Didactique des mathématiques Semestre 2 Cours 10 C.Bazzoni Mai 2016 Construction de l’espace chez l’enfant Du point de vue des mathématiques : ◦ Espace topologique ◦ Espace projectif ◦ Espace euclidien 2 1 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 1. Espace topologique Notions: • • • • • • • Continu Discontinu Voisinage Frontière Intérieur Extérieur Troué Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 1 1. Espace topologique Ages: entre 2 et 7 ans (1-2H) L’enfant ne perçoit que des rapports topologiques entre les objets • • • • • Rapport Rapport Rapport Rapport Rapport de voisinage de séparation d’ordre ou de succession spatiale d’entourage et d'enveloppement de continuité et discontinuité 4 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 5 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 1. Espace topologique • • Par le biais du jeu symbolique, l’enfant s’adapte intellectuellement et affectivement au monde qui l'entoure, il commence à percevoir l’espace sans que son corps ait besoin de l’expérimenter directement C'est à ce stade qu'apparaît l'égocentrisme: La vision du monde de l'enfant se fait par rapport à lui 6 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 2 1. Espace topologique • • • Distinction entre contours rectiligne et curviligne (5-6 ans) Jusqu’à 7 ans, la « droite » est « parallèle » au bord de la table Perception tactile de formes géométriques (6-7 ans) 7 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 8 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 1. Espace topologique • L’enfant construit son espace sensorimoteur (sensori: perception et moteur: activités motrices de découverte) • Relation entre le tout et ses parties. Découpe d’un carré, d’un triangle,… 9 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 3 2. Contexte Vers 5-6 ans, la prédominance droite/gauche (latéralité), stimule la structuration de l'espace 10 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 2. Espace projectif Notions : • Gauche • Droite • Avant • Arrière • Dessus • Dessous 11 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 2. Espace projectif Ages : entre 6 et 11 ans (2-7H) • • • • Liberté de mouvement accrue Variation des points de vue Le corps n'est plus perçu comme l’origine de tout espace Egocentrisme exocentrisme 12 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 4 2. Espace projectif • Processus de décentration 13 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 2. Espace projectif • Capacité de percevoir l’espace sans être obligé de s'y déplacer analyse de l’espace par l’observation • Système de coordonnées, horizontalité (8-9 ans) • Capacité de se mettre mentalement à la place d'autrui 14 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE Que voit la personne assise en face de moi ? 15 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 5 2. Espace projectif Le réalisme visuel succède au réalisme intellectuel 6-7 ans 10-11 ans 16 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 2. Espace projectif L’enfant dessine tel qu’il voit, selon sa perspective d’observateur (vers 9 ans) espace perçu 5-6 ans 10-11 ans 17 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 2. Espace projectif L’image est imitation intériorisée, non pas de l’objet mais des accommodations propres à l’objet (ce que l’enfant pense que l’on va en faire) 18 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 6 3. Espace euclidien Notions : • Distance • Eloignement • Mesures 19 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 3. Espace euclidien • Dessin correct de l’eau dans un récipient 11 ans, disparition des orientations perpendiculaires (poteaux sur une colline) • Dès 20 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 3. Espace euclidien Âges : vers 11 ans et plus (7-8H) Dans cet espace conçu, les objets sont coordonnés et orientés selon un système de référence stable qui leur est extérieur 21 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 7 4. Espace euclidien Âges : vers 11 ans et plus (7-8H) • Dans cet espace conçu, les objets sont coordonnés et orientés selon un système de référence stable qui leur est extérieur Anicia,14 ans 22 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 3. Espace euclidien Sébastien 15 ans 23 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 3. Espace euclidien Le niveau d’abstraction augmente avec l’âge et la formation • Espace sphérique… 24 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 8 3. Espace euclidien • • • L’enfant conçoit l’espace selon des règles précises qui ne font plus appel ni au mouvement, ni à l’observation mais seulement à la représentation Parallélisme, transformations du plan Notion de distance et de mesures 25 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 3. Espace euclidien 26 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE TP et lecture - cours 10 Travail de groupe : rechercher 3 activités dans les moyens d’enseignement, jeux, etc... qui illustrent la mise en place des étapes de construction de l’espace chez les enfants de : 3-4H 5-6H 7-8H à lire pour la fois suivante : Fichier COROME chapitre 9 27 Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 9 Pour chaque activité, préciser : Les objectifs Le type d’espace travaillé (…, projectif, euclidien) Un commentaire relatif au déroulement Haute Ecole Pédagogique - BEJUNE 10 Quelques aspects du développement de l'espace rapport de voisinage, séparation, ordre, entourage,continuité. perçu Age des enfants Développement de l'enfant , aspect psychologique 1 décentration, relations spatiales se coordonnent, Corps au milieu d'autres Les objets sont coordonnés et orientés selon un système de conçu référence 5 10 12 tout se rapporte L'objet cesse d'être à l'objet envisagé pour luiet même. La notion de l'enfant. Décentré point de vue apparaît. continu, discontinu, voisinage, frontière, intérieur, extérieur distinction entre les Perception tactile des contours rectilignes formes et curvilignes gauche droite, avant arrière, dessus, dessous. La "droite" projective est parallèle au bord projectif de la table Egocentrique topologique Développement de l'espace en temps que notion mathématique L'objet peut être représenté à l'échelle labyrinthes, jeu de la vie, tore,ballons de foot, plans de ville Le réalisme visuel succède au réalisme intellectuel. L'image est imitation intériorisée euclidien Approche du micro et meso espace. Acquisition en ordre dispersé préparer des parcours pour les autres, choisir des itinéraires suivre un parcours, verbaliser Lignes, continuité, comparer des itinéraires. Chercher un système de référence. Désigne des situations, les décrit Dessiner des itinéraires. Dessiner des figures Découvrir des objets cachés à l'aide d'indications perçois des situations spatiales Distance, éloignement, mesures, verticalité, eau dans un récipient, transformations du plan représentation du macro dans le micro espace Découverte du macro espace S'orienter, faire des rondes, jeux des places publiques Apprentissage Vit les situations. Espace sensori moteur Saisir des ob jets à portée de main Attitudes Occuper l'espace, se cacher, entrer, sortir. Enfiler des perles. Enrober des objets. Comportement, compétences Hypothéticodéductif Tracer des parcours sur une carte, mesurer des distances. Schéma topographique, plan de ville espace vécu mb mai 2013 Composantes de la notion d'espace Pour pouvoir se représenter l'espace comme l'adulte, l'enfant doit maîtriser 3 type de représentations : Les relations topologiques Une personne établit des relations topologiques lorsqu'elle apprécie les positions relatives des éléments dans son environnement de façon élémentaire et qualitative, et en se référant à son seul point de vue. Cela signifie qu'elle est capable de positionner un objet de la scène visuelle par rapport à un autre (et donc de se représenter la position relative). Il existe plusieurs types de relations topologiques : - Relations de localisation (devant, à droite,…) - Relations de voisinage (loin, près de, à coté,…) - Relations d'enveloppement (= d'inclusion : au milieu, à l'intérieur, l'extérieur,…) - Relations de continuité (à la limite, bord, joindre, toucher,…) - Relations de succession (au début, en avant, au bout,…) - Relations de séparation (séparé, écarté, en dehors,…) Il s'agit des premières relations que l'enfant va être capable d'établir, et dont il va pouvoir se souvenir (conserver en mémoire). Les relations topologiques se développent entre 0 et 7-8 ans (stades sensorimoteur et préopératoire) L'espace projectif Une personne établit des relations projectives lorsqu'elle apprécie les positions relatives des éléments de l'environnement en adoptant un point de vue différent de celui qu'elle a réellement sur cet environnement. Pour établir la distinction entre l'espace topologique et l'espace projectif, Piaget introduit le test des 3 montagnes : Il montre à l'enfant une maquette représentant 3 montagnes, dont l'une est grande, l'autre moyenne, la dernière est petite. Si l'enfant ayant acquis la représentation d'un espace topologique, est capable de comprendre si la montagne grande est à droite de la montagne plus petites, il n'est cependant pas encore capable, lorsqu'on lui montre une poupée se trouvant de l'autre côté de la maquette, de répondre correctement à des questions comme "pour la poupée, la grande montagne est-elle aussi à droite de la petite?". Il ne sait répondre qu'en prenant en compte son propre point de vue, et donc, localise les objets et relations à partir de sa propre localisation. A contrario, un enfant se représentant un espace projectif est capable de se mettre mentalement à la place d'autrui, et comprend notamment que certaines relations s'inverse (par exemple, devant pour lui, est derrière pour quelqu'un qui est en face, droite et gauche s'inverse pour quelqu'un qui lui fait face, etc... Cette étape est donc celle de la mise en relation des perspectives, la période des opérations mentales de transformation (rotation, inversion…). Elle se développe, selon Piaget, pendant le stade opératoire (7-8 à 11-12 ans). L'espace Euclidien L'espace euclidien est l'espace tel qu'on se le représente en mathématiques, qui correspond à savoir positionner et se positionner dans un espace de coordonnées, et sert par exemple à estimer (distance, direction, volume, surface, position par rapport à une certaine longitudes et latitudes) des caractéristiques de l'espace ou des objets contenus dans cet espace. Un enfant ou un adulte capable de se représenter cet espace a atteint le stade formel (formalisation des dimensions représentées par l'espace et les éléments de celui-ci). L'acquisition de cette représentation de l'espace dépend notablement du niveau d'éducation, n'est donc pas systématique : de nombreux adultes restent au stade de l'espace projectif. UF Math S2 La construction de l’espace chez l’enfant La construction de l'espace se fait du concret vers l'abstrait, du physique au mental et s'enracine dans le domaine perceptif pour se poursuivre sur le plan représentatif. L’enfant construit ainsi, peu à peu, l'espace de la naissance jusqu'à l'âge adulte, à partir de son activité, au fur et à mesure du développement de ses activités gestuelles, de sa capacité de locomotion et d’exploration de l’environnement. Il dispose pour cela de deux activités motrices essentielles : la préhension (qui lui permet de saisir, de toucher, de lancer, de jeter… des objets) et la locomotion (qui va lui permettre d’agrandir considérablement les dimensions de l’espace investi et de relativiser et multiplier les points de vue). Le développement de la connaissance de l’espace se fait selon trois stades successifs : selon son âge, l’enfant se situe dans l’espace topologique, projectif ou euclidien. constructionespace.docx (Avril 14) 1/3 C. Bazzoni et P.-O.r Vallat UF Math S2 Espace topologique • • • Le système est centré sur le sujet qui ne fait pas la différenciation du soi et du nonsoi. L’apprentissage des notions spatiales est d’abord utilitaire, elles n’ont de signification que par rapport à sa position personnelle : haut, bas, devant, derrière. Espace de l’action et du mouvement Avant deux ans À partir de réflexes simples et d’habitudes acquises, l’enfant découvre progressivement son environnement. Le développement de ses capacités perceptives et motrices lui permet de découvrir l’espace vécu. En manipulant les objets et en explorant l’espace immédiat, avec lequel il est en contact direct. Entre 2 et 7 ans Par le biais du jeu symbolique, l’enfant s’adapte intellectuellement et affectivement au monde qui l'entoure, il commence à percevoir l’espace sans que son corps ait besoin de l’expérimenter directement C'est à ce stade qu'apparaît l'égocentrisme. La vision du monde de l'enfant se fait par rapport à lui L’enfant ne perçoit que des rapports topologiques entre les objets : • • • • • constructionespace.docx (Avril 14) le rapport de voisinage qui est le rapport le plus élémentaire et correspond à la proximité des éléments perçus dans un même champ visuel (près ; loin ; à côté...) le rapport de séparation qui correspond à dissocier deux éléments voisins qui peuvent s’inter pénétrer et se confondre en parties le rapport d’ordre ou de succession spatiale qui existe entre des éléments voisins et séparés lorsque nous les situons les uns à la suite des autres (devant/derrière ; dessus, dessous). le rapport d’entourage et d'enveloppement qui consiste à percevoir un élément entre deux autres éléments ou entouré par d'autres éléments (intérieur/extérieur, dedans, dehors...). le rapport de continuité et discontinuité qui existe dans le cas des lignes ou des surfaces (formes ouvertes ou fermées) 2/3 C. Bazzoni et P.-O.r Vallat UF Math S2 Espace projectif Entre 6 et 11 ans L’enfant est capable de percevoir l’espace sans être obligé de s'y déplacer : il analyse l’espace par l’observation. Le développement physique de l’enfant lui permet de libérer ses mouvements, d’être plus endurant, d'accéder à des espaces de plus grande dimension, de varier ses points de vue sur la réalité. Les relations spatiales se coordonnent entre elles et on se dirige vers un espace projectif ou l'objet n'est plus seulement envisagé en lui-même, mais selon des points de vue relatifs au sujet et à l’objet à la fois. Le processus de décentration permet à l'enfant de penser son corps comme un objet au milieu d'autres et non plus comme l’origine de tout espace. Espace euclidien Dès environ 11 ans L’enfant conçoit l’espace selon des règles précises qui ne font plus appel ni au mouvement, ni à l’observation, mais seulement à la représentation. constructionespace.docx (Avril 14) Dans cet espace conçu, les objets sont coordonnés et orientés selon un système de référence stable qui leur est extérieur 3/3 C. Bazzoni et P.-O.r Vallat