MECANIQUE : TD n°1 - Les CPGE de Loritz

MECANIQUE : TD n°1
A – APPLICATIONS DU COURS
1°) Démontrer l’expression de la vitesse en coordonnées cylindriques. En déduire l’élément de longueur
correspondant.
Rép : En coordonnées cylindriques dOM=drer+rdθeq+dzez.
2°) Démontrer l’accélération en coordonnées cylindriques. En déduire son expression dans le cas d’un
mouvement circulaire dans un plan orthogonal à Oz.
Rép :
r r
r
r
r
r
a = er [&r& − rθ& ²] + eθ [2r&θ& + rθ&&] qui devient si r=R=cste a= a = − Rθ& ² er + rθ&&eθ
3°) a) Une particule ponctuelle de charge q, placée à l’origine O d’un repère cartésien, crée en M un
champ électrique dont l’expression en coordonnées sphériques est : E(M)=q/4πε0r².er. Exprimer E(M) en
coordonnées cartésiennes.
b) Le champ magnétique créé en M par un fil rectiligne infini, confondu avec l’axe (Oz) et parcouru par
un courant I a pour expression en coordonnées cylindriques : B(M)=µ0I/2πr.eθ.
Rép : a) E(M)=q/4πε0.(xex+yey+zez)/(x²+y²+z²)3/2
b) B(M)=µ0I/2π(x²+y²).(-yex+xey).
4°) Un mobile M parcourt avec une vitesse constante v la spirale d’équation polaire : r=aθ. Exprimer en
fonction de θ et de v (la norme du vecteur vitesse) le vecteur vitesse de M.
Rép : v(M)=v/√(1+θ²).(er+θeθ).
5°) Un pendule simple est constitué d’un point matériel de masse m, suspendu à un fil inextensible de
longueur l. On note g l’accélération de la pesanteur.
Sachant que T=cst*mαlβgγ, déterminer à l’aide d’un analyse dimensionnelle les trois coefficients α, β, et γ.
Rép : α=0, β=1/2, γ=-1/2.
B – TRAVAUX DIRIGES
I - OPTIMISATION D’UN TRAJET
Soit une plage rectiligne P. Un point A1 sur le sable est à la
distance A1H1=a1 de P. Un point A2 sur la mer est à la distance A2H2=a2 de
P. On pose H1H2=d
Un jeune homme I se repose en A1 sur le sable. I peut courir sur le
sable à la vitesse v1 et nager à la vitesse v2<v1. I désire rejoindre le plus
rapidement possible une jeune fille qui se noie en A2. Il n’y a pas
d’interaction électrostatique entre les deux corps.
1°)Quel trajet A1A2 doit-il emprunter pour sauver la jeune fille ?
: On déterminera d’abord l’équation que doit vérifier x=H1O,
puis on simplifiera l’expression obtenue en introduisant les angles α1 & α2.
2°) A quelle loi physique l’expression obtenue vous fait-elle songer? Interpréter.
Rép : 1°) v2sinα1=v1sinα2
2°) En posant v=c/n on retrouve la troisième loi de Descartes.
II – MOUVEMENT D’UN POINT MATERIEL SUR UNE PARABOLE
Un point matériel M décrit la courbe d’équation polaire r.cos²(θ/2)=a où a est une constante positive, θ
variant de -π à +π.
1°) Montrer que la trajectoire de M est une parabole.
2°) On suppose que le module du vecteur vitesse est toujours proportionnel à r : v=kr, où k est une
constante positive.
a) Calculer, en fonction de θ, les composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse de M.
b) Déterminer la loi du mouvement θ(t) en supposant que θ est nul à l’instant t=0 et que θ croît.
On donne :
π

θ + 2
dθ
∫0 cosθ = ln tan  2


θ
Rep : 1°) y²=4a(a-x)





2a) vr=[adθ/dt.sin(θ/2)]/cos3(θ/2) et vθ=dθ/dt.a/[cos3(θ/2)]
L.PIETRI – Mécanique - Lycée Henri Loritz – PCSI 2
2b) Ln|tan(θ/4+π/4)|=kt/2
III – TRAJECTOIRE CYCLOÏDALE
Une roue de rayon R et de centre C roule sans glisser sur l’axe (Ox) en restant dans le plan (Ozx).
Soit M un point lié à la roue, situé sur la circonférence. A l’instant t=0, M est confondu avec l’origine O. La vitesse
de C est constante et égale à v.
1°) Comment exprimer la condition: « la roue ne glisse pas »?
2°) Déterminer à l’instant t:
a) la position de M
b) le vecteur vitesse vM de M
c) le vecteur accélération aM de M
3°) Déterminer vM & aM lorsque M est en contact avec l’axe (Ox).
Rép : 1°) xI=vt=Rωt 2°)a) X=R[ωt-sin(ωt)] et Y=R[1-cos(ωt)] b) dX/dt=Rω[1-cos(ωt)] et dY/dt=Rωsin(ωt)
3°) vM=O et aM=v²/R.ey
c) a=-ω²CM
C – EXERCICES SUPPLEMENTAIRES
I - ATOME DE SOMMERFELD
Dans le modèle de l’atome de Sommerfeld, l’électron décrit l’ellipse, dont un foyer est occupé par le noyau,
p
d’équation r =
de diamètre p et d’excentricité e= 1− (l / n) 2 n étant le nombre quantique principal et l le
1+ e cosθ
nombre quantique orbital. On notera C la constante des aires.
1°) Rappeler la loi des aires et les formules de Binet.
2°) Déterminer les accélérations maximales aM et minimales am de l’électron 2p de l’atome d’hydrogène qui
gravite sur l’orbite L(n=2, l=1) en fonction de C,e et p.A.N
-3
A.N: p=4.10 C²m=75pm et a=0,3nm le demi-grand axe de l’orbite elliptique.
3°) Déterminer la vitesse minimale vm et maximale vM de l’électron en fonction de C,e et p. A.N.
Rép : 1°) dS/dt=C/2=r²/2.dθ/dt, v²=C²(u²+u’²) où u=1/r et a=C²u²[u’’+u] 2°) aM=C²/p3.(1+e)²=1,5.1023ms-2 et am=8,0.1020ms-2
3°) vM=C/p.(1+e)=3,4.107ms-1 et vm=C/p.(1-e)=2,4.106ms-1.
II – MOUVEMENT D’UN BALLON SONDE
Un ballon-sonde a une vitesse d’ascension verticale v0 indépendante de son altitude z. Le vent lui
communique une vitesse horizontale vx=z/τ, proportionnelle à son altitude. On note (Oz) la verticale ascendante.
1°) Déterminer les lois horaires du mouvement x(t) et z(t) ainsi que l’équation de la trajectoire x(z).
2°) Calculer le vecteur accélération. Déterminer ses composantes normale et tangentielle à la trajectoire.
Rép : 1°) x=z²/2τv0 2°) a=v0ex/τ, aT=v0t/τ².√(1-[(t/τ)²/(1+(t/τ)²)]) et aN=v0/τ.√(1/(1+(t/τ)²))
III – COURSE AUTOMOBILE
Deux pilotes prennent le départ d’une course sur un circuit présentant une longue ligne droite au départ. Le
-2
premier A démarre avec une accélération constante de 4ms , le deuxième B, a une voiture légèrement plus
-2
puissante et démarre avec une accélération de 5ms . A a cependant des reflexes plus importants et démarre une
seconde avant B.
1°) Quelle durée il faudra à B pour rattraper A ?
2°) Quelle distance auront-ils parcourue quand B doublera A ?
3°) Quelles seront les vitesses à cet instant là ?
Rép : 1°) t=9,5s
2°) l=179m
3°) vA=136km/h etvB=152km/h
L.PIETRI – Mécanique - Lycée Henri Loritz – PCSI 2
C-III – COURSE AUTOMOBILE
Deux pilotes prennent le départ d’une course sur un circuit présentant une longue ligne droite au départ. Le
-2
premier A démarre avec une accélération constante de 4ms , le deuxième B, a une voiture légèrement plus
-2
puissante et démarre avec une accélération de 5ms . A a cependant des reflexes plus importants et démarre une
seconde avant B.
1°) Quelle durée il faudra à B pour rattraper A ?
2°) Quelle distance auront-ils parcourue quand B doublera A ?
3°) Quelles seront les vitesses à cet instant là ?
B-II – MOUVEMENT D’UN POINT MATERIEL SUR UNE PARABOLE
Un point matériel M décrit la courbe d’équation polaire rcos²θ=a où a est une constante positive, θ variant
de -π à +π.
1°) Montrer que la trajectoire de M est une parabole.
2°) On suppose que le module du vecteur vitesse est toujours proportionnel à r : v=kr, où k est une
constante positive.
c) Calculer, en fonction de θ, les composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse de M.
d) Déterminer la loi du mouvement θ(t) en supposant que θ est nul à l’instant t=0 et que θ croît.
On donne :
π 

θ + 2 
dθ
=
ln
tan


∫ cosθ
 2 


L.PIETRI – Mécanique - Lycée Henri Loritz – PCSI 2
L.PIETRI – Mécanique - Lycée Henri Loritz – PCSI 2