2nde. Ordre. Valeur absolue

2nde
Chapitre 2 : Ordre. Valeur absolue
I. Ordre et comparaison
Comparaison de deux réels : Comparer deux réels a et b, c’est chercher à savoir quel est le plus grand
Règle de base :
a < b équivaut à dire que a – b < 0
( ou s’ils sont égaux ) .
Remarque : Comparer a
Ex :
61 60,8
>
17
17
et b revient à étudier le signe de a – b .
;
40 40
<
;
7
6
20 102,01
20
102,01
<
en effet
< 1 et
> 1
21
102
21
102
Dans la suite on considère des inégalités strictes ( a < b ) mais tous le énoncés restent valables avec des inégalités « larges » ( a ≤ b )
Ordre et addition :
•
Si
a<b
alors
a+c<b+c
.
a−c < b−c
Ajouter ( ou soustraire ) un même nombre à chaque membre d’une inégalité
d’où la règle de transposition : si x + a < b alors x < b – a
ne change pas son sens .
( on ajoute - a à chaque membre )
• Si
a < b et c < d
alors a + c < b + d .
En ajoutant membre à membre des inégalités de même sens, on obtient une inégalité de même sens .
Ex :
si
x ≤ -3
alors
x–1≤-4
;
si
2 < x < 6 alors -2 < x – 4 < 2 .
Ordre et multiplication :
•
Si
a < b et c > 0
alors
a × c < b × c
a
b .
<
c
c
Multiplier (ou diviser) chaque membre d’une inégalité par un même nombre strictement positif,
•
Si
a < b et c < 0
alors
ne change pas son sens.
a × c > b × c
.
a
b
>
c
c
Multiplier (ou diviser) chaque membre d’une inégalité par un même nombre strictement négatif, change le sens de l’inégalité .
•
Si
a, b, c et d sont des réels positifs tels que a < b et c < d
alors
a×c<b×d.
En multipliant membre à membre des inégalités de même sens, entre nombres positifs, on obtient une inégalité de même sens .
si
2 ≤ x ≤ 3 et 1 ≤ y ≤ 2 alors
2×1 ≤ xy ≤ 3×2 ainsi
2 ≤ xy ≤ 6
x est un réel tel que -1 < x < 2 . On pose B = -2x – 3 ; trouver un encadrement de B
Ex :
Règle des signes : le produit et le quotient de deux nombres de même signe
est toujours positif.
le produit et le quotient de deux nombres de signes contraires est toujours négatif.
Conséquence :
si C = AB et si A > 0 alors
si C = AB et si A < 0 alors
B et C sont de même signe.
B et C sont de signes contraires.
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II. Inégalités sur les carrés, les racines carrées, les inverses
Passage au carré, à la racine carrée : a et b étant deux nombres positifs distincts,
a<b
équivaut à a2 < b2 .
a< b
équivaut à
a<b .
Preuve : on sait que a2 – b2 = ( a – b ) ( a + b )
a et b étant deux nombres positifs distincts, j’en déduis que a + b > 0
il en résulte d’après la conséquence de la règle des signes que :
( a – b ) et a2 – b2 sont de même signe .
•
•
Si a < b alors
a – b < 0 donc a2 – b2 < 0
2
2
2
Si a < b alors a – b2 < 0 donc
a–b<0
Ainsi
(
( a<b )
et par suite a2 < b2
et par suite a < b
⇔ ( a2 < b2 ) autrement dit : deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés .
a < b ) ⇔ ( ( a )2 < ( b )2 ) ⇔ ( a < b )
Remarque : l’inégalité -2 < 1 est vraie, mais (-2)2 < 12 c’et faux.
Si a et b sont tous deux négatifs a < b équivaut à
a2 > b2 .
Passage à l’inverse : a et b étant deux nombres strictement positifs,
a<b
Preuve :
1
1
1
1
1
1
b−a
>
équivaut à
– > 0 . Or – =
a
b
a b
a
b
ab
équivaut à
1
1
>
.
a b
et ab > 0 car
a > 0 et b > 0
il en résulte d’après la conséquence de la règle des signes que :
1
1
–
a
b
et b – a sont de même signe .
1
1
–
> 0 équivaut à b – a > 0
c’est-à-dire a < b .
a
b
autrement dit : deux nombres strictement positifs sont rangés dans l’ordre contraire de leurs inverses .
1
est un réel tel que 2 < x < 5 . donner un encadrement de A = x +
x
III. Comparaison de a, a2 et a3 lorsque a ≥ 0
Théorème : a ∈ R*+,
Preuve :
• Si a > 1
donc
•
Ex :
alors
a3 > a2 > a ;
si 0 < a < 1 alors
a3 < a2 < a .
si a > 1
alors d’une part
et d’autre part
a3 > a2 > a .
a2 > a
a3 > a2
( on multiplie les deux membres par a > 0 )
( on multiplie les deux membres par a2 > 0 )
Si 0 < a < 1 alors de la même façon : a3 < a2 < a .
x est un réel tel que 3 < x < 4 . On pose A = 4 – x. Comparer les nombres A, A2 et A3 .
-4 < -x < -3 donc
0<4–x<1
par suite 0 < A < 1 et
A3 < A2 < A .
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IV. Valeur absolue
Distance entre deux réels : la distance entre deux réels x et y est la différence entre le plus grand et le plus petit.
Cette distance est notée x − y ou encore y − x .
x − y se lit « valeur absolue de x moins y » .
Remarque : la distance entre deux réels est toujours un nombre positif
Ex :
Interprétation graphique de
x−y :
Valeur absolue d’un réel : lorsque y = 0, x − y =
x . Le nombre réel x est donc la distance entre x et 0 ;
 x lorsque x ≥ 0
x =
-x lorsque x ≤ 0
Remarque :
.
.
0 = 0 car c’est la distance entre 0 et 0 .
x est le plus grand des deux nombres x ou -x .
Ex :
5 = 5 car 5 ∈ R+
-3 = 3 car -3 ∈ R–
si x est un réel :
Propriétés : 1.
x 2 = x2 car x2 ≥ 0 .
x =0
équivaut à dire que x = 0 .
2.
-x = x
3.
x = y
.
équivaut à dire que x = y ou x = -y .
Ex :
Trouver les réels x tels que
x−2 = 3
.
Il s’agit de trouver les réels tels que la distance entre x et 2 est égale à 3 .
2 – ( -1 ) = 3 et 5 – 2 = 3
donc x = 5 ou x = -1
Méthode : x − 2 = 3 peut s’écrire
x − 2 = 3 ce qui équivaut à x – 2 = 3 ou x – 2 = -3 .
Trouver les réels x tels que
x−2 ≤ 3
-1 ≤ x ≤ 5
.C’est-à-dire les réels tels que la distance entre x et 2 est inférieure ou égale à 3 .
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V. Intervalles et valeur absolue
Définition : a et b sont deux réels tels que a < b .
Le tableau ci-dessous résume les différents types d’intervalles .
Remarque :
+∞ se lit « plus l’infini »
-∞
se lit « moins l’infini »
L’ensemble R de tous les réels est un intervalle : R =
] -∞ ; + ∞ [
Vocabulaire : [ a ; b ] , ] a ; b [ , ] a ; b ] , [a ; b [ sont des intervalles d’extrémités a et b ( a < b )
a+b
b−a
Le centre, ou milieu de l’intervalle est le nombre
; son rayon est
2
2
Sa longueur, ou amplitude : b – a .
Ex :
Trouver les réels, s’il en existe, appartenant à la fois à l’intervalle [ 2 ; 8 ] et à l’intervalle [ -5 ; 3 [
Même question avec les intervalles ] -∞ ; 1 ] et ] 1 ; 4 ]
Intervalles et valeur absolue : a est un réel, r est un réel positif .
x−a ≤ r
Preuve :
Ex :
équivaut à dire que x ∈ [ a – r ; a + r ] .
x − a ≤ r signifie que la distance de x à a est inférieure ou égale à r ; c’est-à-dire que :
Résoudre dans R :
1.
x+4 ≤ 2
L’ensemble solution est l’intervalle
[ -4 – 2 ; -4 + 2 ] c’est-à-dire [ -6 ; -2 ]
2.
a–r ≤ x ≤ a+r
x+4 > 2
S = ] -∞ ; -6 [ ∪ ] -2 ; +∞ [
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VI. Inéquations. Signe de ax + b
Inéquations du premier degré : a et b sont deux réels donnés . Résoudre l’inéquation ax + b ≤ 0 ,
c’est trouver tous les nombres x tels que ax + b est négatif.
les valeurs trouvées sont appelées les solutions de l’inéquation.
L’inéquation 2x + 3 ≤ 0
s’écrit
2x ≤ -3
Ex :
-3
2
-3 

S=  -∞ ;
2 

x ≤
Signe de ax + b : Trouver le signe de ax + b, c’est trouver les valeurs de x telles que ax + b > 0
et celles telles que ax + b < 0 .
a et b sont des réels avec a ≠ 0 . Le signe de ax + b suivant les valeurs du réel x est donné par :
si a > 0
x
ax + b
Preuve :
-b
a
-∞
–
0
ax + b = 0 équivaut à x =
+∞
-b
a
.
3x – 2
.
+∞
0
+
–
( ici a ≠ 0 )
-b
a
-b
⇔ x <
a
⇔
x >
si a < 0 ;
-b
a
-b
ax + b < 0 ⇔ ax < -b ⇔ x >
a
ax + b > 0 ⇔ ax > -b ⇔ x <
signe de 3x – 2 .
x
.
-b
a
-∞
ax + b
ax + b < 0 ⇔ ax < -b
Ex :
x
+
ax + b > 0 ⇔ ax > -b
si a > 0 ;
si a < 0
2
3
-∞
–
0
+∞
+
Trouver le signe de
E(x) = ( 4 – 3x ) ( 5x + 2 )
suivant les valeurs du réel x.
-2
4 − 3x
On pose pour x ≠
, F(x) =
5
5x + 2
trouver le signe de F(x) suivant les valeurs du réel x .
A
F(x) =
où A = 4 – 3x et B = 5x + 2
B
A
Lorsque B ≠ 0 :
et A.B sont toujours de même signe
B
x
4 –3x
5x + 2
E(x)
E(x) > 0 SSI
E(x) > 0 SSI
-2
5
-∞
+
–
–
0
0
4
 -2
x∈ 
;
3
 5
-2

x ∈  -∞ ;
5

4
3
+
+
+
0
0



  4

 ∪  3 ; +∞ 
 

+∞
–
+
–