD].
(b) En déduire que (AC ) ? (BD).
(c) Que peut-on dire des diagonales du losange ABCD ?
3. Justifier que les diagonales [AC ] et [BD] du losange ABCD se coupent en leur milieu.
4. Justifier que ABC = C DA.
5. Justifier que la demi-droite [AC ) est la bissectrice de l’angle DAB .
1. (a) Construire un losange
[ [
[
6. Un peu de pliage
ABCD de la question 1 sur une feuille à part.
(b) Tracer les diagonales [AC ] et [BD].
(c) Plier le losange selon la diagonale [AC ]. Que remarquez-vous ?
(d) Plier le losange selon la diagonale [BD]. Que remarquez-vous ?
On dit que les droites (AC ) et (BD) sont des axes de symétrie du losange.
(a) Construire le losange
Partie B : Propriétés du rectangle
Le quadrilatère
tangle.
(d1 )
ABCD ci-contre est un rec-
La droite (d1 ) est la médiatrice du segment
[AB ].
La droite (d2 ) est la médiatrice du segment
[BC ].
Le point O est le point d’intersection des
droites (d1 ) et (d2 ).
(d2 )
A
I
B
L
O
J
D
K
C
1. (a) Reproduire en plus grand la figure ci-contre.
(b) Tracer les segments [OA], [OB ] et [OC ].
2. Que représentent les droites (d1 ) et (d2 ) pour le rectangle
ABCD ?
3. (a) Par pliage de la droite (d1 ), que devient le segment [AC ] ?
(b) En déduire que : AC = BD.
(c) Que peut-on dire de la longueur des diagonale d’un rectangle ?
OA = OB , puis que OB = OC .
Déduire des questions précédentes que : OA = OC .
d = J OB puis que : J OB = JOC
d .
Justifier que AOL
d = JOC
d .
En déduire que : AOL
d ? Justifier la réponse.
Quelle est la mesure de l’angle LOJ
d = JOC
d , on peut démontrer que : LOJ
d = AOC .
De plus, comme AOL
En déduire que les points A, O et C sont alignés.
Justifier que le point O est le milieu du segment [AC ].
De même, on peut démontrer que le point O est le milieu du segment [BD].
4. (a) Justifier que
(b)
5. (a)
(b)
6. (a)
(b)
7. (a)
[
[
[
(b) Que peut-on dire du point d’intersection des diagonales d’un rectangle ?
Partie C : Propriétés du carré
1. Construire un carré
P LUS et tracer ses diagonales.
2. Justifier qu’un carré est à la fois un rectangle et un losange.
3. (a) Écrire les propriétés des diagonales d’un losange, puis celles d’un rectangle.
(b) En déduire les propriétés des diagonales d’un carré.
(c) Coder sur la figures les propriétés des diagonales du carré
P LUS .
1) Losange
Propriétés
Si un quadrilatère est un losange alors :
— ses angles opposés ont la même mesure ;
— ses diagonales se coupent en leur milieu ;
— ses diagonales sont perpendiculaires.
Exemple
On sait que : le quadrilatère EF GH est un
losange.
Donc :
— ses angles opposés ont la même mesure :
H EF = H GF et E HG = E F G ;
— ses diagonales [HF ] et [EG ] se coupent
en leur milieu ;
— ses diagonales sont perpendiculaires
(HF ) ? (EG ).
— I est le centre du losange.
[ [ [ [
F
E
I
H
G
2) Rectangle
Propriétés
Si un quadrilatère est un rectangle alors :
— ses côtés opposés ont la même longueur ;
— ses diagonales se coupent en leur milieu ;
— ses diagonales ont la même longueur.
Exemple
On sait que le rectangle ILMN est un rectangle.
Donc :
— J est le centre du rectangle ;
— ses côtés opposés ont la même longueur :
IL = MN et IN = LM .
— ses diagonales [IM ] et [LN ] se coupent
en leur milieu ;
— ses diagonales ont la même longueur :
IM = LN .
I
L
J
N
M
3) Carré
Propriétés
Si un quadrilatère est un carré, alors :
1.
O est le centre du carré ;
D
2. ses diagonales se coupent en leur milieu ;
O
3. ses diagonales sont perpendiculaires ;
4. ses diagonales ont la même longueur.
Faire les exercices 13 14 15 16 F
Problèmes :
Faire les exercices 17 F 18 F 19 F 20 F
C
A
B