PHQ954 Nucléosynthèse primordiale stellaire 18 décembre 2009 Autiwa Table des matières 2 Table des matières 1 Dénition 1.1 Nucléosynthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Pic du fer . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Synthèse des éléments lourds . . . . . . 1.2 Masse moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Limite des gazs parfaits . . . . . . . . . 1.2.2 Pression de dégénérescence des électrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Milieu interstellaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modèle de Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modèle actuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modèle standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Masse limite à la contraction d'un nuage froid . 2.4.2 Nuage ionisé en contraction . . . . . . . . . . . 2.4.3 Température au centre d'une étoile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Formation Stellaire 2.1 2.2 2.3 2.4 3 Structure interne d'une étoile 3.1 3.2 3.3 3.4 Distribution de masse . . . . . . . . . . . Équation d'équilibre mécanique . . . . . . Équation d'équilibre énergétique . . . . . Transport de l'énergie . . . . . . . . . . . 3.4.1 Transport radiatif et opacité . . . 3.4.2 Transport d'énergie par convection 3.5 Structure stellaire . . . . . . . . . . . . . . 4 Éléments de nucléosynthèse 4.1 Cinématique et chaleur de réaction . . . 4.2 Section ecace et taux de réactions . . 4.3 Étapes d'une réaction nucléaire . . . . . 4.3.1 Réaction nucléaire non résonante 4.3.2 Réaction nucléaire résonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 3 4 5 5 5 5 6 7 8 8 8 9 9 9 9 10 10 10 11 11 12 12 12 13 14 15 5 Nucléosynthèse stellaire 15 6 Nucléosynthèse primordiale 16 Index 17 5.1 Combustion de l'hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Combustion de l'hélium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 3 1 Dénition 1 Dénition 1.1 Nucléosynthèse La nucléosynthèse est un ensemble de processus physiques conduisant à la synthèse de noyaux atomiques, par ssion ou fusion nucléaire. Il y a plusieurs étapes : 1. nucléosynthèse primordiale : Formation des tout premiers noyaux avant même de former les étoiles. En gros 75% de proton (H) et 25% d'Hélium, très peu de deutérium. 2. nucléosynthèse stellaire : formation des noyaux au sein des étoiles. Tout va se jouer sur la répulsion coulombienne que l'on doit vaincre. Pour celà, il faut des température avoisinant les 100 millions de kelvin. Dans le soleil, la température au c÷ur est d'environ 15 millions de Kelvin, ce qui est insusant pour vaincre la répulsion coulombienne. La barrière est donc traversée par eet tunnel, mais c'est un eet rare, ce qui explique la durée de vie des étoiles (les étoiles plus massives auront une durée de vie plus faible). 3. nucléosynthèse explosive (mort des étoiles 1 de plus de 6M ) Si la masse de l'étoile est supérieure à six masses solaires, par fusion successive, on pourra créer du 56 Fe qui est l'élément le plus stable de l'univers. La réaction de fusion du fer est endothermique, et va rapidement faire cesser toute réaction dans le c÷ur de l'étoile. On aura donc un c÷ur de fer sur lequel les couches externes vont se contracter (la pression de radiation qui compensait l'eondrement gravitationnel ayant disparu). Ces couches externes vont rebondir sur le c÷ur et créer une explosion sous la forme d'une onde de choc appelée supernovae. Il existe deux autres processus : La spallation : formation ou destruction de gros noyaux par des particules de très haute énergie (essentiellement de protons) ; photodésintégration : destruction de noyaux par des photons. abondance relative nucléosynthèse primordiale H nucléosynthèse stellaire (jusqu'à 6Ms) He nucléosynthèse stellaire (>6Ms) CNO Fe nucléosynthèse explosive spallation et photodésintégration Li Be B nombre de masse Fig. 1 Tendance des abondances isotopiques dans l'univers et processus à l'origine de ces tendances 1.1.1 Pic du fer Le fer étant l'élément le plus stable, les fusions successives vont amener à la formation de ce dernier. La fusion avec le fer est possible mais elle est endothermique. Il va donc se former un équilibre entre formation et destruction du fer. Les éléments voisins du fer vont tendrent vers le 56 Fe par désintégration β. 1.1.2 Synthèse des éléments lourds Les éléments qui ont A > 65 ne peuvent être créés dans les c÷urs stellaires ; ils sont créés par réactions successives de capture de neutrons sur les éléments du groupe du fer (les neutrons ne voient pas la barrière coulombienne). il apparaît des doubles pics riches en noyaux magiques. Ces doubles pics montrent l'ecacité de la capture de neutrons et correspondent à deux processus distincts : 1. On ne parle d'étoiles que quand on a un état d'équilibre entre la contraction gravitationnelle et la pression de radiation due aux réactions de fusion. 1.2 Masse moyenne 4 processus s (slow) : Si le ux de neutrons est faible, l'isotope A+xZ X se désintègrera par désintégration β − (un neutron devient un proton) avant de capturer un autre neutron. processus r (rapide) : Avec un ux de neutrons très intense, les éléments vont pouvoir être beaucoup plus enrichis en neutrons avant de se désintégrer pour donner des noyaux de plus grand Z . 1.2 Masse moyenne Les étoiles sont constituées de diérents types de particules de masse diérente. Pour simplier le problème, on cherche à caractériser les étoiles par une masse moyenne d'une particule ctive dont serait exclusivement constituée l'étoile. Suivant la composition du gaz de l'étoile, la masse moyenne variera donc. Cette masse moyenne µ est exprimée en masse du proton (mp ). Pn Xi mXi n × mp i=1 µ= (1.1) où mX est la masse de l'élément X , l'indice i permettant de répertorier toutes les particules présentent dans le milieu. Exemple : Si l'étoile est composée d'hydrogène, il n'y a qu'un seul type de particule, d'où : µ= [mp ] 1 × mp =1 Si c'est de l'hydrogène ionisé : [mp ] + [me− ] 2 × mp 1 = 2 µ= Remarque : La masse de l'électron est négligeable devant celle du proton. de l'hélium ionisé : [4 × mp ] + [me− ] + [me− ] 3 × mp 4 = 3 µ= En astrophysique, on ne diérencie que 3 catégories de particules. L'hydrogène, l'hélium, et les métaux. Les métaux sont tous les éléments qui ont une masse supérieure à celle de l'hélium. Pour les métaux, on considère qu'ils sont sur la vallée de stabilité et qu'ils ont donc autant de neutrons que de protons que d'électrons. 2Zmp + Zme− (Z + 1)mp 2Zmp = (Z + 1)mp µ= On considère que Z est grand devant 1 µ'2 (1.2) Pour caractériser la composition d'une étoile, il sut donc de connaître les abondances de ces trois catégories. Pour celà, on dénit trois abondances (en pourcentage) : X : Abondance d'Hydrogène 5 2 Formation Stellaire Y : Abondance d'Hélium Z : Abondance de métaux On dénit ainsi une masse spécique moyenne µ qui vaut : µ= 1 2X + 3Y 4 + Z 2 (1.3) Je ne saurais pas vraiment démontrer cette relation proprement et n'ai trouvé nulle part d'explications à ce sujet. Par contre, voici ma version des faits. Si on considère que la masse moyenne a la dimension de l'inverse d'une masse, on arrive à redémontrer facilement la relation. Seulement elle est censé être sans dimension, donc du coup, je sais pas bien d'où ça sort. . . 1.2.1 Limite des gazs parfaits Un gaz parfait est un gaz dans lequel on peut négliger les interactions. La limite des gazs parfait sera quand la distance entre les particules est telle qu'il y a toujours interaction. En clair, la limite des gazs parfait, c'est quand les particules se touchent. À la limite, on a donc une densité, en particules par centimètres cubes qui vaut : N= 4 3 1 πr3 (1.4) (nombres de particules divisé par le volume associé. Ici, une particule occupe son volume, vu que les particules se touchent) 1.2.2 Pression de dégénérescence des électrons Dans une boite de l'espace des phases, il ne peut y avoir deux électrons avec les mêmes nombres quantiques. En pratique, ça signie que dans chaque boite de l'espace des phases, on ne peut mettre que deux électrons de spin opposé. Quand la pression deviendra si forte qu'elle tendra à conner deux électrons qui ne peuvent pas se retrouver dans la même boite , alors la pression de dégénérescence va conférer à un des deux électrons une impulsion diérente. Ainsi, même si les nombres quantiques sont égaux, ils ne seront plus dans la même boite de l'espace des phases, vu que les impulsions seront diérentes. À chaque particule, on associe une onde de l'ongueur d'onde de de Broglie λ= h mv (1.5) La taille de la boite quantique pour une particule donnée sera donc : (∆x)3 = λ3 (1.6) 2 Formation Stellaire 2.1 Milieu interstellaire Les étoiles se forment à partir de gaz interstellaire que l'on trouve essentiellement sous deux formes : Les nuages d'hydrogène neutre H I température : 10 à 100 K densité : 10 à 100 at/cm3 observation : grâce à la transition hyperne (transition de spin) à 21cm de l'hydrogène Les nuages d'hydrogène ionisés H II température : 5000 à 10000 K densité : 50 à 1000 at/cm3 observation : grâce à la raie Hα de la série de Balmer à 656, 3 nm (rouge) En plus de l'hydrogène et l'hélium, principaux constituants du milieu insterstellaire, se trouve des grains et des poussières, particules solides essentiellement composés de glaces et de carbone. Ils constituent moins de 0.1% du milieu interstellaire. Les particules ont une dimension typique comprise entre 10 et 100 nm et sont les principales responsable de l'extinction de la lumière. La poussière est donc un problème lors de l'observation de certaines régions du ciel. 2.2 Modèle de Jeans 6 2.2 Modèle de Jeans On prend un nuage d'hydrogène pur supposé sphérique de rayon R, totalement isolé, de température T , de masse volumique ρ. On cherche la condition pour que le nuage s'eondre sur lui même et ainsi commence à former des étoiles. On a d'une part l'énergie d'agitation thermique qui vaut 12 kB T pour chaque degré de liberté pour une particule donnée, et d'autre part l'énergie potentielle gravitationnelle GM . r Si l'énergie cinétique est supérieure à l'énergie potentielle, les particules auront tendance à se disperser, et le nuage à se dilater. Par contre, si c'est la situation inverse, alors les particules auront tendance à se regrouper, et le nuage à se concentrer. dR R Fig. 2 Représentation de l'élément de masse pour le calcul de l'énergie potentielle On va donc calculer l'énergie potentielle du nuage sphérique et le comparer à l'énergie cinétique de celui-ci. La limite étant quand les deux énergies sont égales. L'énergie potentielle vue par l'élément de masse dM à la distance r du centre du nuage vaut GMr(r) . D'où l'expression intégrale de l'énergie potentielle totale du nuage Ep : ˆ R Ep = 0 GM (r) dM (r) r (2.1) On a M (r) = 4 3 πr ρ 3 dM (r) vaut donc (en dérivant par rapport à r) dM (r) = 4πr2 ρ dr ˆ G 34 πr3 ρ 4πr2 ρ dr r 0 ˆ R 16 2 4 2 = π Gr ρ 3 0 16 2 2 R5 = π Gρ 3 5 R Ep = en remplaçant 43 πr3 ρ par M on obtient = 3 GM 2 5 R (2.2) La masse volumique peut être exprimée en fonction du nombre de particules par unité de volume, sachant que le nuage est composé exclusivement par de l'hydrogène : ρ = N × mH . L'énergie cinétique globale devient : 3 4 Ec = N × ( kB T ) × πr3 2 3 (2.3) 7 2 Formation Stellaire Ec = Ep 4 3 3 GM 2 N × ( kB T ) × πR3 = 2 3 5 R N kB T GM = 2mH 5R N kB T G 4 3 = πR N mH 2mH 5R 3 1/2 1/2 15kB T R= 8πGmH 2 N (2.4) Ceci donne, pour une température et une densité donnée, le rayon minimal pour qu'il y ait contraction du nuage. En pratique, le nuage ne se concentre pas en un seul endroit. Au fur et à mesure de la contraction, la densité augmente, (la température aussi, mais moins rapidement le calcul pour le montrer est compliqué et non discuté ici). Si la densité augmente, on voit dans (2.4) que le rayon de Jeans va lui aussi diminuer. Ainsi, le rayon minimal pour qu'il y ait contraction va diminuer, autorisant le nuage a se subdiviser autour de zones localement plus dense Fig. 3 Représentation de l'eondrement gravitationnel d'un nuage de gaz d'après le modèle de Jeans 2.3 Modèle actuel En pratique, un nuage totalement isolé est extrêmement rare. Pour permettre l'eondrement gravitationnel d'un nuage de gaz, il faut que sa masse soit inférieure à la masse de Jeans correspondant à sa densité et sa température. Si sa masse n'est pas susante, mais que celui-ci est comprimé par un évènement extérieur, alors il est possible que l'augmentation de densité qui en résulte soit susante pour rendre la masse critique (qui est une fonction de la densité on le rappelle) inférieure à la masse du nuage (qui elle reste constante). M<Mj M>Mj Explosion Onde de choc Compression des nuages Contraction gravitationnelle 4 Modèle actuel de l'eondrement gravitationnel des nuages grâce à une aide extérieure qui modie la densité, et donc la masse critique au delà de laquelle la compression est possible. Fig. 2.4 Modèle standard 8 2.4 Modèle standard On part de la contraction d'un nuage. Il n'est donc plus en équilibre. Cette contraction va ammener de l'énergie à l'étoile et le gaz en contraction peut se comprimer jusqu'à diérents niveaux de compressibilité : 1. contraction d'un nuage froid : si le nuage, arrivé à un certain stade, n'est pas assez chaud pour permettre l'ionisation de l'hydrogène, alors il arrive à une limite de compressibilité 2. nuage ionisé en contraction : arrivé à un certain stade, si le nuage n'est pas assez chaud pour enclencher les réactions de fusions, alors on arrive à une limite où la contraction est arrêtée par un gaz dégénéré d'électrons non relativiste. Ce sont ce que l'on appelle les naines brune 3. allumage des réactions nucléaires : si la température est susante pour que les réactions de fusions commencent, alors une étoile est née. nuage froid nuage ionisé fusion de l'hydrogène fusion de l'hélium fusion du carbo-ne et au delà nuage froid stable naine brune naine blanche étoile à neutron trou noir 5 Évolution d'un nuage de gaz en contraction en fonction de sa masse. Les états bleus sont des états de contraction. Les états rouges des états de fusion, et les états en noir sont les états de n de vie. Fig. 2.4.1 Masse limite à la contraction d'un nuage froid Un nuage de gaz a pour énergie potentielle et cinétique (thermique) : 3G 3 GM 2 = (N.mH )2 5 R 5R 3 Et = N kB T 2 Ep = (2.5) (2.6) (voir (2.2) pour l'expression de l'énergie potentielle) On utilise le théorème du Viriel qui dit que l'augmentation de la température se fait au détriment de l'énergie potentielle, selon la relation suivante : Et = 1 Ep 2 (2.7) La limite correspond à une température susante pour ioniser l'hydrogène, c'est à dire que l'énergie thermique doit être d'environ 13.6 eV. Il vient : E = kB T T = 1, 58 × 105 K (2.8) La limite en contraction est donnée par la distance minimale entre les atomes. Ces atomes étant non ionisé, ceci vaut environ a0 = 10−10 m. Ceci nous donne un rayon limite que l'on peut réinjecter dans le téhorème du Viriel. On obtient donc une masse limite en fonction de la température. Or la température est donnée pour qu'on ait ionisation de l'hydrogène. On peut donc montrer que la masse limite est : Mlim = 3 × 10−3 M (2.9) 2.4.2 Nuage ionisé en contraction le nuage ionisé va se contracter et doit atteindre une température d'au moins 107 K avant que la pression de dégénérescence des électrons n'apparaisse, sinon elle n'atteindra jamais le stade de fusion et deviendra une naine brune. 9 3 Structure interne d'une étoile 2.4.3 Température au centre d'une étoile Normalement c'est un calcul compliqué de structure stellaire, mais nous allons voir ici un calcul plus simple qui donne un bon ordre de grandeur de la température du c÷ur stellaire. On considère un atome d'hydrogène qui arrive en surface uniquement grâce à l'énergie thermique du c÷ur. Ep = G Et = M m H R 3 kB Tc 2 (2.10) (2.11) D'où Tc = 2 GM mH 3 kB R (2.12) 3 Structure interne d'une étoile 3.1 Distribution de masse La masse comprise entre les sphères de rayon r et r + dr vaut : dM (r) = 4πr2 ρ(r) dr (3.1) 3.2 Équation d'équilibre mécanique Fig. 6 Représentation des forces s'appliquant sur un volume innitésimal dV . À l'équilibre, dV est soumis à deux forces : 1. une force de pression − → − − dFp = P (r)→ r − P (r + dr)→ r → dP (r) − = P (r) − P (r) + dr dr r dP (r) → − = − dr dr r (3.2) (On a considéré une surface unité ici. On rappelle que F = P S ) Remarque : Le gradient est négatif donc la force est dirigée vers l'extérieur. 2. la force gravitationnelle (l'élément de volume dV a une masse dm = ρ(r) dr en considérant toujours une surface unité qui se simpliera avec la surface unité qu'on a pris pour la pression) − → M (r)ρ(r) dr → − dFg = −G r r2 (3.3) 3.3 Équation d'équilibre énergétique 10 Remarque : Une particule dans une boule n'est soumise qu'à la force gravitationnelle créée par la masse contenue dans la sphère intérieure (de rayon égal à la distance de la particule au centre de la boule totale). L'équilibre des force nous donne l'équation d'équilibre hydrostatique : GM (r) ρ(r) r2 − dPdr(r) = (3.4) 3.3 Équation d'équilibre énergétique + Fig. 7 Représentation des échanges d'énergie d'une couche d'épaisseur dr . L représente le ux lumineux se propageant vers l'extérieur de la source (sens des r croissant) alors qu'L− se propage dans l'autre sens. Dans la couche, l'énergie produite par seconde est : ε(r) dM (r) = ε(r)ρ(r)4πr2 dr (3.5) Avec L(r) = L+ (r) − L− (r) on obtient l'équation de variation de l'énergie : dL(r) dr D'où = ε(r)ρ(r)4πr2 ˆ R ε(r)ρ(r)4πr2 dr L(R) = (3.6) (3.7) 0 3.4 Transport de l'énergie Le transport se fait suivant deux mécanismes essentiellement : le transport radiatif (transport par les photons) ; le transport convectif (transport par des bulles d'atomes) Remarque : Il pourrait y avoir la conduction (chocs entre atomes qui s'échangent de l'énergie) mais dans le cas d'étoiles normales, on a un gaz parfait donc un peut négliger la conduction. 3.4.1 Transport radiatif et opacité Les photons produits sont diusés et absorbés pa le plasma stellaire ; ils mettent environ un million d'année pour sortir. Diérents mécanismes sont à l'origine de l'opacité : La photoionisation (ou transition bf Bound-Free) qui provoque la disparition de photons au prot de l'ionisation (il faut donc un milieu composé d'atomes neutres ce qui n'est pas le cas du c÷ur stellaire trop chaud). Le bremmstrahlung ou rayonnement de freinage (transition ) 11 3 Structure interne d'une étoile Opacité Thomson où les photons sont diusés par des électrons libres transitions bound-bound où il y a transition d'un état lié à un autre état lié par absorption d'un photon. Au lieuP de tenir compte de chaque opacité, on dénit une opacité moyenne appelée la moyenne de Rosseland R qui dépend de l'abondance en hydrogène X , de la densité ρ et de la température T . On arrive donc à l'équation de transport radiatif : dT (r) dr =− P 3L(r) R 16πacr2 T 3 (r) (3.8) où a est la distance interatomique 3.4.2 Transport d'énergie par convection C'est le transport de l'énergie par mouvement de la matière. La convection s'établit si la valeur absolue du gradient de température est supérieure à la valeur du gradient de température qui existerait dans une bulle de matière subissant une transformation adiabatique. Remarque : On peut voir la convection comme le fait que les atomes n'ont pas le temps de s'échanger de la chaleur par collision. Ainsi, les particules de la zone à haute température ont une grande vitesse, et se déplacent dans la zone à faible température, transportant l'énergie avec eux sans avoir le temps de la transmettre (d'où l'aspect adiabatique, c'est à dire sans échange de chaleur). La loi des gazs adiabatiques est donnée par pV γ = cte 0 en utilisant pV = nRT il vient p = cte T γ /γ−1 (3.9) En diérenciant l'expression on obtient γ γ T γ−1 −1 dT γ−1 γ γ 1 dT dp = |cte T{zγ−1} γ−1T dp = cte p γ p dp = dT γ−1T γ p dT dp = dr γ − 1 T dr (3.10) D'où l'expression du gradient de température adiabatique dT dr Si dT dr > dT dr ad 1 T dp = 1− γ p dr (3.11) alors on est dans une zone convective, sinon on est dans une zone radiative. ad 3.5 Structure stellaire On fait la résolution simultanée de 4 équations diérentielles couplées 1. conservation de la masse dM (r) dr = 4πr2 ρ(r) (3.12) 12 2. pression dP (r) dr GM (r) ρ(r) r2 (3.13) = ε(r)ρ(r)4πr2 (3.14) =− 3. équilibre énergétique dL(r) dr 4. transport de l'énergie P 3L(r) R dT (r) =− dr 16πacr2 T 3 (r) 2 T dp dT = dr 5 p dr radiatif (3.15a) convectif (3.15b) ad (dans le cas du gaz parfait monoatomique non relativiste, γ = 35 ) 4 Éléments de nucléosynthèse 4.1 Cinématique et chaleur de réaction Soit la réaction A+a→B+b (4.1) Le noyau A est bien souvent pris au repos. La conservation de l'énergie donne alors : MA c2 + Ma c2 + Ta = MB c2 + TB + Mb c2 + Tb (4.2) La chaleur de réaction Q est dénie comme la somme des énergies de masses des noyaux d'entrées moins la somme des énergies de masses des noyaux en sortie. En eet, comme son nom l'indique, la chaleur de réaction rend compte de l'énergie qu'il reste à distribuer à l'issue de la réaction. Q = [(MA + Ma ) − (MB + Mb )] c2 Q = TB + Tb − Ta (4.3) Remarque : En pratique, on ne tient pas compte des positrons e+ car ils vont s'annihiler pour donner de la chaleur. 4.2 Section ecace et taux de réactions r est le taux de réactions, c'est à dire le nombre de réactions par unité de temps et de masse (g). Le taux de production d'énergie ε ε = Qr (4.4) est donc l'énergie libérée par unité de temps et de masse, où Q est la chaleur de réaction. La section ecace σ(v) (qui dépend de la vitesse v ) est assimilable à la surface d'une particule cible. Ainsi, le taux de réaction par unité de volume r vaut : raX = σ(v)nX na v (4.5) σnX représente la surface totale des cibles (nX est la densité volumique de particules) et na V est le ux de particules incidentes (v est la vitesse). Pour un gaz parfait en équilibre thermodynamique, la vitesse relative de a par rapport à X présente ´ un spectre de valeurs où la probabilité d'avoir une vitesse v (à dv près) vaut φ(v) ( φ(v) dv = 1). 13 4 Éléments de nucléosynthèse On a donc ˆ ∞ raX = nX na σ(v)vφ(v) dv 0 = nX na hσvi (4.6) Pour na particules incidentes, et nX noyaux cibles, le nombre de paires que l'on peut établir est na nX . Si les particules sont toutes identiques, le nombre de paires vaut 21 na 2 . Apparemment, c'est dû à la loi des grands nombres, mais le prof n'a donné aucune justication rigoureuse à ce sujet, et je n'en ai pas non plus trouvé. Le taux de réactions devient donc raX = 1 nX na hσvi 1 + δaX (4.7) 4.3 Étapes d'une réaction nucléaire Une réaction nucléaire se fait en deux étapes principalement : 1. Formation d'un noyau composé ; 2. désexcitation de ce noyau sous diérentes formes émission d'un photon collision élastique (le noyau composé se retransforme en les deux noyaux initiaux) le noyau composé ce scinde en deux autres noyaux plus petits États quasi-liés États liés 8 Représentation des niveaux d'énergies du noyau composés. Les états quasi-liés correspondent à des états liés qui n'existent que par la présence de la barrière potentielle des deux noyaux qui sont proches l'un de l'autre. Ceux-ci ne servent qu'à l'état de résonnance pour favoriser la réaction nucléaire. Fig. Remarque : Le canal de sortie dépend de l'énergie incidente et des règles de sélection quantiques. Pour le noyau composé, on a diérents niveaux d'énergie excités à des énergies discrètes (e0 , e1 , e2 , . . . ). Lors d'une collision, vient s'ajouter une barrière coulombienne à la barrière nucléaire et on trouve qu'on a des niveaux dits quasi-liés ou quasi-stationnaires. Tous ces états sont associés à un temps caractéristique de désexcitation τ . D'après le principe d'incertitude, ceci nous amène à une énergie Γ = τ~ qui est interprétée comme la largeur en énergie du niveau excité. 4.3 Étapes d'une réaction nucléaire 14 La section ecace s'écrit, en termes de largeur d'énergie des canaux d'entrée Γe et de sortie Γs : σ(E) = πλt 2 g Γe Γs ζ(E) Γ2 (4.8) où πλt 2 représente la section ecace géométrique (avec λt longueur d'onde de de Broglie) et g un facteur statistique contenant les informations sur les spins J ). ΓΓe Γ2 s est la probabilité d'avoir formé W ∗ par le canal d'entrée X + a et de le désexciter par le canal de sortie Y + b. Si l'énergie E disponible est proche de l'énergie qui correspond à un état quasi-lié de W ∗ , on aura, en fonction des règles de sélecton, une réaction résonante. À l'inverse, si E est loin de l'énergie d'un état quasi-lié, on aura une réaction nucléaire non résonante. 4.3.1 Réaction nucléaire non résonante Lors d'une réaction X + a → W ∗ , on a une énergie d'excitation (4.9) E∗ = Q + E où Q est la chaleur de réaction et E l'énergie cinétique dans le centre de masse. Si E ∗ est très diérente de l'énergie résonante d'un état quasi-lié, alors le facteur de forme ζ(E) ' cte , on parle de réaction non-résonante et on a : σ(E) = πλt 2 Pl (E)f (E) où Pl (E) est la probabilité de pénétration de la barrière coulombienne (l est le nombre quantique de moment orbital). Au nal, la section ecace vaut : σ(E) = S(E) −2πη e E (4.10) où S(E) est appelé facteur astrophysique, lentement variable avec E , et η le paramètre de Sommerfeld. Remarque : On est dans le cas non résonant, c'est à dire loin d'un état quasi-lié. Comme les niveaux quasi-liés ont des résonnances qui se chevauchent, on a donc toutes les chances d'être au dessus du potentiel coulombien. Ainsi E ∗ ∼ Ecoul . facteur de pénétration de la barrière coulombienne distribution de maxwell taux de réaction Fig. 9 Mise en évidence d'une énergie appelée énergie de Gamow qui maximise le taux de réaction Le taux de réaction est relié à hσvi. Dans le cas d'une réaction non résonnante on a : ˆ ∞ √ S(E)e−E/kT e−η̃/ hσviaXb ∝ E (4.11) 0 Les réactions nucléaires vont concerner les nucléides qui réalisent le double compromis d'être susamment énergétique pour franchir la barrière coulombienne et d'être susamment nombreux pour que le taux de réactions ne soit pas négligeable. 15 5 Nucléosynthèse stellaire Il existe une énergie idéale E0 pour laquelle on atteint un maximum de taux de réaction. Cette énergie est appelée énergie de Gamow. On arrive à une expression de la forme 2 hσviN R ∝ aT − /3 e−bT 1/3 +··· 1 + cT 1/3 + · · · (4.12) 4.3.2 Réaction nucléaire résonante Si E ∗ = Q + Ec est proche de l'énergie Eres d'un état quasi-lié, on a une réaction résonnante : ζ(E) = Γ2 (E − Eres )2 + Γ 2 2 (4.13) On a alors deux possibilités pour le canal de sortie Y + b : 1. b est un photon, dans ce cas il n'y a pas de barrière coulombienne : la largeur en énergie Γs de la voie de sortie ne dépend pas de E , on aura Γs > Γe . On traite la réaction comme une réaction non-résonnante. 2. b est une particule chargée, on doit alors garder Γs dans l'expression de σ car on ne peut plus le considérer comme de l'ordre de 1. Remarque : Les réactions non-résonnantes sont plus pratiques car on n'a pas besoin de connaître les largeurs en énergie Γe et Γs des entrées et sorties. De plus le facteur astrophysique S(E) est accessible à l'expérience, donc au lieu de le calculer, on le mesure expérimentalement à diérentes énergies. Si on a une énergie de résonnance Eres Γ, la contribution essentielle au taux de réaction provient des énergies qui sont proches des énergies de résonnances. On peut donc remplacer toutes les fonctions lentement variables avec E par leur valeur au point E = Eres . On obtient ainsi une expression de la forme : 3 hσviR ∝ aT − /2 e−b/T (4.14) 5 Nucléosynthèse stellaire 5.1 Combustion de l'hydrogène On a vu précédemment que les espèces en collision sont celles où ZA ZX est petit. Immédiatement, on remarque que la réaction la plus courante est : 1 H + 1 H 2 He (5.1) Mais le noyau 2 He est extrêmement instable et redonne quasi-instantanément deux protons. D'un point de vue énergétique, il n'y a donc pas de réactions. Il arrive rarement (une fois toutes les 1018 collisions) qu'un proton se désintègre en un neutron selon la réaction p → n + e+ + νe avant que l'hélium deux ne se désintègre. C'est cette lenteur de la combustion qui explique la grande durée de vie des étoiles. Il existe d'un coté les chaînes p-p (3 chaînes qui fusionnent des protons pour donner de l'hydrogène) et de l'autre, les chaînes CNO qui fusionnent aussi des protons, mais en utilisant du carbonne de l'azote et de l'oxygène comme catalyseurs. 5.2 Combustion de l'hélium Elle se fait via la réaction triple alpha et forme du carbone. C'est une réaction à trois corps car le 84 Be est très instable. La chaleur de réaction est très faible, il doit donc y avoir beaucoup de réactions pour avoir une pression radiative susante ; c'est ce que l'on appelle le ash de l'hélium. À plus haute température, on va pouvoir former ce qu'on appelle les éléments alpha c'est à dire des noyaux formés par fusion successive avec des noyaux d'42 He. 16 6 Nucléosynthèse primordiale Cette synthèse des éléments est obtenue via un big bang. Cette idée est apparue pour expliquer divers phénomènes observés, comme le fond dius cosmologique ou l'expansion de l'univers. En eet, la loi de Hubble indique une relation entre la vitesse des galaxies et leur éloignement : v = H0 d (6.1) où H0 est la constante de Hubble. Les diérents stades de la formation de l'univers seraient ainsi : 1. Ère hadronique (1012 K < T < 1013 K) : 2. Ère leptonique ( T < 1012 K) : 3. Ère radiatique : la température de l'univers est gouvernée par les photons (on peut négliger les collisions entre particules et ne considérer que les collisions particules-photon). 4. Ère stellaire Index énergie de Gamow, 14, 15 équation d'équilibre hydrostatique, 10 équation de transport radiatif, 11 équation de variation de l'énergie, 10 bremmstrahlung, 10 facteur astrophysique, 14 ash de l'hélium, 15 gradient de température adiabatique, 11 loi de Hubble, 16 masse spécique moyenne, 5 moyenne de Rosseland, 11 naines brune, 8 nucléosynthèse, 3 nucléosynthèse explosive, 3 nucléosynthèse primordiale, 3 nucléosynthèse stellaire, 3 paramètre de Sommerfeld, 14 photodésintégration, 3 photoionisation, 10 processus r, 4 processus s, 4 réaction résonante, 14 rayon de Jeans, 7 section ecace, 12 spallation, 3 supernovae, 3 taux de réactions, 12 théorème du Viriel, 8 zone convective, 11 zone radiative, 11 17