Exercices décomposition en facteurs premiers 1) Décomposer

Exercices décomposition en facteurs premiers
1) Décomposer 66528 en facteurs premiers , puis déterminer :
a) Le plus petit entier naturel dont le produit avec 66528 soit un carré.
b) Le plus petit entier naturel dont le produit avec 66528 soit un cube.
2) Décomposer 6118 en facteurs premiers , puis déterminer :
a) Le PGCD de 6118 et 23 , le PGCD de 6118 et 46 , le PGCD de 6118 et 230
b) Le PPCM de 6118 et 23 , le PPCM de 6118 et 46 , le PPCM de 6118 et 230
c) Réduisez les fractions :
6118
46
,
230
1
1

et
6118
230 6118
3) a) Faire la liste des diviseurs positifs de 90009
c) Faire la liste des diviseurs positifs de 539 puis en déduire les couples d’entiers
naturels (x ; y ) solutions de x² - y ² = 539
4)
a) Déterminer l’entier naturel n tel que 5 7 n possède exactement 8 diviseurs
distincts .
b) Déterminer s’il existe un entier naturel n s’écrivant 3a  5b où a et b sont des entiers
naturels et tel que le nombre de diviseurs de n² soit le double du nombre de diviseurs de n.
5) a) Quel est le plus petit entier naturel possédant exactement six diviseurs ?
b)Quel est le plus petit entier naturel possédant exactement 143 diviseurs ?
c)Quel est le plus petit entier naturel possédant exactement 231 diviseurs ?
6) a) Montrer que si n est un nombre premier , alors n n’est pas un diviseur de ( n – 1 ) !
b) Montrer que si n est un nombre non premier supérieur ou égal à 5 et différent d’un
carré parfait alors n divise ( n – 1) !
7) Factoriser n 4  64 et développer ( n  1) 4 . Utiliser ces résultats pour démontrer que
n 4  4n3  6n  4n  65 n’est pas un nombre premier